1、南充市高 2022 届高考适应性考试（二诊）理科数学参考答案及评分细则一选择题： 本题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A C C D B B D C A D二.填空题：本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分13. 6 14. 4 2 15. 2022 16. p三. 解答题17. （1）选择：条件即bsinC = 3ccos B，由正弦定理可知，sin Bsin C = 3 sin Ccos B ，.2 分在VABC中， B,C (0,p )，所以sinB 0,sinC 0，所以sin B = 3 cosB
2、，且cos B 0 ，即 tan B = 3 ，所以 Bp= ；.5 分31选择：条件即 2 acsin B = 3cacos B ，2即sin B = 3 cosB，.2 分在VABC中， B(0,p )，所以sin B 0 ，则cos B 0 ，所以 tan B = 3 ，所 以Bp= .5 分3（2）由（1）知，Bp= ，b = 2 33p由余弦定理知： 2 = 2 + 2 -2 cos .7 分b a c ac3所以12 = a2 +c2 -ac=(a +c)2 -3ac 得a +c(a +c) -12 = 3ac 3( ) .10 分2 22所以(a +c) 4 3 ，当且仅当a=c
3、 时，等号成立.111所以求VABC周长的最大值为6 3 .12 分18. （1）设应聘者甲未能参与面试为事件 A ，则2 2 2 2 20P(A) =1-C (1- ) ( ) -C (1- ) ( ) = .4 分0 3 0 1 2 1 3 33 3 3 3 27（2） X 的可能取值为 0，1，2，3，4.3 1 1P X = 0 = =( ) 3 27，.6 分2 1 2 2P(X )=1 = C =13 3 3 9，.7 分2 2 1 3 1P X = 2 = C (1- ) =( )23 3 3 4 9，.8 分3 2 2 3 2 1 3 11P X = 3 = (1- ) + C
4、 =( )23 3 4 3 3 4 27，.9 分33 2 3 2P(X )= 4 = C =3 3 4 9，.10 分则 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P1272919112729.11 分 1 2 1 11 2 230 1 2 3 4故 E (X )= + + + + = .12 分27 9 9 27 9 919.（）如图所示，设点 F 是棱 AD 的中点，连接 PF,EF,BD ，由 PA = PD 及点 F 是棱 AD 的中点，可得 PF AD ，又二面角 P - AD-C 为直二面角，故 PF 平面 ABCD，.2 分又因为 AC 平面 ABCD，所以 PF AC ，又因为四边
5、形 ABCD为菱形，所以 BD AC ，而 EF 是ABD 的中位线，所以 EF / /BD ，可得 EF AC ，又由 PF I EF = F ，且 PF 平面 PEF ， EF 平面 PEF ，所以 AC 平面 PEF ，.4 分2又因为 PE 平面 PEF ，所以 PE AC .6 分（）解法一：设点G 是 AC 与 EF 的交点，由（）可知 AC 平面 PEF ，又 PG,EG 均在平面 PEF 内，从而有 PG AC,EG AC ，故PGE 为二面角 P - AC - B 的平面角，因为 PA = AB ，所以PAD 为等边三角形不妨设菱形 ABCD的边长为2a,GE = b 则在
6、RtVPFG 中， PF = 3a,FG = b ，于是 PG = ( 3a)2 + b2在 RtVPFE 中， PE = ( 3a)2 + (2b)2 ，-b故cosPGE = -cosPGF = = -3a + b2 255，.9 分整理得3a2 = 4b2 ，ba3= 2因为 PF 平面 ABCD，所以PEF 为直线 PE 与平面 ABCD所成的角则 tan 3 1PF aPEF = = = ，.11 分EF 2b所以直线 PE 与平面 ABCD所成的角为 45 .12 分解法二：设点O是 AC 与 BD 的交点，以OA所在直线为 x 轴OB 所在直线为 y 轴，过点O垂直平面 ABC
7、的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系设OA = 2,OB = 2b ，则 A(2,0,0),C(-2, 0, 0) ， P(1,-b, 3+ 3b2) ，则CA = (4,0,0),AP = (-1,-b, 3+ 3b 2) ，设平面 PAC 的法向量为m = (x, y, z)，v = m AP 0 -x -by + 3+ 3b z = 02uuuv则 v ，即 mCA = 0 4x = 0 ，ur取 z =1，m + 3 3b2= 0, ,1 b ，.8 分3又因为平面 ABC 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ，由二面角的 P - AC - B 正切值为 -2，ur rur rm
8、 n 1 5则| cosm,n |= = =ur r .| m | n | 3 3b+25 +1b2解得b = 3 ， .9 分则 P(1,- 3,2 3),E(1, 3,0) ， PE = (0, 2 3,-2 3)，uuur rPE n -2 3 2则 PE n = uuur r = = ， .11 分| cos , | PE |n | 2 6 2所以直线 PE 与平面 ABCD所成的角为 45 .12 分20.（1）由题意可得：1ab =2 c 1 =3，所以 a = 2，b = 3 故椭圆的标准方程为x y2 2+ = 1.3 分4 3（2）证明：由题意知， F(-1, 0) ，设直线
