1、专题突破 8 易错、易漏、易混题集一 集合1审题不慎例 1：设集合 M直线，P圆，则集合 MP 中的元素的个数为()A0B1C2D0 或 1 或 2错因因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1 或2 个，所以MP 中的元素的个数为0 或1 或2.故选D.正解本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合 M，P 就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题实际上，M，P 表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素故选 A.答案：A2分不清集合的元素 等于 ()Ay|y1By|y1Cy|y0Dy|y0 交集，错选 A 或 B.实际上是求两函数的值域的交集正解集合中的代表元素为 y，
2、两集合表示两函数的值 MPy|y0故选 C.答案：C3忽视集合的三要素例 3：已知集合 A1,3，a，B1，a2a1，且 BA，则 a_.错因没有考虑元素的互异性正解由 a2a13，a1 或 a2，经检验符合由 a2a1a，得 a1，但集合中有相同元素，舍去，故 a1 或 2.答案：1 或 24忽略空集情形例 4：若集合 Ax|x2x60，Bx|mx10，且B A，求 m 的值错因当 BA 时，要特别注意 B 的情况；分类讨论时，要结合实际，且做到不重不漏正解Ax|x2x603,2B A，B ，或 B3或 B2即 mx10 无解，或解为3 或 2.当 mx10 无解时，m0；【突破训练】1设集
3、合 Mx|x54aa2，aR，Ny|y4b24b2，bR，则下列关系中正确的是()AMNBMNCMNDMN解析：集合 Mx|x54aa2，aRx|x(a2)21，aRx|x1，Ny|y4b24b2，bRy|y(2b1)21，bRy|y1MN.A2已知集合 A(x，y)|ysinx，集合 B(x，y)|ytanx，则 AB()A(0,0)B.C(k，0)D3已知集合 Ax|x2n1，nZ，Bx|x24x0，则 AB()A1Bx|1x4C1,3D1,2,3,4解析：集合 A 表示奇数集，集合 Bx|0 x4CC二 简易逻辑1逻辑语言认识不清例 1：下列命题中的假命题是()错因对逻辑语言“任意”、“
4、存在”认识不清正解对于 C 选项 x1时，x31，故选 C.答案：CAxR，lgx0 BxR，tanx1CxR，x30 DxR,2x02没有分清“或”与“且”的否定例 2：设原命题是“已知 a，b，c，d 是实数，若 ab，cd，则 acbd”，则它的逆否命题是()A已知 a，b，c，d 是实数，若 acbd，则 ab 且cdB已知 a，b，c，d 是实数，若 acbd，则 ab 或cdC若acbd，则a，b，c，d不是实数，且ab，cdD以上全不对错因没有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”，错选 A.正解逆否命题是“已知 a，b，c，d 是实数，若 acbd，则 ab 或 cd”
5、答案：B3充要条件 )2)x(m2)y30 相互垂直”的 (A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件正解当m 时两直线垂直两直线垂直时m 或m2.故选 B.答案：B【突破训练】1已知命题 p：xR，x22axa0.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是()Aa或 a1C0a1Ba0 或 a1D0a1Dx22axa0恒成立4a24a00a1.2下列四个命题中，其中为真命题的是()解析：由于xR 都有 x20，因而有x233，故A 错；由于 0N，当 x0时，x21不成立，故B错；由于1Z，当 x1 时，x51，故C对；由于使x23成立的数只有 ，而它们都不
6、是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，故 D 错CAxR，x230 BxN，x21CxZ，使x51 DxQ，x233一元二次方程 ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()Aa0Ca1Ba0Da1C三 函数部分1不了解函数定义域的内涵例 1：若函数 yf(x)的定义域是0,2，则函数 g(x) 的定义域是 _.错因不理解抽象函数定义域的内涵错解 x0,1)(1,4正解因为 f(x)的定义域为0,2，所以对 g(x)，02x2 但x1，故 x0,1)答案：0,1)2判断函数奇偶性时没有考虑函数的定义域例 2：给出四个函数： ； ylg(2x)lg(2x); ylg
