1、绵阳市高中 2019 级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分CACBB DCBAD AD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13-3 1436 15 x + 2y 3 = 0 16三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分a ，公差为 d(d 0) 17 解：（1）设等差数列an的首项为1(a + d)(a + 2d) =15 ，1 1由题意得 a + d = a a + d ，( 3 ) ( 24 )21 1 1a1 =1，d = 2 ， 4 分 解得 a =1+ 2(n 1) = 2n 1n数列a
2、n的通项公式是 a = 2n 1 6 分n（2）由（1）知，bn1 1 1 1 1= = = ( )a a + (2n 1)(2n +1) 2 2n 1 2n +1n n 1， 8 分 Sn1 1 1 1 1 1= (1 ) + ( ) + )2 3 3 5 2n 1 2n +1 1 1 n= (1 ) =2 2n +1 2n +110 分20S = ，m41Smm 20= =2m +1 41，解得 m = 20 m 的值为 2012 分18 解 ：（1）由题意得，每售出一部该款手机为甲、乙、丙、丁配置型号的频率分别为14，253，201 5， 3 分该商场销售一部该款手机的平均利润为1 2
3、3 1600 + 400 + 500 + 450 = 475 元5 分4 5 20 5理科数学 第1页（共 5 页）（2）由题意得 X1， 41 3 81 1 3 108P(X = 0) = C ( ) ( ) = ； P(X =1) = C1 ( )1 ( )3 = ；0 0 44 44 4 256 4 4 2561 3 54 1 3 12P(X = 2) = C ( ) ( ) = ； P(X = 3) = C3 ( )3 ( )1 = ；2 2 24 44 4 256 4 4 2561 3 1P(X = 4) = C4 ( )4 ( )0 = 10 分44 4 256X 的概率分布列为：
4、X 0 1 2 3 4P81256108256542561225612561X 的期望 E(X)=4 =112 分419解：（1） (a sinC)cosB = sinBcosC ， acosB =sinBcosC +cosBsinC =sin(B+C) =sin A ，即 acosB = sin A，a 1= 3 分sin A cosBa b= ，b = 3 ， 1 b 3= = ，sin A sin B cosB sin B sin Bsin B 3cosB = 0 ，即 tan B = 3 5 分 B( 0，p) ， Bp= 6 分3 a c b（2）由 = = = 2 ， sin A
5、sinC sin B得 a = 2sin A，c = 2sinC 7 分ABC 的周长= 3 + 2sin A+ 2sinC2p= 3 + 2sin A+ 2sin( A)3 3 13 2sin A 2( cos A sin A) 2 2= + + + = 3 +3sin A+ 3 cos A3 1 p= 3 + 2 3( sin A+ cos A) = 3 + 2 3 sin(A+ ) 10 分2 2 6 A(0，p) ， ( 5 )A+ ， ，sin(A + )( ，1p p p p 16 6 6 6 2ABC 的周长的取值范围为( 2 3 ，3 3 12 分理科数学 第2页（共 5 页）
6、20解：（1）由题意得 f (x) = (x 1)ex + x 1= (x 1)(ex +1) 当 x 1时， f (x) 1时， f (x) 0 函数 f(x)在 (，1) 上单调递减，在 ( 1，+ ) 上单调递增函数 f(x)的极小值为1f (1) = e ，无极大值5 分2（2）由题意得 f (x) = (x 1)ex 2ax 1 0 对任意的 x2，1恒成立令 h(x) = (x 1)ex 2ax 1当 x2，1时，hmax (x) 0 令j(x) = h(x) = xex 2a ，则j(x) = (x +1)ex ，易知j(x) 在区间 (2，1) 上单调递减，在区间 (1，1)
