1、 1.11.1空间轴对称问题特点：空间轴对称问题特点： 1. 1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、域内所有物理量（体力、面力、位移、应力、应变）均为应力、应变）均为r、z的函数。的函数。 与平面轴对称问题类似，空间轴对称与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（z轴）轴）对称，导致如下简化，对称，导致如下简化， 2 2荷载：体力荷载：体力f =0，面力，面力 ，位移，位移u u =0=0，应力应力 r = z =0，应变，应变 r = z =0。0F3待求的物理量待求的物理量 ：ur、w、 r、 、 z、 rz= zr、 r、 、
2、z、 rz= zr0rrzrrfrzr0zzrzzrfrzr2.几何方程（四个）：几何方程（四个）：rurrrurzwzrwzurrzzr3.3.变形协调方程（四个）变形协调方程（四个）02122rrrrrr022222zrzrrzzr0)(12rzrzr01122rrzrzzrz4.物理方程（四个）：物理方程（四个）：zwruruerr)(1zrrE)(1zrE其中其中 体积应变体积应变或或 )(1rzzEzrrzE2)1 ( 5.边界条件边界条件rruu ww ,rrk Zkzrz zzkZ,rzrk位移边界：位移边界： 在在Su上上6.按应力解法按应力解法 力的边界：在力的边界：在 r=
3、r0 在在 z=z0 四个应力分量四个应力分量 r、 、 z、 rz 为基本未知量。为基本未知量。基本方程（六个）：基本方程（六个）： 两个平衡微分方程与两个平衡微分方程与 四个用应力表示的变四个用应力表示的变 形协形协 调方程；调方程； 再加上力的边界条件。再加上力的边界条件。 如果体力为零时，基本方程为齐次方程，则如果体力为零时，基本方程为齐次方程，则可采用应力函数解法，引入应力函数可采用应力函数解法，引入应力函数 (r,z) ，使得应力用使得应力用 (r,z) 表示表示:)(222rzr)1(2rrz)2(222zzz)1(222zrzrrz (r,z)满足第一个平衡微分方程，而第二个平
4、衡满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡方程及四个相容方程，共同要求方程及四个相容方程，共同要求 2 2 = 4 =0 (r,z)应满足的基本微分方程。应满足的基本微分方程。222221zrrr0)()(2rrrfruuGreG2()0,zeGGwfz7按位移法解按位移法解 其中其中 a基本未知函数：基本未知函数： ur和和w 基本方程两个：基本方程两个： 并考虑适当的边界条件。并考虑适当的边界条件。zrGur2210u)1 (221222zGw)(222rzr)1(2rrz)2(222zzz)1(222zrzrrzzRrPx yz选选 (r,z) 为为r和和z的正一次幂式的正一次幂式: (r,
5、z) = A1R+ A2R - zln(R+z) 为双调和函数为双调和函数zRrPx yz (r,z) = A1R+ A2R - zln(R+z)则则 (r,z) 自然满足自然满足 4 =0 。代入位移、应力计算式代入位移、应力计算式.)(21231zRRrARrAGuzrRARRzAGw23211)43(21zRrPx yz位移：位移：应力：应力： )(13)21 (325231zRRRzARzrRzAr)()21 (231zRRARzA3253313)21 (RzARzRzAz3252313)21 (RrARrzRrArz根据边界条件来确定根据边界条件来确定A1和和A2：zRrPx yz在
6、在z=0且且r 0边界上边界上, z=0 自然满足。自然满足。在在z=0且且r 0边界上边界上, zr= 0 3253313)21 (RzARzRzAz（1-2 ）A1+ A2 = 0(a)3252313)21 (RrARrzRrArz在在z= z0 0平面上，要求平面上，要求 z 的合力与的合力与P平衡。平衡。 020Prdrz还需一个条件（包括还需一个条件（包括P的）。的）。 将将 z 表达式代入，得表达式代入，得zPrrdrz0 z P - 4 A1(1- ）- 2 A2 = 0 (b)023)1(2030205300301drRrzAdrRrzdrRrzAP0023202031)(zd
7、rzrrdrRr300252020531)(zdrzrrdrRr 而而GrPur4)21 ( GrPw2)1 ( Prz已知条件：半空间体在边界上受已知条件：半空间体在边界上受均布法向荷载均布法向荷载q作用，在半径作用，在半径为为a的圆面积。的圆面积。zaqar寻求解答：寻求解答：1. z =0边界上的沉陷边界上的沉陷 w z=0 = ? 2. r =0（对称轴）上的应力和位移。（对称轴）上的应力和位移。求解方法：采用叠加法和半空间体边界受法向求解方法：采用叠加法和半空间体边界受法向集中力集中力P的计算结果求解。的计算结果求解。3.1 边界上一点边界上一点M的竖向位移的竖向位移w：1.设设M点