9、 MN 方程： x = my -1.M (x ，1y ，1 ) N(x ，y ，2 )2E(-4, y ) ，1x = my -1联立方程 2 2 ， x y+ = 1 4 3得(3m2 +4)y2 -6my -9 = 0 ，D 0 6m y + y =所以 1 23m + 42 -9 y y = +1 2 2 3m 4，.5 分所以 -2my y = 3(y + y ) ，1 2 1 2又kEN=y - y2 1x2 4+，4所以直线 EN 方程为：y - yy - y = (x + 4)2 11x + 42，令 y = 0 ，3(y - y )则 1( 2 4) 1 2 3 1 2 1 2
10、 3 5y x + my y + yx = -4 - = -4 - = -4 + =- 4 + = -y - y y - y y - y 2 22 1 2 1 2 1综上：直线 EN 过定点5P - .7 分( ,0)2由（1）中 ( )D =144 m +1 0 ，所以 m R ，212 m + 12又 2 ，| y - y |= (y + y ) - 4y y =1 2 1 2 1 2 23m + 4所以1 5 12 m + 1 15 m + 1 15 m + 12 2 2S OP y y ，.8 分= | | - |= = =DOEN 1 2 2 2 22 4 3m + 4 3m + 4
11、 3 (m +1) +1f (t) =153t1+t令t = m2 +1 ，t1，则，令1 1 3t - 12g t = t + g t = - = ，.9 分( ) 3 , ( ) 3t t t22当t 1时， g(t) 0 ，故1g(t) = 3t + 在1， +) 上单调递增，tf (t) =153t1+t则 在1，+) 上单调递减，.10 分15t 15S = =即 2 1VOEN 在1，+) 上单调递减， 3t +1 3t +t15所以t =1时，( )SV = .12 分OEN max4a - - 21.解：(1)当 a 0时， f (x)= ln x 1 (x 0)x得 f (1
12、) =a-1，又 f (1)= 0 .所以 f (x) 在 (1, f (1)的切线方程为： y = (a-1)(x-1) .即 (a-1)x- y +1-a = 0 ；.3 分a - - （2） f (x)= ln x 1 (x 0)x5a - - ，令 f (x)= ln x 1=p(x)x由于 a 0，得a 1 - - e e a， ( +1) = - ln( +1) +1 0)0h(x )=(ln x ) + ln x -2=( ln x +2)( ln x -1)20 0 0 0 0当 h(x0 ) 0时，-2 ln x .(ln x +1) 0 ，又 0 (ln 0 ) 0206h
13、(x )=x (ln x ) -(ln x +1)x 020 0 0 0 0当1x ( , ) h(x ) =h(e)=-e + 时， 0 2 0 mine综上：当x0 (0,+) 时，h(x ) =h(e)=-e0 min得b -e .故b -e,+).12 分22.（1）由 = +x 3 2cosqy = 2sinq - =x 3 2cosq得y = 2sinq，2两式平方后相加得( )x - 3 + y = 4 ，.3 分2曲线C 是以( 3,0)为圆心，半径等于 2 圆，令 x = r cosq, y = sinq ，代入并整理得 r2 - 2 3r cosq -1= 0 ，即曲线C
14、的极坐标方程是 r2 - 2 3r cosq -1= 0 .5 分 1 x = t 2（2）直线的参数方程是 (t3 =y t 2是参数）,.6 分因为点 A, B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 和t ，1 22 2圆化为直角坐标系的方程( )x - 3 + y = 4 ，以直线l 的参数方程代入圆的方程整理得到t2 - 3t -1= 0， .8 分因为t1 和t 是方程的解，从而2D 0t + t =1 2 = -t t 11 23,.9 分 OA OB = t1t2 = -1 =1.10 分23.（1）若关于 x 的不等式 f (x) a 的解集不是空集，只需 a f (x)
15、 即可.2 分min其中1 7 1 7f (x) x x x x = 2，= - + + - - + 4 4 4 4 77 1当且仅当 - x 时，等号成立.4 分4 4所以实数 a 的取值范围为2,+).5 分（2）由（1）知 f (x) = t = 2 .min由柯西不等式得：m+ + n+ 2 m+ 2 + n+ 2 + = m+ n+1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 .7 分( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 当且仅当 m +1- 2n +1 = 0 ，1即 m =1， n = 时等号成立.8 分2因为 m 0，n 0 ，且 m+ 2n = 22所以( m +1+ 2n +1) 8 .9 分即 m +1+ 2n +1 2 2故 m +1 + 2n +1 2 t ，证毕.10 分8
