中学数学的逻辑基础课件.ppt

1、第四章中学数学的逻辑基础第四章中学数学的逻辑基础“初等数学，即常数的数学，是在形式初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的来说是这逻辑的范围内活动的，至少总的来说是这样。样。”恩格斯恩格斯形式逻辑是研究思维形式形式逻辑是研究思维形式(概念、判断、推理、概念、判断、推理、证明证明)及其规律及其规律(同一律、矛盾律、排中律、充同一律、矛盾律、排中律、充足理由律足理由律)的一门科学，数学有其自身特有的的一门科学，数学有其自身特有的逻辑系统，具有严密的逻辑性。对于中学数逻辑系统，具有严密的逻辑性。对于中学数学教师来说，首先应该掌握中学数学逻辑的学教师来说，首先应该掌握中学数学逻辑的

2、有关基础知识。有关基础知识。第四章中学数学的逻辑基础第四章中学数学的逻辑基础 4.1中学数学概念中学数学概念 4.2中学数学命题中学数学命题 4.3形式逻辑的基本规律形式逻辑的基本规律 4.4中学数学推理中学数学推理 4.5中学数学证明中学数学证明 4.6中学数学概念与命题的教学中学数学概念与命题的教学 4.7中学数学思维中学数学思维4.1中学数学概念中学数学概念 一、概念的意义一、概念的意义 1、概念、概念：是反映客观事物本质属性的思维形式。：是反映客观事物本质属性的思维形式。 2、数学概念、数学概念：现实世界中空间形式和数量关系及：现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。其

3、本质属性在思维中的反映。 3、从数学概念、从数学概念产生的客观背景产生的客观背景来说，一般有两种来说，一般有两种情形：情形： 直接从客观事物的空间形式或数量关系反映来的。直接从客观事物的空间形式或数量关系反映来的。如几何中的点的概念，算术中的自然数概念等。如几何中的点的概念，算术中的自然数概念等。 在原有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象在原有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的。如近代数学中的群、环、域概念等。概括而形成的。如近代数学中的群、环、域概念等。 4、数学概念的特点：、数学概念的特点： 数学概念具有抽象性与具体性。数学概念具有抽象性与具体性。 数学概念具有相对性与发展

4、性。数学概念具有相对性与发展性。 数学概念的定义、名词、符号数学概念的定义、名词、符号“三位一体三位一体”，处，处于一个完整的科学体系之中。于一个完整的科学体系之中。4.1中学数学概念中学数学概念 二、概念的结构二、概念的结构 1、概念分为概念的内涵和概念的外延两部分、概念分为概念的内涵和概念的外延两部分 内涵内涵：是指表达这个概念所包含的所有对象的共同：是指表达这个概念所包含的所有对象的共同属性的总和属性的总和(或集合或集合)。反映了概念的质。反映了概念的质 外延：外延：概念所反映事物的范围概念所反映事物的范围(或集合或集合)。即适合这个。即适合这个概念的一切对象的全体。反映了概念的量概念的

5、一切对象的全体。反映了概念的量 2、概念的内涵和外延的关系、概念的内涵和外延的关系 内涵扩大，则外延缩小。内涵扩大，则外延缩小。叫做概念的限定叫做概念的限定。通常。通常为了加深对某个概念认识或用较一般的概念来说明为了加深对某个概念认识或用较一般的概念来说明特殊的概念。特殊的概念。 内涵缩小，则外延扩大。内涵缩小，则外延扩大。叫做概念的概括。叫做概念的概括。从特从特殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念的共同性质。的共同性质。 只有在两个概念有只有在两个概念有从属关系从属关系时才成立。时才成立。4.1中学数学概念中学数学概念 三、概念间的关系三、

6、概念间的关系 概念间的关系是指概念的外延间的关系概念间的关系是指概念的外延间的关系 1、同一关系、同一关系：两概念外延完全重合。：两概念外延完全重合。 2、交叉关系、交叉关系：有且只有一部分外延重合。：有且只有一部分外延重合。 3、从属关系、从属关系：一个概念的外延完全包含在另一个概念：一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中。的外延之中。 在从属关系中外延大的概念叫做上位概念在从属关系中外延大的概念叫做上位概念(或种概念或种概念)，外延小的概念叫做下位概念外延小的概念叫做下位概念(或类概念或类概念)。矩形菱形两组。矩形菱形两组对边平行有一个角是直角四边形平行四边形对边平行有一个角是直角四