8、为圆面积之外：点为圆面积之外： M点可以在荷载圆面积点可以在荷载圆面积之外也可在之内。之外也可在之内。zaqar 当半空间体边界上受法向集中力当半空间体边界上受法向集中力P时，时，边界上距边界上距P点为点为r的点竖向位移为的点竖向位移为 ：ErPGrPw)1 (2)1 (2圆面积均布荷载圆面积均布荷载q对圆外对圆外M 点竖向位移影响可点竖向位移影响可取一个微面元，距取一个微面元，距M点为点为s，角度为，角度为 处，处，dA=sd ds ，dA上上q 对对M点影响：点影响： rraMs1s2sdsdzaqarrraMs1s2sdsdEdsqdEsqsdsddw)1 ()1 (22ErPGrPw)
9、1 (2)1 (2整体圆面积荷载对整体圆面积荷载对M点影响为点影响为dssEqdsdEqdww)1 (2)1 (102221（对称性22212sin2rass而而rraMs1s2sdsd 1为为M点作为圆相切线点作为圆相切线OM线的夹角线的夹角draEqw102222sin)1 (4rraMs1s2sdsd为了简化积分将积分为了简化积分将积分变量变量 转变为转变为 由图形可见由图形可见 asin =rsin , 两边微分两边微分 acos d = rcos d coscosaddr rraMs1s2sdsd2222coscos1 sin1sinadadrarr 222cos1sinaddarr
10、 2sinsin1aar 的取值范围：由的取值范围：由0 1 rraMs1s2sdsd的取值范围：的取值范围：0 2222220224(1)cossin1sinqadwaaEarr222222022(1 sin)4(1)1sinadqrrEar2222224(1)cos1sinqadEarr 第二类椭圆积分第二类椭圆积分 第一类椭圆积分第一类椭圆积分22222222200224(1)1sin(1)1sinqraadwdErrar 对于不同对于不同a/r可由椭圆积分表得到。可由椭圆积分表得到。2M点载荷在圆之内：点载荷在圆之内：EdsqdEsqsdsddw)1 ()1 (22Masdsdrmn圆
11、内距圆内距M点点s处微面积处微面积q对对M点沉陷的影响仍为点沉陷的影响仍为整个圆面积荷载引起整个圆面积荷载引起M点沉陷为：点沉陷为：dsEqdsdEqdwwmn2022)1 (2)1 (对称性daEqw202cos2)1 (2darEqaw202222sin1)1 (4第二类椭圆积分第二类椭圆积分 利用利用 asin =rsin 当当r= 0为圆心处沉陷：为圆心处沉陷：当当r= a时圆周上沉陷：时圆周上沉陷：02max)1 (2wEqawEqawar)1 (42 3.2 在在z轴轴r=0上的应力和位移上的应力和位移 在在z轴上的应力和位移比同一水平面上其它点轴上的应力和位移比同一水平面上其它点
12、的应力和位移要大。的应力和位移要大。1. 应力：由于应力：由于z轴对称轴，所以在轴对称轴，所以在z 轴上的应力轴上的应力无剪应力，均为主应力：无剪应力，均为主应力： r = 、 z23223)(1azzqz212223223)()1 (2)(212azzazzqr2位移：位移：z轴上的轴上的ur= 0，仅存在，仅存在wRRzGqrdrddw1)1 (2432RRzErdrdq1)1 (22)1 (32drRRzrGqwa1)1 (22320drRRzrGqwa1)1 (22320zazzaEqw)21 ()()21 ()1 (2)1 (212232第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的
13、接触压力 接触压力问题是在机械工程、土木工程中接触压力问题是在机械工程、土木工程中经常碰到的问题，接触问题在经常碰到的问题，接触问题在18811881年由德国年由德国赫兹（赫兹（Heinrich Herty）首先用数学弹性力学）首先用数学弹性力学导出了计算公式。导出了计算公式。4.1 4.1 接触问题的特点：接触问题的特点： 1两个弹性体互相接触，当无压力作用时，为两个弹性体互相接触，当无压力作用时，为点接触或线接触。当有压力作用时，弹性体发点接触或线接触。当有压力作用时，弹性体发生变形，点接触（或线接触）变为面接触。生变形，点接触（或线接触）变为面接触。 2弹性体变形后的接触面为非常小的局部
14、弹性体变形后的接触面为非常小的局部区域（相对于弹性体几何尺寸）所以可看成区域（相对于弹性体几何尺寸）所以可看成半空间（半无限平面）体法向受局部分布力半空间（半无限平面）体法向受局部分布力作用问题，但这里分布力作用问题，但这里分布力q不是均匀的，同时不是均匀的，同时q也未知，接触面的局部区域也是未知的。也未知，接触面的局部区域也是未知的。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 3不计接触面摩擦力。不计接触面摩擦力。 4.2 4.2 两球体之间的接触压力：两球体之间的接触压力：已知两球体变形前在已知两球体变形前在o点接触，两个坐标系点接触，两个坐标系 roz1、roz2第四节第四节
15、 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力rOz1z2O2O1R2R1球球1：E1 、 1、R1球球2：E2 、 2、R2 M1M2r距接触点距接触点z轴为轴为r的两球的两球表面上表面上M1和和 M2点的点的z坐标分别为（坐标分别为（M1和和M2与点与点o很近）很近）第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r1212Rrz )211 ()1 (2121121221122111RrRRRrRRrRRz2222Rrz 222121)2121(rrRRzz则则第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 在已知在已知P压力作用下，两球在接触
