1、平谷区20212022学年第一学期高三检测试题数 学 2022.3本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，且，则集合可以是（A）（B） （C） （D）2在复平面内，复数，则的虚部是（A） （B） （C） （D）3下列函数中，定义域为的偶函数是（A）（B） （C） （D）4已知，下列不等式正确的是（A） （B） （C） （D）5设抛物线的焦点为，准线为，抛物线上任意一点.则以点为
2、圆心，以为半径的圆与准线的位置关系是（A）相切 （B） 相交 （C）相离 （D）都有可能6已知函数，则不等式的解集是（A）（B） （C） （D）7已知边长为2的正方形，设为平面内任一点，则“”是“点在正方形及内部”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件8已知公差不为零的等差数列，首项，若成等比数列，记，则数列 （A）有最小项，无最大项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，无最小项 （D）有最大项，有最小项2-29已知函数部 分图像，如图所示.则下列说法正确的是（A）函数最小正周期为 （B）（C）函数一个单调递减区间是 （D）若，则的最小值是
3、10生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温. 根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数线性模型：.已知一只体重为300g的豚鼠脉搏率为300/min，如果测得一只小狗的体重5000g,那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（A）130/min （B）120/min （C）110/min （D）100/min第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 5小题，每小题5分，共25分 11在的展开式中，常数项为_（用数字作答）12已知向量在正方形网格中的位置，如图所示.则=_13双曲线的离心率为，则_；焦点到渐近线的距离为_14能
4、说明“若在定义域上是增函数，则在上是增函数”为假命题的一组函数：_，_15设棱长为的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论： 存在；存在；存在无数个等腰三角形；三棱锥的体积的取值范围是.则所有结论正确的序号是_.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16（本小题13分）在中， （）求；（）再从条件 、条件 、条件 这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件 ：；条件 ：；条件 ：的周长为注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分17（本小题14分）如图，矩形和梯形，平面平
5、面，且， 过的平面交平面于.（）求证：；（）当为中点时，求点到平面的距离； （）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.18（本小题14分）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（90分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；（）表中男生和女生成绩的方差分别记为，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，
6、组成新的男生样本，方差计为，试比较、的大小（只需写出结论）19（本小题15分）设函数（）当时， 求曲线在点处的切线方程； 求函数的最小值.（）设函数，证明：当时，函数至多有一个零点.20（本小题15分）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆的左右顶点分别为，当不与重合时，直线分别交直线于点， 证明：以为直径的圆过右焦点.21（本小题14分）已知，或1，对于，定义与之间的距离为.（）若,写出一组的值,使得；（）证明：对于任意的，；（）若，若，求所有之和平谷区2021 2022学年度第二学期质量监控高三数学参考答案20223一、选择题共10小题，每小题
7、4分，共40分.题号12345678910答案CAD CABBDCB二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 12 12. 6 13. 2；1 14. ， （答案不唯一） 15. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（）由得，即，因为，所以 4分（）选择条件：因为，所以 因为，由正弦定理 7分又 10分所以的面积 13分选择条件： 因为的周长为，即6分又，即9分 由解方程组12分 所以的面积13分（17）（本小题14分）解：（）因为矩形，所以，平面，平面， 所以平面. 2分 因为过的平面交平面于，由线面平行性质定理，得
8、. 4分（）由平面平面其交线为，平面所以平面 5分又矩形所以以为原点，以、为轴建立空间直角坐标系. 由 ，得，6分 设平面法向量，则即，解得.7分因为，所以点到平面的距离.9分（） 设，则10分 设平面法向量，则即，解得12分又平面所以,解得即 14分（18）（本小题14分）解：（）解：设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A，1分由表格可得：从抽出的12名学生中，男生和女生各随机选取一人，即样本空间； 3分其中男生成绩高于女生成绩的有.事件A包含17个样本点 ，因此.5分（II）由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（90分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽
9、取1人，该学生成绩优秀的概率为.6分因此从该校高一学生中随机抽取3人，这3人中成绩优秀人数可取，且 7分，所以随机变量的分布列012311分数学期望或者，所以12分（）.14分（19）（本小题15分）解：（）函数定义域为， 1分 3分当时 4分所以曲线在点处的切线方程是. 5分令，且即函数递减区间；即函数递增区间 ，所以函数的最小值. 7分（）因为 9分 令，时，函数在定义域上单调递增，至多有一个零点；10分时，令，得，令，得 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增则函数在时有最小值，此时函数无零点. 12分时，令，得令，得所以函数在区间单调递增，在区间单调递减因为函数，所以，且在区间上恒成立
10、. 所以函数在区间上至多有一个零点.综上，当时，函数至多有一个零点. 15分（20）（本小题15分）解：（I）由题干可得，所以，即椭圆的方程.4分（II）解法一：设 因为直线交直线于点，所以，则 同理，则 8分由于异于轴两侧，因此异号.所以又因为，所以 即 ，以为直径的圆过右焦点. 15分解法二：设直线方程，6分， 得 ，即 8分 因为直线交直线于点，即. 因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即 13分所以 即 ，以为直径的圆过右焦点. 15分（21）（本小题14分）解：（），（答案不唯一）4分（）证明：设，因为，所以， www.ks从而，同理，6分又，由题意知，.当时，;当时，所以9分（）解：易知中共有个元素，分别记为, 10分对于，的共有个，的共有个12分=所有之和为14分 12 / 12
