1、20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（参考答案）2022.03一、选择题：1C 2B 3D 4B 5A 6D 7C 8D二、选择题：9BCD 10AD 11BC 12AB三、填空题：，1 152，2， 5132 14(0 2 216 3 2三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分） 10 2 5解：sin B + sinC = = sin A，由正弦定理 9 3sin A sin B sinC = = ， a a c5可得b + c = a = 5 以下如所示310cos B + cosC = ，由余弦定理得
2、因为9a2 c2 b2 a2 b2 c2 10+ + + = ，2ac 2ab 92 2 2 2 2 2 20所以b(a + c b ) + c(a + b c ) = abc ，92 2 2 20所以 ( )( 2 )b + c a b c + bc = abc ，其中 a2 b2 c2 = 2bccos A ，910所以 (b + c)(1 cos A) = a 4 分9 8 1cos 1 sin 1 9 3若 A 为锐角，则 A = 2 A = = ，则 b + c = 5 b2 + c2 a2 (b + c)2 a2 8cos A = = 1= 1， 由余弦定理2bc 2bc bc所以
3、bc = 6，又 b + c = 5，解得b = 2，c = 3或 b = 3，c = 2 所以 ABC 的面积为1 1 2 2 bcsin A = 6 = 2 2 8 分2 2 3高三数学 第1页（共 6 页）8 1 5若 A 为钝角，则 A = 2 A = = ，则b + c = < = a ，舍去cos 1 sin 1 39 3 2综上可得， ABC 的面积为 2 2 10 分b2 + c2 a2 (b + c)2 a2 8因为b + c = 5，由余弦定理 = = = 3 分cos A 1 12bc 2bc bc8 1若 A 为锐角，则 A = 2 A = = ，则cos 1 s
4、in 19 38 11 = ，bc 3所以bc = 6，又 b + c = 5，解得b = 2，c = 3或 b = 3，c = 2 所以 ABC 的面积为1 1 2 2 bcsin A = 6 = 2 2 7 分2 2 38 1若 A 为钝角，则 A = 2 A = = ，则cos 1 sin 19 3 8 1 1= ，bc 3所以bc =12 ，又 b + c = 5 ，无解，舍去 9 分综上可得， ABC 的面积为 2 2 10 分18（12 分）解：（1）该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，1 p p+ + = ，解得 p =116 2 3所以甲在每个项目中通过的概率
5、都为1 p 2+ = 2 分6 2 3设事件 A 为甲能进入到数学建模社团，因为甲在每个项目中通过的概率都为23，且在每个项目中的成绩均相互独立， 2 2 2 8p A = = 3 3 3 27所以 ( )答：甲能进入到数学建模社团的概率为827 5 分（3）X 的可能取值为 0，1，2，3 6 分 1 2 1 20 P X =1 = = ； 3 3 3 9P(X = ) = ； ( )2 2 1 4 2 2 2 8P(X = )= = ； ( )2 P X = 3 = = 3 3 3 27 3 3 3 27高三数学 第2页（共 6 页）所以 X 的概率分布为X 0 1 2 3P1329427
6、827 10 分 1 2 4 8 38所以 X 的数学期望 E(X)0 +1 + 2 + 3 = 12 分 3 9 27 27 2719. （12 分）1 1 1a a+ = = 解：（1） 1n n + +n(n 1) n 1 n 1 分1 1a a = ，当 n2 时，2 12 11 1 1 1a a = ， a a = 3 2 n n13 2 n n 1， = 1 1 ，所 以 1= 3 分 相加得 1a a an nn 1 n当 n =1时，a = 也符合上式，所以数列 1 1 a 的通项公式 ann1= 5 分n1（2）由（1）得 a2 = ，n2n1 1 1 1 1所以 a2 =
7、< = = 8 分 n 1 1 1 1 1n n n n n n22 + +( )( )4 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1所以 +S = + + + ，n 1 1 1 1 1 12 21 2 n +1 1 2 2 + n n +2 2 2 2 2 2 1 1 4n= = 1 + 1 +2n 11 n2 2 4nS <所以 12 分n2n +120（12 分）1 BDC E 1t = 时， 1= = t = ，即点 D，E 分别为 BC， B C 的中点， 解：（1）当2BC C B 21 1 1 1在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA ，1AA = BB ，
8、平面1 1BB C C 为平行四边形，1 1连接 DE，则 DE ，DE = BB ，所以 DE ， DE = AA ，1 1所以四边形 DEAA1 是平行四边形，所以 AD 3 分高三数学 第3页（共 6 页）又因为 AD 平面A EB ，1A E 平面1A EB ，1所以 AD 平面A EB 5 分1（2）方法一：在平面 ABC 内，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，连结C1H ，则 为二面角C AD C 的平面角，即 = ，C HC C HC1 1 13CHD在直角三角形C1HC 中， C1C = 3 ，所以CH = 3 在直角三角形CHA中， CH = 3 ， AC = 3 ，A