7、边形平行四边形 类差：一个概念的本质属性中用以区别于其它的类概类差：一个概念的本质属性中用以区别于其它的类概念的属性，叫做类差。念的属性，叫做类差。 4、矛盾关系、矛盾关系：两个概念外延互相排斥，但外延之和：两个概念外延互相排斥，但外延之和等等于于其最邻近的种概念的外延。其最邻近的种概念的外延。4.1中学数学概念中学数学概念 四、概念的定义四、概念的定义 1、给概念下定义给概念下定义:用已知的概念来认识未知概念，使未用已知的概念来认识未知概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念的定义都是由下定义的概念的定义都是由下定义的概念(已

8、知概念已知概念)与被下定义的概与被下定义的概念念(未知概念未知概念)这两部分组成。这两部分组成。 定义是建立概念的逻辑方法。定义是建立概念的逻辑方法。 下定义的模式有两种：一是通过揭示概念的内涵来给下定义的模式有两种：一是通过揭示概念的内涵来给出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。 2、定义的几种方式、定义的几种方式 “种种+类差类差”定义法：定义法：根据概念的从属关系，规定被定根据概念的从属关系，规定被定义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定义义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定义概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的一

9、概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的一种定义方法。如平行四边形。种定义方法。如平行四边形。4.1中学数学概念中学数学概念 四、概念的定义四、概念的定义 2、定义的几种方式、定义的几种方式 发生定义：发生定义：把只属于被定义事物，而不属于其它任何把只属于被定义事物，而不属于其它任何事物的发生或形成的特有属性作类差的定义。如：代数事物的发生或形成的特有属性作类差的定义。如：代数式的值的定义。平面式的值的定义。平面(空间空间)上与定点等距离的点的轨迹上与定点等距离的点的轨迹叫做圆叫做圆(球球)。圆柱、圆锥、微分、积分、坐标系等。圆柱、圆锥、微分、积分、坐标系等。 逆式定义法逆式定义法：是通

10、过列举概念的全部对象，即给出概：是通过列举概念的全部对象，即给出概念外延的定义法。也叫做归纳定义法或外延定义法。在念外延的定义法。也叫做归纳定义法或外延定义法。在外延定义中，外延定义中，DS是种，而是种，而DP是是DS诸邻近类概念的总诸邻近类概念的总和。如：整数与分数统称为有理数，实数的定义；正弦、和。如：整数与分数统称为有理数，实数的定义；正弦、余弦、正切、余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线、余弦、正切、余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线、抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等。运算等。4.1中学数学概念中学数学概念 四、概念的

11、定义四、概念的定义 2、定义的几种方式、定义的几种方式 约定式定义：约定式定义：依据数学上的某种特殊需要，通过约定依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。这种定义方法，一般是利用意义已的方式来下的定义。这种定义方法，一般是利用意义已经确定的表达式，去规定新引入的表达式的意义。如：经确定的表达式，去规定新引入的表达式的意义。如：为了使同底数幂的除法法则，在被除式的指数等于除式为了使同底数幂的除法法则，在被除式的指数等于除式指数时也能适用，把指数时也能适用，把“零指数零指数”的概念规定为：的概念规定为：a0=1（a0）；）；0！=1。 关系定义：关系定义：是以事物间的关系作为类差的定义

12、，它指是以事物间的关系作为类差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其它事物所不具出这种关系是被定义事物所具有而任何其它事物所不具有的特有属性。如：偶数的定义。偶数：有的特有属性。如：偶数的定义。偶数：能被能被2整除整除（A）的）的整数整数（B）叫做）叫做偶数偶数（C）。其中）。其中A是是B和和C的的关系。关系。4.1中学数学概念中学数学概念 四、概念的定义四、概念的定义 2、定义的几种方式、定义的几种方式 其它定义方法：其它定义方法： 递归定义递归定义(递推式定义法。如递推式定义法。如 n阶行列式、阶行列式、n阶导数、阶导数、n重积分的定义重积分的定义)、 描述性定义法描述性定义法(

13、如等式、极限的定义如等式、极限的定义) 公理定义法。公理定义法。4.1中学数学概念中学数学概念 四、概念的定义四、概念的定义 3、定义的规则、定义的规则 定义必须是相称的。定义必须是相称的。即定义项和被定义项的外延必须即定义项和被定义项的外延必须是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数(过过宽宽)和不尽方根和不尽方根(过窄过窄)来定义无理数。来定义无理数。 定义不能循环。定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以即在同一个科学系统中，不能以A概概念来定