7、(x2)(x2);ylg(x2)lg(x2)，其中奇函数是_，偶函数是_错因判断函数的奇偶性时没有考虑定义域要关于“0”对称正解的定义域相同，均为(2,2)，且均有 f(x)f(x)，所以都是奇函数；的定义域为(，2)(2，)，且有 f(x)f(x)，所以为偶函数；而的定义域为(2，)不对称，因此非奇非偶函数答案：例3：函数y 的单调递减区间为_.错因没有考虑定义域，得函数y 的单调减区(2xx2)的单调减区间是1,2)3判断函数单调性时没有考虑函数的定义域间是(，1 ；没有考虑复合函数的单调性，认为函数y13log13log (13log答案：(0,113log13log13log4没有考虑
8、二次项的系数例 4：不等式(a2)x2 2(a2)x40对一切 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是_错因错解2a2，没有考虑二次项的系数正解当 a2 时，不等式显然成立；当 a2 时， 解得2a2.综合，得2a2.答案：2a25不清楚函数的奇偶性和单调性的关系例 5：若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(，0)上是减函数，且 f(2)0，则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是()A(，2)C(，2)(2，)B(2，)D(2,2)错因以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反错误地认为 f(x)在0，上仍是减函数，导致答案选错正解f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)
9、f(x)0f(|x|)f(2)又f(x)在(，0)上是减函数，f(x)在0，上是增函数，|x|22x0，f(x)在(，1)与(1，)上是增函数若 x1,1时，f(x)0，故 f(x)在1,1上是减函数3a2b30 ，3a2b30f(1)2 是极大值f(1)2 是极小值(2)曲线方程为 yf(x)x33x，点 A(0,16)不在曲线上设切点( x0，y0)，则点 M 在曲线上， .因 f .故切线的方程为 点 A(0,16)在曲线上，有 16 ，化简 此切线方程为：y233(x2)，即 y9x16.六 数列部分1没有考虑等比数列符号的规律例 1：如果 1，a，b，c，9 成等比数列，那么 b _
10、.错因1，b，9 分别是数列的第 1,3,5 项，应该同号正解 b2199，b3，又 1，b,9 分别是数列的第 1,3,5 项，应该同号所以 b3.答案：32已知Sn求an时没有单独考虑a1例 2：(2011 年四川)数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an13Sn(n1)，则a6()A3 44 B3 441 C44 D45错因错选 D.因为an 本题是从第二项起为等比数列正解由an13Sn，得an3Sn1(n2)，相减，得an1an3(SnSn1)3an，则an14an(n2)，a11，a23，则a6答案：Aa244344.3等比数列求和时没有考虑 q1 的情形例 3：求和：aa3
11、a5a2n1.错因解本题易出现的错误就是：(1)没有理解等比数列的概念，数列an是等比数列，直接套用等比数列前 n 项和公式；(2)用等比数列前 n 项和公式时没有讨论公比 q 是否等于 1.事实上，数列an是否为等比数列与 a 的值有关，需要对 a 进行分类讨论 4数列|an|的前 n 项和 Sn 时没有分类讨论例 4：已知数列an的前n项和是Sn32nn2，求数列|an|的前 n 项和 Sn.错因没有考虑项的正负，没有对 n 进行分类讨论正解 a1S13211231，当 n2 时，anSnSn1332n，又由 an0，得 n16.5，即an前 16 项为正，以后皆负当 n16 时，SnSn
12、|a1|a2|an|a1a2an32nn2.当n16时，Sna1a2a16a17a18anS16(SnS16)2S16Sn51232nn2.a33，a131. .5求公比时没有考虑偶次方根的情形例 5：在等比数列an中，a5a113，a3a134，则公比 q的个数有()A1B2C3D4错因做题不够深入，只看表面，容易错选 B.正解 a5a11a3a133，a3a134，a31，a133或答案：D【突破训练】1(2011 年安徽安庆二模)在等比数列an中，a2，a10是方程 x28x40的两根，则a6为()A2B2C2D4解析： 又所以a2，a10同为正数，显然a6与a2，a10同号，故a62.