9、 B CH 3 2所以sin CAH = = < ，又因为CAH 为锐角，AC 3 26所以 cosCAH = 且 03 < CAH < ， 4所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 6 + 2 3 CHCDA中， CDH = + CAH = ，CD = = 6 3 2sin sin( )sin CDH4 6，所以tBD 3 2 (6 3 2)= = = 12 分 BC 3 22 2方法二： A A1 平面 ABC ，又BAC = 90 ，以 AB，A C，AA为正交基底建立如图所1示的空间直角坐标系 A xyz ，则点 A( 0，0，0) ， B(3，0，0) ， D
10、(0，3，0) ， C ，1(0 3 3)从而AC = ， ，BC = ( 3，3，0)，BD = tBC = ( 3t，3t，0) ，所 以 AD = (33t，3t，0) 1 (0 3 3)设平面 AC1D 的一个法向量为n ，n1 = (x，y，z) ，由 ，有 1 = 0n AD3(1 t)x + 3ty = 0， +，3y 3z = 0取 1 ( 1 1 )n = t，t ，t ，又平面 ADC 的一个法向量为 2 (0 0 1)n = ， ，因为二面角C1 AD C 的大小为3，所以n n1 2s 1= 9 分3 2即1 = 1t3t2 4t + 22，得t2 4t + 2 = 0
11、 ，又因为 0 < t <1，所以 t = 2 2 12 分高三数学 第4页（共 6 页）21（12 分）解：（1）因为椭圆 C 的离心率为22，且其右焦点 F 到右准线的距离为 3 ，所以ca2= ，且2a2c = ，解得 a = 6 ， c = 3 2 分c 3所以b2 = a2 c2 = 3 ，所以椭圆C 的标准方程为x + y = 4 分2 216 3（2）设直线 MN 的方程为 y = x + m ，点M (x ，y ) ，1 1N(x ，y )，2 2A(x ，y ) ，0 02 2x y + =1，直线 MN 的方程与椭圆方程联立得 6 3 = +y x m， + =
12、 4 x x m，1 23 = 22m 6则 3x2 + 4mx + 2m2 6 = 0 ，所以 x x ，1 23 16m 12(2m 6) 0D = 2 2 >，由y y y y1 0 + 2 0 = 0 2x x + (m x y )(x + x ) 2x (m y ) = 0 x x x x ，得1 2 0 0 1 2 0 01 0 2 02m 6 4 2 + = ，整理得，所以 2 (m x y )( m) 2x (m y ) 00 0 0 03 323 2y x = 0，(2 ) 2 4 0 =y x m + x y = ，所以 0 0 10 分0 0 0 02x y 4 0
13、，0 0因为点 A 在第一象限，所以x =2，0 =y 1，0所以点 A 的坐标为 A(2，1) 12 分高三数学 第5页（共 6 页）22（12 分）解：（1）当 a = e 时，f (x) = x e ln x + (x e) ，2则e 2x + (1 2e)x e (2x +1)(x e)2 = + = ，（ x > 0 ）f (x) 1 2(x e) =x x x令 f (x) > 0 ，得 x > e；令 f (x) < 0 ，得 x < e ；所以，函数 y = g(x) 的单调增区间为(e,+) ，单调减区间为(0,e) 3 分（2）a x2 + a
14、 x a2 (ln 2e) = + = ，f (x) ln a 2(x e)x x令 t(x) = 2x2 + (ln a 2e)x a = 0，因为 D = (ln a 2e)2 + 8a > 0 ，所以方程 2x2 + (ln a 2e)x a = 0 ，有两个不相等的实根x，x （1 2x < x ），1 2a又因为 x1x2 = < 0 ，所以2x < < x ，令1 0 2x = x ，列表如下0 2x( 0，x )0x0(x ，+ )0f x 0 +( )f (x) 减 极小值 增所以 f (x) 存在极值点x 7 分0因为 2x 2 + (ln a
15、2e)x a = 0，所以 2x 2 2ex = a x ln a ，0 0 0 0 0x记 u(t) = t x lnt ， ( ) =1 0 ，u t 0t当0 < t < x 时，u(t) < 0 ， u(t) 单调递减；当t > x 时， u(t) > 0 ，u(t) 单调递增0 0所以当t = x 时， u(t) = t x lnt 的最小值为u(x ) = x x ln x 0 0 0 0 0 0所以 2x 2 2ex = a x ln a x x ln x ，0 0 0 0 0 0即 2x 2 (2e +1)x + x ln x 0， 10 分0 0 0 0因为x > ，所以0 02x + ln x (2e +1)0 ，0 0因为 v(t) = 2t + lnt (2e +1) 在 ( 0，+ ) 上单调递增，且v(x )v(e) = 0 ，0所以 x0 e ，则 x0 的最小值是 e 12 分高三数学 第6页（共 6 页）