14、义念来定义B概念，而同时又以概念，而同时又以B概念来定义概念来定义A概念。如：概念。如：“加法是求几个数和的方法加法是求几个数和的方法”。900的角叫做直角。的角叫做直角。 定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概念念。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念，。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念，不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直的线的线(不清楚不清楚)，叫做直线；两组对边互相平行的平面平，叫做直线；两组对边互相平行的平面平行四边形行四边形(不简明不简明)；不是有理

15、数的数，叫做无理数；不是有理数的数，叫做无理数(否定否定形式形式)。对初中生来说，在复数。对初中生来说，在复数a+bi中，虚部中，虚部b=0的数叫的数叫做实数做实数(应用未知概念应用未知概念)。4.1中学数学概念中学数学概念 五、概念的系列五、概念的系列 1、在一个科学系统中，有些概念可依一定顺序、在一个科学系统中，有些概念可依一定顺序构成一个逻辑链，组成一个概念系列。构成一个逻辑链，组成一个概念系列。 2、原名：这种不能用别的概念（名称）来定义、原名：这种不能用别的概念（名称）来定义的，且又用它来定义其他概念（名称）的概念的，且又用它来定义其他概念（名称）的概念（名称），叫做原始概念，简称为

16、原名。（名称），叫做原始概念，简称为原名。4.1中学数学概念中学数学概念 六、概念的分类六、概念的分类 1、分类、分类(划分划分)的定义的定义 分类分类(划分划分)是揭示概念外延的逻辑方法。是揭示概念外延的逻辑方法。 2、分类的规则、分类的规则 分类应按同一标准进行。分类应按同一标准进行。 分类应逐级进行。分类应逐级进行。 分类不重复，不遗漏、应当是相称的。分类不重复，不遗漏、应当是相称的。 分类后各个子类应当互不相容。分类后各个子类应当互不相容。 3、二分法、二分法 二分法是按概念的对象有无某一属来进行的划分二分法是按概念的对象有无某一属来进行的划分。4.1中学数学概念中学数学概念 思考与练

17、习：思考与练习： 1、阅读、阅读 2、写出概念、写出概念“钝角钝角”的关系定义，写出的关系定义，写出“圆锥圆锥”的发生定义，写出实数幂的发生定义，写出实数幂an(n=0、1、2.) 的递的递归定义，写出不等边三角形的否定式定义。归定义，写出不等边三角形的否定式定义。 3、给出、给出“函数函数”概念的两个不同的分类。概念的两个不同的分类。 4、何谓数学概念，数学概念的外延与内涵？试、何谓数学概念，数学概念的外延与内涵？试举例说明。举例说明。 5、数学概念之间有哪些关系？试举例说明。习、数学概念之间有哪些关系？试举例说明。习题题P36 2 6、数学概念常用的定义方式有哪些？正确的定、数学概念常用的

18、定义方式有哪些？正确的定义要符合哪些要求？习题义要符合哪些要求？习题P36 3 7、将数学概念分类有何意义？正确的分类应符、将数学概念分类有何意义？正确的分类应符合哪些要求？习题合哪些要求？习题P36 4。 4.2中学数学命题中学数学命题 一、判断一、判断 1、判断的定义、判断的定义 人们对客观事物的情况有所肯定或者否定的思维形式，人们对客观事物的情况有所肯定或者否定的思维形式，叫做判断。叫做判断。 2、判断的分类：、判断的分类：按判断的构成，判断分为简单判断和按判断的构成，判断分为简单判断和复合判断复合判断 简单判断简单判断：在一个判断中若不含其它判断，则称为：在一个判断中若不含其它判断，则

19、称为简单判断。简单判断。 性质判断：直接对客观对象的性质作肯定或否定的性质判断：直接对客观对象的性质作肯定或否定的简单判断，叫做性质判断。简单判断，叫做性质判断。 关系判断：判断对象与对象之间存在某种关系的简关系判断：判断对象与对象之间存在某种关系的简单判断，叫关系判断。单判断，叫关系判断。 复合判断复合判断：由两个或两个以上的简单判断用连接词：由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断叫做复合判断。有下面的四种基本形式：构成的判断叫做复合判断。有下面的四种基本形式：4.2中学数学命题中学数学命题 一、判断一、判断 复合判断复合判断有下面的四种基本形式：有下面的四种基本形式： A负判断：负判

