1、目录 上页 下页 返回 结束 回顾闭区间上连续函数的性质回顾闭区间上连续函数的性质 1.1.有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数在该区间上有界且函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值。一定能取得它的最大值和最小值。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值与最小值之间的任何值值与最小值之间的任何值. .( ) , ,( )( )( )( )0),( , )(),( )0.f xa bf af bf af ba babf 设设在在闭闭区区间间上上连连续续且且与与异异号号即即那那么么在在开开区区
2、间间内内至至少少有有一一点点使使2.2.零点定理零点定理：() , ,( )( ),( , )(),( ).f xa bf aAf bBABCa babfC 设设在在闭闭区区间间上上连连续续 且且端端点点值值与与不不相相等等 那那么么对对于于 与与之之间间的的任任意意一一个个数数在在开开区区间间内内至至少少存存在在一一点点使使3.3.介值定理：介值定理：目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束
3、函数在一点的导数描述了函数在某一点的变函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质化性质变化率，变化率，它是函数在该点的一个局部性它是函数在该点的一个局部性质质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。体性质。函数的局部性质与整体性质是通过中值函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的定理表达的。这些中值定理是微分学的基础，它。这些中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。联系着导数的许多应用。目录 上页 下页 返回 结束 费马费马(fermat)引理引理一
4、、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有定义在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设, )()(, )(0000 xfxxfxUxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 费马 证毕xyO0 x目录 上页 下页 返回 结束 bxaOyABmaxf0)(,minffxfxf)()( 0)( f0)(f0)(fxfxf)()( ) ( 0)()(xfxf0)()(xfxf这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴
5、.目录 上页 下页 返回 结束 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零该点的导数值为零. 通常称导数为零的点为函数驻点（或称通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。为稳定点，临界点）。 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则, ,)(bax
6、Mxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 内至少存在一点xyab)(xfy O,.ABC在在曲曲线线弧弧上上至至少少有有一一点点在在该该点点处处的的切切线线是是水水平平的的目录 上页 下页 返回 结束 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 1,010,)(xxxxf则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不连续在 1 , 0不可导在) 1 , 0() 1 ()0
7、(ff例如,目录 上页 下页 返回 结束 使2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(目录 上页 下页 返回 结束 练习练习1：P134 15lnsin,.66yx 验验证证罗罗尔尔定定理理对对函函数数在在区区间间上上的的正正确确性性( )lnsinf xx 5,66 在在上上 连连 续续5(,),66 在在上上可可导导51()()l
8、n,662ff且且5(,).266 得得cos( ),sinxfxx 由罗尔定理可知由罗尔定理可知：5(,)( )0.66f 至至少少存存在在一一点点，使使又又5( ),66f x 在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件( )0,f 令令ln sinyx 因因此此罗罗尔尔定定理理对对函函数数5,.66 在在区区间间上上是是正正确确的的目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性
9、 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾, 故假设不真!设-2-112-20-101020目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2：P134 7+ +1011( ).,nnnf xa xa xax 证证: 令0( )0,f xx在上满足罗尔定理的条件，0(0,1)(0,),x故在内至少存在一点120110+ (1).0(0,)nnna nxa nxax 即方程在内0.x必
10、有小于 的正根0( )0,f xCx ，0( )0,)f xx在在( (内内可可导导，0(0)()0.ff x( )0,f使1011.0nnna xa xax + +若方程有一个正根 ，0 xx 证明方程12011+ (1).0nnna nxa nxa 必有一个小于 的正根.0 x目录 上页 下页 返回 结束 并指出它们所在的区间。并指出它们所在的区间。分别在区间分别在区间 ( 1, 1), (1, 2), (2, 3) 内。内。 证：证：显然显然, f (x)分别在闭区间分别在闭区间 1, 1, 1, 2, 2, 3上连续，上连续， 5. 5. 设函数设函数f (x) = (x +1) (x
11、 1) (x 2) (x 3)，证明方程证明方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，且且 f ( 1) = f (1) = f (2) = f (3) . 由罗尔定理，由罗尔定理，在在( 1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点内分别存在点 1 , 2, 3 ，使得使得 f ( 1) = f ( 2) = f ( 3) = 0即方程即方程f (x) = 0有三个实根，有三个实根，在开区间在开区间 ( 1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导，内可导，目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续)(xf
12、y 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbff思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,)(x在a, b 上连续, 在(a, b)内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 0)()()(abafbff证毕xyab)(xfy Oxyabafbf)()(目录 上页 下页 返回 结束 ),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论:
13、若函数在区间 I 上满足,0)( xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在 I 上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令则目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C