13、C2已知数列an的通项公式是ann2n(其中nN*)是一个单调递减数列，则常数的取值范围是(A(，1)B(，2)C(，0) D(，3)D七 三角函数部分1忽视隐含条件例 1：若 sin2x，sinx 分别是 sinq与 cosq的等差中项和等比中项，则 cos2x 的值为()错因错解 cos2x，选 C.本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件正解事实上，由 sin2xsinqcosq，得 cos2x1sin2q0，所以不合题意故选 A.答案：A2不能正确的选择公式例 2：若 ，且 ，则tan的值等于()错因 cos22cos2112sin2cos2sin2，对三个公式的正确选择
14、是解题的关键答案：D3没有考虑绝对值例 3：化简 _.错因忽略 |a|，忽略 cos1B.下面三个不等式成立的是_sinAsinB;cosAcosAcosB.错因没有认识锐角三角形中任意两角之和为钝角，从而漏选.正解锐角三角形的内角分别是 A，B，C，并且 AB，显然有sinAsinB 及cosA90，即A90B，有sinAsin(90B)cosB，同理sinBsinA，两式相加，得 sinAsinBcosAcosB.故成立的不等式有.答案： ，则的值为(6没有挖掘题中的隐含范围例 6：设 tan，tan是方程 的两根，且)答案：A7公式掌握不熟练错因此题容易错选为 D，错误原因是对诱导公式掌
15、握不 答案：C牢【突破训练】1若 x 为三角形的最小内角，则函数 ysinxcosx 的值域是()AC 3.函数 y2cosxsin 的最小值是 _.八 平面向量部分1ab0 只是夹角是钝角的一个必要条件例 1：(2011 年广东中山模拟)已知 a(1,2)，b(2，)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数的取值范围是_错因 ab0 并不能确定 BAC 是钝角(还有可能是平角)，它只是一个必要条件正解ab02201，若a，b反向，得4，故(，4)(4,1)答案：(，4)(4,1)2缺乏联想能力，不能准确确定点的位置 图 4 错因不理解向量三点共线定理，找不准点O的位置，从而影响对三角形形状的判
16、断3没有注意向量的数量积中夹角 错因错选 C.没有注意向量的数量积中夹角，应该在图形中将箭头表明，找准向量的夹角答案：A【突破训练】1将函数 y2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y2x8的图象，给出以下四个命题：a 的坐标可以是(4.0)；a 的坐标可以是(0,8)；a 的坐标可以是(4,0)或(0,8)；a 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 _. 4BA2 B3 C4 D5九 解析几何部分1概念不清例 1：已知 l1：2xmy20，l2：mx2y10，且l1l2，则 m 的值为()A2B1C0D不存在错因错选 D.本题的失误是由概念不清引起的，即 l1l2，则 k1k21，是
17、以两直线的斜率都存在为前提的若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0，则两直线也垂直正解当 m0 时，显然有 l1l2 ；若 m0 时，由前面的解法知 m 不存在答案：C2忽略特殊性例 2：已知定点 A(1,1)和直线 l：xy20，则到定点 A的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D直线错因错选 C.本题的失误在于忽略了点 A 的特殊性，即点A 落在直线上正解点 A 落在直线 l 上答案：D3忽略直线斜率不存在的特殊情况例 3：过点 P(1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(4,5)的距离相等，求该直线的方程错因设直线的斜率为 k，然后利用点到直线的
18、距离公式，漏掉斜率不存在的情形当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(1,4)，直线的方程为 x1.故所求直线的方程为 x3y50 或 x1.4没有考虑过原点的特殊情形例 4：一条直线过点(5,2)，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为()Axy70B2x5y0Cxy70 或 2x5y0Dxy70 或 2y5x0错因利用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕则求得 a7，方程为 xy70.答案：C5未考虑到三条直线相交于一点例 5：若三条直线 l1：xy0；l2：xy20; l3：5xky150 围成一个三角形，则 k 的取值范围是()AkR 且 k5 且 k1BkR 且 k
19、5 且 k10CkR 且 k1 且 k0DkR 且 k5错因要使在三条直线不能围成三角形，除了有其中两条直线平行外，还有可能三线共点正解三条直线如果有两条平行或三条直线交于一点时就不能围成三角形答案：B6两圆相切包括内切和外切例 6：集合 A(x，y)|x2y24和B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 AB 中有且仅有一个元素，则 r的值是_错因考虑不严密，两圆相切包括内切和外切两种情形正解两圆内切有圆心距 d 5|2r|r7；两圆外切有圆心距 d 52rr3.故 r 的值是 3 或 7.答案：3 或 7线 1 的离心率为(7等比中项有两个值例 7：两个正数 1,49 的等差