20、断：用连接词用连接词“非非”构成，记为构成，记为P或，读或，读作作“非非P”。如：当。如：当P表示表示“所有质数都是奇数所有质数都是奇数”（假），则（假），则P 表示表示“并非所有的质数都是奇并非所有的质数都是奇数数”，即，即“有些质数不是奇数（真）有些质数不是奇数（真）”。 B选言判断：由两个或两个以上判断有用连接选言判断：由两个或两个以上判断有用连接词词“或者或者”构成的判断，记为构成的判断，记为AB，读作，读作“A或或B”。如：一个大于。如：一个大于1的自然数是质数或是合的自然数是质数或是合数；一个三角形为直角三角形，或为钝角三角数；一个三角形为直角三角形，或为钝角三角形，或为锐角三角形

21、。形，或为锐角三角形。4.2中学数学命题中学数学命题 一、判断一、判断 复合判断复合判断有下面的四种基本形式：有下面的四种基本形式： C联言判断：用连接词联言判断：用连接词“且且”构成判断，表明构成判断，表明几个事物情况都存在。记为几个事物情况都存在。记为AB，读作，读作“A且且B”。如：。如：6可以被可以被2整除，且可被整除，且可被3整除；正方整除；正方形的四条边相等，且四个角也相等。形的四条边相等，且四个角也相等。 D假言判断：（又叫做蕴含判断），是判断假言判断：（又叫做蕴含判断），是判断P为为另一判断另一判断Q存在的条件的判断，叫假言判断。存在的条件的判断，叫假言判断。P、Q分别叫做该判

22、断的前件和后件（或题设和题分别叫做该判断的前件和后件（或题设和题断，条件和结论），一般表达式为断，条件和结论），一般表达式为“若若.,则则.。”或或“如果如果，那么，那么”。记成。记成P Q。如：若两三角形相似，则对应边成比例。如：若两三角形相似，则对应边成比例。4.2中学数学命题中学数学命题 二、命题二、命题 1、命题的意义、命题的意义：表示判断的语句叫做命题。：表示判断的语句叫做命题。 命题的形式：命题的形式：“若若A则则B”，或，或“A B”，其中，其中A为为条件，条件，B为结论。命题有真有假，有简单命和复合命为结论。命题有真有假，有简单命和复合命题。题。 常用的真命题：定义、公理、定理

23、、法则、性质、常用的真命题：定义、公理、定理、法则、性质、推论等推论等 2、命题的演算和复合命题、命题的演算和复合命题 否定（非）：否定（非）：否定命题否定命题P的内容的命题，称为的内容的命题，称为P的否的否定。记为定。记为“P”，读作，读作“非非P”，P=P 。 合取（与）：合取（与）：P、Q是两个简单命题，用连接词是两个简单命题，用连接词“且且”或或“与与”构成的命题。构成的命题。 P且且Q叫做叫做P和和Q合取，记作合取，记作“PQ”又称联言命题。又称联言命题。特征为同真为真，否则为假。特征为同真为真，否则为假。4.2中学数学命题中学数学命题 二、命题二、命题 2、命题的演算和复合命题、命

24、题的演算和复合命题 析取（或）：析取（或）：两个命题两个命题P、Q用连接词用连接词“或或”构成的构成的命题，命题，P或或Q”称为称为P、Q的析取，记为的析取，记为“PQ”。特征。特征为同假为假，否则为真。为同假为假，否则为真。 合取与析取的关系：合取与析取的关系：（PQ）=（P）（Q） 蕴含：蕴含：两个命题两个命题P、Q用连接词用连接词“若、则、若、则、”构成的命题。构成的命题。“若若P则则Q”称为称为P与与Q的蕴含，也称为充的蕴含，也称为充分条件，假言命题，分条件，假言命题， 记为记为“PQ”，P蕴含蕴含Q 。特征为真的假不了，否则。特征为真的假不了，否则为真。为真。 “等值等值” ：给定两

