1、海淀区20212022学年第二学期期中练习 高三数学 2022.03本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则 (A) (B) (C) (D) （2）在复平面内，若复数对应的点为，则 (A) 2 (B) (C) (D) （3）双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) （4）在的展开式中，的系数为 (A) (B) 1 (C) (D) 4（5）下列命题中正确的是（A）
2、平行于同一个平面的两条直线平行 （B）平行于同一条直线的两个平面平行（C）垂直于同一个平面的两个平面平行 （D）垂直于同一条直线的两个平面平行（6）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（A） （B） （C）1 （D）（7）已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为 (A) (B) (C) (D) （8）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度后得到函数的图象，则不等式的解集是（A） （B）（C） （D） （9）在中，则“”是“是钝角三角形”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（10）甲医院在某段时间内
3、累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表： 年龄（岁）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人. 用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比. 给出下列四个结论： 在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0； 的取值范围都是；.其中，正确结论的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5
4、小题，每小题5分，共25分。（11）若抛物线的准线方程为，则_. （12）已知是等比数列，为其前项和. 若是的等差中项，则公比= _,_.（13）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为 .（14）已知是单位向量，且. 设向量，当时，_；当时，的最小值为 .（15）已知函数，给出下列四个结论： 是偶函数； 有无数个零点；的最小值为； 的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）设函数（）.已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：条件：；条件：的最大值为；条件：是图象的一条对称轴.（）请写出满足的两个条
5、件，并说明理由；（II）若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.（17）（本小题14分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.（）求证：；（）若与平面的所成角的正弦值为，求的长度.（18）（本小题14分）黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）. 相关数据表明，入睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10.1%9.2%211.1%47.4%334.6%31.6%448.6%11.8%55.6%0.0%注：早睡人群为23:00前入睡的人群，
6、晚睡人群为01:00后入睡的人群.（）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%. 从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取3人，以表示这3人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；（）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间内.试判断这种说法是否正确，并说明理由.（19）（本小题14分）已知函数.（）求曲线 在点处的切线的方程；（）若函数在处取得极大值，求的取值范围；（）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆（）的下顶点和右顶点都在
7、直线上.（）求椭圆方程及其离心率；（）不经过点的直线交椭圆于两点,，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点.（21）（本小题14分）设为正整数，若无穷数列满足 ，则称为数列.（）数列是否为数列？说明理由；（）已知，其中为常数. 若数列为数列，求；（）已知数列满足，求海淀区20212022学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BACBDACCAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案
8、22；11（只需即可）说明： 12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（）满足条件和条件. 由， 得, 所以的最大值为. 由条件：的最大值为，得，得. 当时，满足条件，当时，不满足条件， 所以，满足条件和，且. （） 方法1:当时，, 因为在区间上有且只有一个零点，所以， 得，所以的取值范围是. 方法2:令， 得. 所以的所有零点为，即因为在区间上有且只有一个零点，所以该零点为, 的取值范围是 （17）（本小题14分）解：（）在四棱柱中，取棱AD中点为O， 因为，所以. 又因为平面平面，且平
9、面平面， 所以平面. 所以. 因为底面是正方形，所以， 因为， 所以平面. 所以，即. （）如图建立空间直角坐标系，设长度为，因为正方形的边长，则， ，. 所以，. 设平面的法向量为，则 令，则， 于是. 因为与平面的所成角的正弦值为，所以， 所以 ， 所以. （18）（本小题14分）解：（）早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组. （）X的取值范围是，1，2， 所以随机变量的分布列为：X0123P所以随机变量的数学期望.（）这种说法不正确.例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均
10、值为所以这种说法不正确. 法2. 例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为.所以这种说法不正确.（19）（本小题14分）解：（）因为，所以， 所以，所以切线为：. （）.（1）当时，令，得，与的情况如下：x-,000,+fx+0-fx此时，在处取得极大值，符合题意； （2）当时，令，得，或. 当时, ,与的情况如下：x-,000,1a-21a-21a-2,+fx+0-0+fx此时，在处取得极大值，符合题意； 当时，单调递增，无极大值，不符合题意； 当时, ,与的情况如下：x-,1a-21a-21a-2,000,+fx+0
11、-0+fx此时，在处取得极小值，不符合题意； （3）当时，.与的情况如下：x-,1a-21a-21a-2,000,+fx-0+0-fx此时，在处取得极大值，符合题意.综上，. （）. （20）（本小题15分）解：（）由可知 椭圆方程,所以，离心率.（）方法一：由，得， 由，得. 设则， 由题意得，因为三点共线，且直线BQ斜率存在，所以，即， 所以 化简得，.所以. 又因为，所以,所以恒过定点. 方法二：下面证明恒过定点.设则,所以,设直线，代入,得：,因为，所以,所以，用代替，得.所以，所以三点共线,所以恒过定点.（21）（本小题14分）解：（）因为，所以所以是数列 （）因为是数列，所以解得（） 先证明()则所以() 再证明()是公差为1的等差数列设，则所以所以 ()是公差为1的等差数列 接下来证明()是公差为1的等差数列设，则所以所以()是公差为1的等差数列 由、，()是公差为1的等差数列因为，所以因为，所以又由、，所以因为，所以所以() 最后证明()，从而 当时，已证（反证法）假设存在使得不成立，且此时最小的为则，即所以所以又因为，所以，与假设矛盾所以()恒成立，从而