20、中项是 a，等比中项是 b，则曲)答案：C8没有考虑双曲线焦点的位置9没有很好理解椭圆的定义例 9：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ()答案：D【突破训练】 2已知直线 l1：xay61和l2： (a2)x3y2a0，则 l1l2的充要条件是 a_. 解析： l1l2的充要条件是A1B2A2B10且 A1C2A2C10.B解析：焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上1十 立体几何部分1利用三视图还原空间几何体时常错判长宽高例 1：一个正三棱柱的三视图如图 5，求这个三棱柱的表面积和体积图 5错因此题常犯的错
21、误是把俯视图中三角形的边长看作 .在处理三视图问题的时候，应该特别注意边长关系正解由三视图易知，该正三棱柱的形状如图 6：且 AABBCC4 cm，正三角形 ABC 和正三角形ABC的高为 cm.正三角形 ABC 的边长为该三棱柱的表面积为图 62缺乏空间想象能力例 2：在空间中，与一个ABC 三边所在直线距离都相等)的点的集合是(A一条直线C三条直线B两条直线D四条直线错因错选 A.在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点(我们称其为旁心)也符合到三角形三边所在直线等距离正解设该点为 P，且 P 在平面 ABC 上的射影为 O，因为P 到ABC
22、 三边所在直线距离都相等，所以 O 到ABC 的三边所在直线的距离都相等，即 O 为ABC 的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或旁心且与平面 ABC 垂直的直线上，这样的直线有 4 条答案：D3忽视几何体的不同放置对三视图的影响例 3：一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选.正解三棱锥的正视图是三角形；当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；对于四棱柱，不论
23、怎样放置，其正视图都不可能是三角形；当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形答案：【突破训练】1正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是 ()A正四面体的一条棱长C正四面体的高B正四面体后条斜高的长D以上结论都不对解析：正四面体的四个面都全等，设其面积都为 S，四面体的高为 h，并设正四面体内任一点到四个面的距离分别为 h1，C2(2012 年广东佛山一模)一个体积为 12 的正三棱柱的)三视图如图 7，则这个三棱柱的左视图的面积为( A图 7十一 概率与统计部分1没有读懂题意例 1：样本总体中有 100 个个体，随机编号为 0,1,2
24、，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1,2,3，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第一组抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 mk 的个位数字相同，若 m6，则在第 7 组中抽取的号码是_错因答案为 73 的错因是：第 7 组中个体的号码错误，第7 组应为 61,62，69.答案为 66 的错因是：死套课本上介绍的方法不管问题实际正解m6，k7，mk13，它的个位为 3，依题意第7 组的号码为 61,62，69.第7 组抽取的号码应为63.答案：632在利用等可能事件的概率公式时分子分母的标准不一致例 2：某人有 5 把钥匙，其
25、中有 1 把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是_ 母的标准不一致，分母是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致错误正确的想法是：要么分子分母都考虑 5 次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次 答案：15错因在利用等可能事件的概率公式P(A) 时，分子、分【突破训练】1一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为()D十二 复数部分1对复数相等理解不透彻例 1：若 x 是纯虚数，y 是实数，且(x1)iy(3y)i，求 x，y 的值错因不能正确的得出复数方程正解设 xai，aR，有(ai1)iy(3y)i，即1(a1)iy(3y)i，2共轭复数的理解答案：B例 3：复数3对复数虚部的定义不理解的虚部为()A.1B1CiDi错因不知道 zabi(a，bR)中哪一个是虚部正解i(1i)1i.虚部为1.答案：B【突破训练】1已知4mi12iR，则|m6i|()A10B8C6D m8.|m6i|86i| 10.A2如果复数(1ai)(2i)的实部和虚部相等，则实数 a 等于_解析：(1ai)(2i)(2a)(12a)i.