25、个命题给定两个命题P、Q，用连接词，用连接词“等值等值”、“等价等价”、“当且仅当当且仅当”构成的命题。构成的命题。“P等值于等值于Q”叫做叫做P、Q的等值命题。记作的等值命题。记作“PQ”，读作，读作“P等等值值Q”或或“P当仅当当仅当Q”。4.2中学数学命题中学数学命题 二、命题二、命题 2、命题的演算和复合命题、命题的演算和复合命题 复合命题复合命题：由几个命题用否定、合取、析取、蕴含、：由几个命题用否定、合取、析取、蕴含、等值等演算得到的新命题叫做复合命题。等值等演算得到的新命题叫做复合命题。 命题演算的应用：命题演算的应用： PP是一个恒假命题，是一个恒假命题，PQP是一个恒真命题。

26、是一个恒真命题。 命题的运算律命题的运算律 幂等律：幂等律： PP=P，PP=P 交换律：交换律：PQ=QP，PQ=QP 结合律：（结合律：（PQ）R= P（QR），（），（ PQ）R= P（QR） 分配律：分配律：P（QR）= （PQ）（PR） P（QR）= （PQ）（PR） 吸收律：吸收律：P（PQ）=P，P（PQ）=P4.2中学数学命题中学数学命题 二、命题二、命题 命题的运算律命题的运算律 德摩根律：德摩根律：（PQ）=（P）（Q） 双重否定律：双重否定律：（P）=P 恒等律：恒等律：PI=I，PI=P，P0=0，P0=P 互补律：互补律：PP=I，PP=0 PQ=PQ （PQ）R=（

27、PR）（QR） （PQ）R=P（QR） 3、命题的四种基本形式及其关系：、命题的四种基本形式及其关系：给定命题给定命题P、Q， 原命题：原命题：“若若P则则Q”或或“PQ” 逆命题：逆命题：“若若Q则则P”或或“QP” 否命题：否命题：“若非若非P则非则非Q”或或“ P Q” 逆否命题：逆否命题：“若非若非Q则非则非P”或或“ QP”4.2中学数学命题中学数学命题 二、命题二、命题 具有逆否关系的命题是同真同假的，这种关系叫做等具有逆否关系的命题是同真同假的，这种关系叫做等效关系或等效原理。效关系或等效原理。 三、逆命题的制造三、逆命题的制造 如果一个命题的条件和结论都是一个简单命题，这如果一

28、个命题的条件和结论都是一个简单命题，这时只须将条件和结论互换位置，就得到这个命题的逆时只须将条件和结论互换位置，就得到这个命题的逆命题，且逆命题只有一个。命题，且逆命题只有一个。 如果一个命题的条件和结论都不只是一个简单命题，如果一个命题的条件和结论都不只是一个简单命题，将条件和结论中的简单命题任意换位可得到这个逆命将条件和结论中的简单命题任意换位可得到这个逆命题。题。 设条件中有设条件中有m个简单命题，结论中有个简单命题，结论中有n个简单命题，个简单命题，则这命题的逆命题个数为则这命题的逆命题个数为CmiCnj=( Cm1Cn1+ Cm1Cn2+Cm1Cnn)+( Cm2Cn1 Cm2Cn2

29、+ Cm2Cnn)+( CmmCn1+ CmmCn2+ CmmCnn)4.2中学数学命题中学数学命题 四、命题的同一原理四、命题的同一原理 1、同一原理：、同一原理：两个互逆命题，如果条件和结论中所含两个互逆命题，如果条件和结论中所含事项都是唯一存在的，而且它们所指的是同一概念时，事项都是唯一存在的，而且它们所指的是同一概念时，那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是正确的，那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是正确的，这叫做同一原理。即符合同一原理的两个互逆命题是等这叫做同一原理。即符合同一原理的两个互逆命题是等效的，它们是同一法论证的逻辑根据。效的，它们是同一法论证的逻辑根据。 2、

30、充分条件和必要条件、充分条件和必要条件 若若“PQ”是真命题，则称是真命题，则称P为为Q成立的成立的充分条件充分条件。如：。如：“两角是对顶角两角是对顶角”是是“两角相等两角相等”成立的充分条件。成立的充分条件。 若若 “P Q”是真命题，则称是真命题，则称P为为Q成立的成立的必要条件必要条件。 若若“sin=sin=”为假，而它的否命题为假，而它的否命题“（sin=sin）（=）”为真，即为真，即 “sinsin”为真。为真。 充分必要条件：充分必要条件：若若“PQ”和和“P Q”同真，即同真，即“PQ”为真，称为真，称P为为Q的成立的充要条件。的成立的充要条件。 “当且仅当当且仅当 ”、“