16、点附近发压力作用下，两球在接触点附近发生变形有一个接触面，根据对称性接触面为生变形有一个接触面，根据对称性接触面为以以a为半径的圆。为半径的圆。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 1 1a为待求量，同时接触面上有接触压力为待求量，同时接触面上有接触压力q q（待求）。（待求）。2由于接触问题是局部变形，在球体远离由于接触问题是局部变形，在球体远离o o点的任意点位移为刚体位移。点的任意点位移为刚体位移。两球内距两球内距o点点很远处的相对位移（刚体位移）为很远处的相对位移（刚体位移）为 ？ 下面要建立（找出
17、）三个条件（几何、物下面要建立（找出）三个条件（几何、物理、平衡方程）寻求理、平衡方程）寻求a 、q 和和 。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力求解：求解：首先根据接触面变形（位移）来建立一首先根据接触面变形（位移）来建立一个关系个关系球球1 1：触面上：触面上o点、点、M1点点沿沿z1轴位移为轴位移为w1(o)、w1而而 w1(o)= w1+ z1 M1rPPoz1z2O1M2ar第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力球球2 2：触面上：触面上o点、点、M2点点沿沿z2轴位移为轴位移为w2(o)、w2 w2(o)= w2+ z2 而而 w1(o) +w2(
18、o)=w1+ z1+w2+ z2w1(o) +w2(o)=w1+w2+ r2或或M1rPPoz1z2O1M2ar而而 w1(o) +w2(o)= 第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力两球体距两球体距o点较远处两点的趋近距离。点较远处两点的趋近距离。 = w1+w2+ r2 变性协调关系变性协调关系w1(o) +w2(o)=w1+w2+ r2由于接触问题可看成半由于接触问题可看成半无限体受局部垂直分布无限体受局部垂直分布力问题，力问题，w1和和w2可以利可以利用上一节的结果。用上一节的结果。M1rPPoz1z2O1M2arqdsdkqdsdEw11211)1 (qdsdkqds
19、dEw22222)1 (第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力qdsdkkww)(2121相当物理和几何关系相当物理和几何关系 代入代入 = w1+w2+ r2qdsdkkww)(2121qdsdkkr)(212在此式中在此式中a 、q 和和 未知。未知。第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力qdsdkkr)(212第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 q与与P P 有关，为寻求解，赫兹假设接触面有关，为寻求解，赫兹假设接触面上的分布力上的分布力q的。的。假设：假设： q 分布为以分布为以a为半径的半球面乘为半径的半球面乘q0/a，q0为接触面
20、中心接触压力的集度。为接触面中心接触压力的集度。22222rayxaz第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力Masdsdrmnrrq0z22200q zqqaxyaa2201rqqaPdAarqqdA2201第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力赫兹通过这样假设，并利用赫兹通过这样假设，并利用 2201rqqa222220000121()aarrqrdrqd raa32222000222(1)33arq aqaa 或或 Paaq30322023aPq第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力得得 代回代回qdsdkkr)(2122221223()12
21、Prrkkdsdaa赫兹通过接触面上的接触压力的分布假设可使赫兹通过接触面上的接触压力的分布假设可使 等式右端的积分为一个常数项和等式右端的积分为一个常数项和r2的二次项。的二次项。 qdsd第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力 的积分，在任意的积分，在任意 qdsdkkr)(2122220sinraaq222sin2ra rra222sin2ra 第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力2220sin2qqdsara2220sinraaq222sin2ra dsdqkkr)(212daqrakkr022220212)sin(22)(积分得积分得daqrakkr022220212)sin(22)()2(4)(2202212raaqkkr第四节第四节 两球体之间的接触压力两球体之间的接触压力比较上式两边得比较上式两边得2)(0221aqkkaqkk4)(0221