14、又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使目录 上页 下页 返回 结束 ()()xfxxe 设设 2()()()xxxfx efx exe 则则 (0)1,()=e ,.xffxx 则则:证明 分析分析 ,xfxe 要要证证即即证证( )1.xf xe 且且, ( ),( )( )f xfxf x 设设函函数数在在内内，满满足足关关系系式式证：证： ( ),xCx 又又0(0)(0)1fe 1.C 即即 ( )=e ,
15、.xf xx 练习练习3：P134 14()()xfxfxe 0 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明不等式. )0()1ln(1xxxxx分析：分析：(0)x 欲证上述不等式成立，欲证上述不等式成立，只须证：只须证：ln(1)ln(10)1xxxx 只须证：只须证：1ln(1)ln(10)110 xxx为此只须证：为此只须证：( )ln(1)0, f ttx在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 ln(1)x 关键！关键！( )ln(1)f tt 构造构造目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明不等式证证: 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值
16、定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有目录 上页 下页 返回 结束 用拉格朗日定理证明不等式的关键是用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅构造一个辅助函数助函数, ,并并定出一个适当的区间定出一个适当的区间, ,使该辅助函数在区间使该辅助函数在区间上上满足定理的条件满足定理的条件, ,然后由中值然后由中值所在的位置所在的位置, ,放大或放大或缩小缩小 , ,推出要证的不等式推出要证的不等式. .方法：方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小设辅助函数、选区间、应用定理
17、、放大缩小( )( )( )(),( , )f bf afbaa b ( )f 放大或缩小构造有关的函数构造有关的函数确定应用区间确定应用区间应用应用Lagrange定理定理计算导数后的等式计算导数后的等式转化为不等式转化为不等式解题思路解题思路：目录 上页 下页 返回 结束 11()()nnnnnbababnaab练习练习4：P134 90,ab1n 设设，证明，证明: : 证证: 设( ),nf xx ( ) , f xb a则则在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中值定理条件,即因此即( )( )f af bnnab 1(),nnabba 1()nnab 1()nnbab 1()nnaab
18、11()()nnnnnbababnaab( )(),fabba 因此应有又又 0b 1,所以所以 bn 1 n 1 an 1 目录 上页 下页 返回 结束 arctanarctanabab练习练习4：P134 11(1)证证 设设f(x)=arctan x ,不妨设不妨设ab .可知必定存在一点可知必定存在一点 ,),(ba使得使得. )()()(abfafbf因此因此arctan x在在a,b上满足拉格朗日中值定理条件上满足拉格朗日中值定理条件.由于 ，因此. |11|arctanarctan|2ababab112. ),(11arctanarctan2baabab即目录 上页 下页 返回
19、结束 1:,xxee x证证明明 当当时时:xee x于于是是111:(),xeexex 因因此此其其中中1111,:()xeeeexee xe 由由于于因因此此上上式式可可得得11( ),( ) , :( )xxf xexf xxfxe 证证设设则则对对任任意意的的在在闭闭区区间间上上都都满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件 且且练习练习4：P134 11(2)目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b
20、) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0问题转化为证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 构造辅助函数构造辅助函数目录 上页 下页 返回 结束 证证: 作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知, 至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯
21、西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两个 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 目录 上页 下页 返回 结束 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:弦的斜率切线斜率xyO目录 上页 下页 返回 结束 )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例4. 设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在
22、xf至少存在一点),1,0(使证证: 问题转化为证设则)(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff证明目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理目录 上页 下页 返回 结束 )(111nnf作业作业P134 6, 8 , 1
23、0 , 14 , 预习：第二节 洛必达法则提示提示:xxfxe)()(题*15. )(nxxf)0(f 0)0(f0题14. 考虑第二节 目录 上页 下页 返回 结束 造造技技巧巧：注注：常常见见的的一一些些函函数数构构 )()(),(1ffba 使使）证）证（( )( )F xxf x0)()(),(2 ffba使使）证）证（)()(xfexFx 0)()()(xfexfexFxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）证）证（)()(xfexFx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）证）证（)()()()()(xgxfxgxfxF )
24、()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxF 目录 上页 下页 返回 结束 4412 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数4)(xxf在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值._2) 设有个根 , 它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程目录 上页 下页 返回 结束 2. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(x
25、F在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(目录 上页 下页 返回 结束 3. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(exxxf作辅助函数, )(e)(xfxFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.目录 上页 下页 返回 结束 4. 思考: 在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,0 0 x时.