31、必要且只要必要且只要Q”、“必须且只须必须且只须Q”4.2中学数学命题中学数学命题 思考与练习思考与练习： 1、阅读P14-22 2、命题有哪些基本形式，它们之间的关系如何？试举例说明。习题P366 3、用真值表证明下列命题成立。习题P3714 4、习题P37154.3形式逻辑的基本规律形式逻辑的基本规律 一、同一律一、同一律 1、定义、定义：在同一时间里，同一地点，同一思维过程：在同一时间里，同一地点，同一思维过程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致。中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致。 2、表达公式、表达公式：AA。“A就是就是A” 3、根据同一律的内容，它有两个、根

32、据同一律的内容，它有两个具体要求具体要求： 思维对象应保持同一思维对象应保持同一。就是说，在思维的过程中所。就是说，在思维的过程中所考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更。考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更。 表示同一事物的概念应保持同一表示同一事物的概念应保持同一。这就是说，在思。这就是说，在思维的过程中，要以同一概念表示同一思维对象，不能维的过程中，要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表示同一事物，也不能把不同的事物用不同的概念来表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念来表示。混淆起来用同一个概念来表示。 4、违反同一律的错误表现、违反同一律的错误表

33、现：思维混乱，前后不一。：思维混乱，前后不一。在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确等；在推理中主要是论题不明确或偷换论题。等；在推理中主要是论题不明确或偷换论题。4.3形式逻辑的基本规律形式逻辑的基本规律 二、矛盾律二、矛盾律 1、定义、定义：同一时间，同一地点，同一思维过程中，：同一时间，同一地点，同一思维过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么。即在同一思不能既肯定它是什么，又否定它是什么。即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假。维过程中的两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假。 2、表达公式、表达公式：（AA）或）

34、或“A不是非不是非A”。 3、矛盾律，实为、矛盾律，实为“不矛盾律不矛盾律”，它是同一律的引申，它是同一律的引申，是用否定形式表达同一律内容的。矛盾律是否定判断是用否定形式表达同一律内容的。矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作用是排除思维中的自相矛盾，保持的逻辑基础，其作用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性。这里所说的思维矛盾，是人们思想思维的不矛盾性。这里所说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时所产生的逻辑矛盾。陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时所产生的逻辑矛盾。它与客观事物本身所存在的矛盾是不同的。它与客观事物本身所存在的矛盾是不同的。 4、例、例：ABC是锐角三角形与是锐角三

35、角形与ABC是钝角三角形是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个正确，另一个必定错误。是两个矛盾的判断，其中一个正确，另一个必定错误。但其中一个错误，另一个未必正确，这是因为还存在但其中一个错误，另一个未必正确，这是因为还存在其为锐角三角形的情形。其为锐角三角形的情形。4.3形式逻辑的基本规律形式逻辑的基本规律 三、排中律三、排中律 1、定义、定义：同一时间，同一地点，同一思维过程中，：同一时间，同一地点，同一思维过程中，对同一对象必须作出明确的肯定或否定的判断。即在对同一对象必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判

36、断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。假，必有一真，而排除第三种可能。 2、表达公式、表达公式“AA”或或“A或非或非A”。 3、排中律要求、排中律要求：人们的思维有明确性，它是反证法：人们的思维有明确性，它是反证法的逻辑基础。的逻辑基础。 4、例如、例如：A是无理数与是有理数是无理数与是有理数 5、矛盾律和排中律的联系与区别：、矛盾律和排中律的联系与区别： 联系联系：都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个：都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个为假。无法确矛盾判断不能同时并存，其中必有一个为假。无法确定真假。定真假。4.3形式逻辑的基本规律形式逻辑的基本规

37、律 三、排中律三、排中律 5、矛盾律和排中律的联系与区别：、矛盾律和排中律的联系与区别： 区别：区别：矛盾律两个矛盾的判断不能同真，必有一矛盾律两个矛盾的判断不能同真，必有一假。排中律两个矛盾的判断不能同假，必有一真。假。排中律两个矛盾的判断不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础。的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础。 四、充足理由律四、充足理由律 1、定义：、定义：任何一个判断，必须有充足

38、理由，即对于任何一个判断，必须有充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据。任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据。 2、表达公式、表达公式：A（AB） B。若要有。若要有B，则必，则必须有须有A，使得由，使得由A可以推出可以推出B。 3、充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与、充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与判断有着密切的联系。判断有着密切的联系。例如：在数学命题中，充分条例如：在数学命题中，充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由，原定理可件、充要条件都可以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否命题的充足理由。作为它的逆否命题的充足理由。4.3形式

