北京市海淀区2022届高三数学下学期期中试卷及答案.docx

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1、海淀区20212022学年第二学期期中练习 高三数学 2022.03本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,则 (A) (B) (C) (D) (2)在复平面内,若复数对应的点为,则 (A) 2 (B) (C) (D) (3)双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) (4)在的展开式中,的系数为 (A) (B) 1 (C) (D) 4(5)下列命题中正确的是(A)

2、平行于同一个平面的两条直线平行 (B)平行于同一条直线的两个平面平行(C)垂直于同一个平面的两个平面平行 (D)垂直于同一条直线的两个平面平行(6)已知直线是圆的一条对称轴,则的最大值为(A) (B) (C)1 (D)(7)已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合,且,则的取值可以为 (A) (B) (C) (D) (8)已知二次函数的图象如图所示,将其向右平移2个单位长度后得到函数的图象,则不等式的解集是(A) (B)(C) (D) (9)在中,则“”是“是钝角三角形”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)甲医院在某段时间内

3、累计留院观察的某病疑似患者有98人,经检测后分为确诊组和排除组,患者年龄分布如下表: 年龄(岁)总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系,现采用两种抽样方式.第一种:从98人中随机抽取7人,第二种:从排除组的84人中随机抽取7人. 用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比. 给出下列四个结论: 在第一种抽样方式下,抽取的7人中一定有1人在确诊组;在第二种抽样方式下,抽取的7人都小于20岁的概率是0; 的取值范围都是;.其中,正确结论的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5

4、小题,每小题5分,共25分。(11)若抛物线的准线方程为,则_. (12)已知是等比数列,为其前项和. 若是的等差中项,则公比= _,_.(13)若函数的值域为,则实数的一个取值可以为 .(14)已知是单位向量,且. 设向量,当时,_;当时,的最小值为 .(15)已知函数,给出下列四个结论: 是偶函数; 有无数个零点;的最小值为; 的最大值为1.其中,所有正确结论的序号为_.三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)设函数().已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个:条件:;条件:的最大值为;条件:是图象的一条对称轴.()请写出满足的两个条

5、件,并说明理由;(II)若在区间上有且只有一个零点,求的取值范围.(17)(本小题14分)如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,.()求证:;()若与平面的所成角的正弦值为,求的长度.(18)(本小题14分)黄帝内经中十二时辰养生法认为:子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点). 相关数据表明,入睡时间越晚,深睡时间越少,睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据,对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10.1%9.2%211.1%47.4%334.6%31.6%448.6%11.8%55.6%0.0%注:早睡人群为23:00前入睡的人群,

6、晚睡人群为01:00后入睡的人群.()根据表中数据,估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组?()据统计,睡眠指数得分在区间内的人群中,早睡人群约占80%. 从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取3人,以表示这3人中属于早睡人群的人数,求的分布列与数学期望;()根据表中数据,有人认为,早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间内.试判断这种说法是否正确,并说明理由.(19)(本小题14分)已知函数.()求曲线 在点处的切线的方程;()若函数在处取得极大值,求的取值范围;()若函数存在最小值,直接写出的取值范围.(20)(本小题15分)已知椭圆()的下顶点和右顶点都在

7、直线上.()求椭圆方程及其离心率;()不经过点的直线交椭圆于两点,,过点作轴的垂线交于点,点关于点的对称点为.若三点共线,求证:直线经过定点.(21)(本小题14分)设为正整数,若无穷数列满足 ,则称为数列.()数列是否为数列?说明理由;()已知,其中为常数. 若数列为数列,求;()已知数列满足,求海淀区20212022学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 2022.03一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案BACBDACCAB二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。题号(11)(12)(13)(14)(15)答案

8、22;11(只需即可)说明: 12题、14题两空前3后2;15题全选对5分,漏选1个3分,漏选2个2分,不选0分。三、解答题共6小题,共85分。(16)(本小题共14分)解:()满足条件和条件. 由, 得, 所以的最大值为. 由条件:的最大值为,得,得. 当时,满足条件,当时,不满足条件, 所以,满足条件和,且. () 方法1:当时,, 因为在区间上有且只有一个零点,所以, 得,所以的取值范围是. 方法2:令, 得. 所以的所有零点为,即因为在区间上有且只有一个零点,所以该零点为, 的取值范围是 (17)(本小题14分)解:()在四棱柱中,取棱AD中点为O, 因为,所以. 又因为平面平面,且平

9、面平面, 所以平面. 所以. 因为底面是正方形,所以, 因为, 所以平面. 所以,即. ()如图建立空间直角坐标系,设长度为,因为正方形的边长,则, ,. 所以,. 设平面的法向量为,则 令,则, 于是. 因为与平面的所成角的正弦值为,所以, 所以 , 所以. (18)(本小题14分)解:()早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组,晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组. ()X的取值范围是,1,2, 所以随机变量的分布列为:X0123P所以随机变量的数学期望.()这种说法不正确.例如:当第1组均值为0,第2组均值为51,第3组均值为66,第4组均值为76,第5组均值为91,则睡眠指数的均

10、值为所以这种说法不正确. 法2. 例如:当第1组均值为0,第2组均值为51,第3组均值为66,第4组均值为76,第5组均值为91,则睡眠指数的均值为.所以这种说法不正确.(19)(本小题14分)解:()因为,所以, 所以,所以切线为:. ().(1)当时,令,得,与的情况如下:x-,000,+fx+0-fx此时,在处取得极大值,符合题意; (2)当时,令,得,或. 当时, ,与的情况如下:x-,000,1a-21a-21a-2,+fx+0-0+fx此时,在处取得极大值,符合题意; 当时,单调递增,无极大值,不符合题意; 当时, ,与的情况如下:x-,1a-21a-21a-2,000,+fx+0

11、-0+fx此时,在处取得极小值,不符合题意; (3)当时,.与的情况如下:x-,1a-21a-21a-2,000,+fx-0+0-fx此时,在处取得极大值,符合题意.综上,. (). (20)(本小题15分)解:()由可知 椭圆方程,所以,离心率.()方法一:由,得, 由,得. 设则, 由题意得,因为三点共线,且直线BQ斜率存在,所以,即, 所以 化简得,.所以. 又因为,所以,所以恒过定点. 方法二:下面证明恒过定点.设则,所以,设直线,代入,得:,因为,所以,所以,用代替,得.所以,所以三点共线,所以恒过定点.(21)(本小题14分)解:()因为,所以所以是数列 ()因为是数列,所以解得() 先证明()则所以() 再证明()是公差为1的等差数列设,则所以所以 ()是公差为1的等差数列 接下来证明()是公差为1的等差数列设,则所以所以()是公差为1的等差数列 由、,()是公差为1的等差数列因为,所以因为,所以又由、,所以因为,所以所以() 最后证明(),从而 当时,已证(反证法)假设存在使得不成立,且此时最小的为则,即所以所以又因为,所以,与假设矛盾所以()恒成立,从而

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