26、 0cos1问问是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因为)(x是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数费马费马(1601 1665)费马 法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736
27、 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的是为巴黎综合学校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 广泛而深远 .对数学的影响他是经典分析的奠基人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析数学的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 目录 上页 下页 返回 结束
28、备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证: 设辅助函数)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn0目录 上页 下页 返回 结束 0)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设 )0()()()(1221fxfxfx
29、xf)(21)011x11)(xf目录 上页 下页 返回 结束 练练 习习arctanarccot.2xx 证明证证:( )arctanarccot ,f xxx设2211( )()11fxxx 0. ( ),f xC (0)arctan0arccot0f 又02 ,2 .2C 即arctanarccot.2xx 目录 上页 下页 返回 结束 11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e , 1(,)()() 1 (e) 1 (e)FfFFff例例5. 试证至少存在一点)e , 1(使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,ln
30、sin)(则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 试证至少存在一点)e , 1(使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,e), 1 (使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 目录 上页 下页 返回 结束 并指出它们所在的区间。并指出它们所在的区间。分别在区间分别在区间 ( 1, 1), (1, 2), (2, 3) 内。内。 证：证：显然显然, f (x)
31、分别在闭区间分别在闭区间 1, 1, 1, 2, 2, 3上连续，上连续， 5. 5. 设函数设函数f (x) = (x +1) (x 1) (x 2) (x 3)，证明方程证明方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，且且 f ( 1) = f (1) = f (2) = f (3) . 由罗尔定理，由罗尔定理，在在( 1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点内分别存在点 1 , 2, 3 ，使得使得 f ( 1) = f ( 2) = f ( 3) = 0即方程即方程f (x) = 0有三个实根，有三个实根，在开区间在开区间 ( 1, 1), (1, 2), (2, 3) 内
32、可导，内可导，目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3. . 设函数设函数 f (x) = (x 1)(x 2)(x 3), 试判断方程试判断方程 f x 有几个实根有几个实根, 分别在何区间分别在何区间?解解: : 因为因为 f (1)= f (2)= f (3), 且且f (x)在在1, 2上连续上连续,在在(1,2)内可导内可导, 由罗尔定理由罗尔定理, 1 (1, 2),使使 f ( 1;同理同理, 2, , 使使 f ( 2;又因又因f (x是二次方程是二次方程, 至多两个实根至多两个实根,故故f (x有两个实根有两个实根, 分别位于分别位于(1,2) 和和(2,3)内内.应用应用:罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其与某函数的一阶导数有关的方程与某函数的一阶导数有关的方程.目录 上页 下页 返回 结束 , 0 时当证明：ba .lnaababbab)(1lnln)(1 abaababb即要证, b , , ln)( axxxf令, , )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则baxf故, )(1lnlnbaabab从而 .lnaababbab例5证证