39、逻辑的基本规律形式逻辑的基本规律 四、充足理由律四、充足理由律 4、充足理由律和前面三个规律有着密切的联系。、充足理由律和前面三个规律有着密切的联系。同同一律、矛盾律、排中律是为发保持同一判断（或概念）一律、矛盾律、排中律是为发保持同一判断（或概念）本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持判断之间的联系有充分根据和说服力。因此，在思维判断之间的联系有充分根据和说服力。因此，在思维过程中，如果违反了同一律、矛盾律、排中律，那么过程中，如果违反了同一律、矛盾律、排中律，那么就必然导致违反充足理由律。就必然导致违反充足理由律。 总之，数学推理、证明

40、必须要求对象确定（同一律），总之，数学推理、证明必须要求对象确定（同一律），判断不能自相矛盾（矛盾律），不模棱两可（排中判断不能自相矛盾（矛盾律），不模棱两可（排中律），有充分根据（充足理由律）。在数学教学中，律），有充分根据（充足理由律）。在数学教学中，我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯，以培养学生的逻辑思维能力。的习惯，以培养学生的逻辑思维能力。 思考与练习：思考与练习： 1、阅读、阅读P22-24 2、形式逻辑有哪些基本规律，它们在推理与证明中、形式逻辑有哪些基本规律，它们在推理与证明中应如何进行运用？习题应如何进行运用？习

41、题P3774.4中学数学推理中学数学推理 一、数学推理的意义和分类一、数学推理的意义和分类 1、推理的意义、推理的意义 根据判断间的关系，从根据判断间的关系，从一个或几个已有的判断一个或几个已有的判断得到一得到一个个新判断新判断的思维过程（逻辑方法），叫做推理。的思维过程（逻辑方法），叫做推理。 2、推理的结构、推理的结构 包括前提和结论。所根据的已有判断叫做推理的前提，包括前提和结论。所根据的已有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理的结论。正确的推理要求合乎作出的新判断叫做推理的结论。正确的推理要求合乎逻辑形式，遵守推理规则。逻辑形式，遵守推理规则。 3、推理的类型、推理的类型 根据推理

42、的结构区分，推理分为简单推理复杂推理。根据推理的结构区分，推理分为简单推理复杂推理。 根据前提的数量，推理分为直接推理和间接推理。根据前提的数量，推理分为直接推理和间接推理。4.4中学数学推理中学数学推理 二、数学中常用的一些推理二、数学中常用的一些推理 1、归纳推理、归纳推理 定义定义：从个别或特殊的事物所作判断，扩大为同类：从个别或特殊的事物所作判断，扩大为同类一般事物的判断的思维过程，叫做归纳推理。一般事物的判断的思维过程，叫做归纳推理。 推理方向：推理方向：特殊特殊一般一般 分类分类： 不完全归纳法：如果归纳推理的前提判断范围的总不完全归纳法：如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判

43、断的范围，这种推理叫做不完全归纳法。和小于结论判断的范围，这种推理叫做不完全归纳法。 不完全归纳法的逻辑公式：不完全归纳法的逻辑公式： S1具有（或不具有）具有（或不具有）P S2具有（或不具有）具有（或不具有）P Sn具有（或不具有）具有（或不具有）P S1、S2、。、。Sn是是A类事物的部分对象类事物的部分对象 A类事物具有（或不具有）类事物具有（或不具有）P4.4中学数学推理中学数学推理 完全归纳法：如果归纳推理的前提中一个或几个判完全归纳法：如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳法。所得结

44、论完全可靠，可作为数学中叫做完全归纳法。所得结论完全可靠，可作为数学中的一种严格的推理方法。但在应用时，须注意前提的的一种严格的推理方法。但在应用时，须注意前提的判断范围既不能重复，也不能遗漏，即前提判断范围判断范围既不能重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。的总和不能小于结论判断的范围。 完全归纳法的逻辑公式：完全归纳法的逻辑公式： S1是（或不是）是（或不是）P S2是（或不是）是（或不是）P . SN是是(或不是或不是)P S1 S2 SN是是A类事物的全体类事物的全体,所以所以A类事物都是类事物都是(或不或不是是)P4.4中学数学推理中学数学推理 2、类比推理、

45、类比推理 定义：是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个定义：是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，判断它们（或两类）事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也相同或相似的推理形式，叫做类比推在别的性质上也相同或相似的推理形式，叫做类比推理或类比法。理或类比法。 推论方向：特殊推论方向：特殊特殊。特殊。 逻辑公式：逻辑公式： A类事物具有性质类事物具有性质a、b、c、d B类事物具有性质类事物具有性质a、b、c 所以所以B类事物具有性质类事物具有性质d，d叫做叫做推移属性推移属性 类比结论的可靠程度，依赖于两个或两类对象的类比结论的可靠程度，依赖于两个或

46、两类对象的共有属性。一般来说，共有属性愈多，结论的可靠程共有属性。一般来说，共有属性愈多，结论的可靠程度也就愈大；共有属性是本质的，结论的可靠程度愈度也就愈大；共有属性是本质的，结论的可靠程度愈高。高。4.4中学数学推理中学数学推理 3、演绎推理、演绎推理 定义：以某类事物的一般判断为前提，作出这类事定义：以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊事物的判断的思维形式，叫做演绎推物的个别、特殊事物的判断的思维形式，叫做演绎推理。理。 推论方向：一般推论方向：一般特殊。特殊。 结构：包括前提有两个，结论有一个共三个判断，结构：包括前提有两个，结论有一个共三个判断，基本形式是三段论。大前

47、提反映一般原理的判断，基本形式是三段论。大前提反映一般原理的判断，小前提反映个别对象与一般原理联系的判断，如果小前提反映个别对象与一般原理联系的判断，如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。大前提、小前提都正确，则结论一定正确。 4.4中学数学推理中学数学推理 4、直接推理和间接推理、直接推理和间接推理 直接推理：指由一个条件推出结论的推理直接推理：指由一个条件推出结论的推理 ABC是等边三角形，那么是等边三角形，那么A=B=C 间接推理：间接推理： 关系推理：关系推理： 联言推理：联言推理： 选言推理：选言推理： 假言推理：假言推理： 4.4中学数学推理中学数学推理 思考与练习思考与练习：

48、 1、阅读、阅读P25-27 2、什么是归纳推理、类比推理与演绎推理，如、什么是归纳推理、类比推理与演绎推理，如何正确进行推理的运用？试举例说明。（习题何正确进行推理的运用？试举例说明。（习题P378） 3、指出下列推理的逻辑错误，并分析其原因、指出下列推理的逻辑错误，并分析其原因（习题（习题P3716） 实数与数轴上点一一对应，是实数，所以与数实数与数轴上点一一对应，是实数，所以与数轴上点一一对应轴上点一一对应 是无理数，也是有理数是无理数，也是有理数 空间两直线空间两直线a.b是相交时的，也是平行的是相交时的，也是平行的 4.5中学数学证明中学数学证明 一、证明的意义与结构一、证明的意义与

49、结构 1、证明的涵义、证明的涵义 用一些真实的判断来确定某一判断的真实性的思维过用一些真实的判断来确定某一判断的真实性的思维过程（推理过程）叫做证明。程（推理过程）叫做证明。 2、证明的结构、证明的结构 任何证明由论题、论据、论证三部分组成。其中论题任何证明由论题、论据、论证三部分组成。其中论题即所说结论，论据即证明的根据，论证即证明方式。即所说结论，论据即证明的根据，论证即证明方式。 3、数学证明的书写格式、数学证明的书写格式：写证明，习惯上分三部分，：写证明，习惯上分三部分，已知，求证，证明。书写格式常用有两种：联用式和已知，求证，证明。书写格式常用有两种：联用式和推进式。推进式。 4.5

50、中学数学证明中学数学证明 二、证明的种类二、证明的种类 根据证明的目的划分：证明和反驳。根据证明的目的划分：证明和反驳。 根据证明的方法划分：直接证明和间接证明。根据证明的方法划分：直接证明和间接证明。 直接证明：（直接证明：（a、b、c、）（k、n、m、）p 间接证明：通过确定其他命题的虚假性导出论题间接证明：通过确定其他命题的虚假性导出论题的真实性的证明。分为：选言式和归谬式的真实性的证明。分为：选言式和归谬式 根据经验材料在证明中的作用划分，分为数字根据经验材料在证明中的作用划分，分为数字证明和经验证明。证明和经验证明。 根据所用推理形式划分：演绎证明和归纳证明。根据所用推理形式划分：演