7、上单调递增1 2当 x2，1时，j (1) = 2 ，j(2) = 2 ，j = 7 分a amax (1) e 2a min2e ej = ，即 e 当 max (1) e 2a 0 a 时，23h x ， h(x) 在2，1 上单调递减，( ) 0 h (x) = h(2) = + 4a 1 0 ，max 2e得 a3 + e2 ，而4e23 + e e ，此时无解8 分24e 22 j = 1 ，即 1当 ( 1) 2a 0a 时， h(x)0 ， h(x) 在2，1 上单调递增， mine 2e h x = = a 1 ， 1 1 max ( ) h(1) 2 1 0 即j(1) 0，
8、1 e a 时，存在e 22x ，使得j(x ) = 0 ，0 ( 1 1) 00则 h(x) 在( )2，x 上单调递减，在 (x ，1)上单调递增0 0 +h(2) 0， 21 e 1 3 e ，又 ， 0，1 1当 a即 时，j( 1) 0， 2 2e e存在 2 x 1 x 1，使得j(x ) =j(x ) = 0 1 2 1 2则 h(x) 在 (2，x ) 上递增，在1(x，x ) 上递减，在 (x ，1)上递增1 2 2h(x ) 0， 1而 h(x ) = (x 1)e 2ae 1= (x 1)e x e 1 0 x x x 2 x 1 1 1 1 恒成立， = h(1) 2a
9、 1 0，1 1 1 11 1 a 11 分2e e2综上，实数 a 的取值范围为1 3 + e2 a 12 分2 4e2理科数学 第3页（共 5 页）21解 ：（1）1 1 e+ = ，OF OA FA1 1 e+ =c a a c1 2 SD = ab = ，SD = ab = ，OAB2ec= ， a2 = b2 + c2a联立解得 a = 2，b = 2 椭圆 E 的方程为x + y = 5 分2 214 2（2）设点 M(x ，y ) ，0 0P(x，y ) ，Q(x ，y ) ，则点1 1 2 2N(x ， y ) 0 0由题意得 A(2，0)点 M，N 在椭圆 E 上，x + y
10、 = ，2 20 0 14 2y y10 0 = x 2 x 2 20 0，1即k k = 7 分AM AN2设直线 AM 的方程为 x = my + 2 ，则直线 AN 的方程为 x 2 y 2= + m = +x my 2，联立 2 2消 x 整理得 (m2 +2)y2 + 4my = 0 x y+ =1， 4 2由点 A，M 均在 E 上，4my = 0 2m + 24 2m2x = my + 2 =0 0 2m + 2，y 2m k = 0 =1 2x m 02 10 分 = + x my 2，联立 消 x 整理得 (m2 +1)y2 + 4my = 0 x y 4， 2 + 2 =由
11、点 A，P 均在 C 上，4my = 1 2 +m 1，2 2m2x = my + 2 =1 1 2m +1同理：8my =2 2 +m 4，2m 82x =2 2m + 4y y m(3m + 6) 3m2 k = = =2 12 4 2x x m 4 m 22 1k 2m m2 2 21 = =k m 2 3m 32 2k，即 1k2为定值12 分理科数学 第4页（共 5 页）22解 ：（1）由 (x 2)2 = (sina + 2cosa)2 = sin2 a + 4sina cosa + 4cos2 a ，(y 1)2 = (cosa 2sina)2 = cos2 a 4sina co
12、sa + 4sin2 a两式相加可得曲线 C 的普通方程即(x 2)2 + (y 1)2 = 53 分直线 l 的极坐标方程 cos cos sin sin 1 cos 3 sin 1p pr q r q = r q r q = ，3 3 2 2 x = r cosq，y = rsinq ，直线 l 的直角坐标方程为 x 3y 2 = 0 5 分（2）由（1）可知直线 l 的斜率为33，倾斜角为p6，且点 A(2，0)在直线 l 上，3x = 2 + t，直线 l 的参数方程为 2 ( t =1y t 2为参数) 7 分代入曲线 C 的普通方程可得t2 t 4 = 0令交点 P，Q 两点的参数
13、分别为t，t ，1 2则有 t1 + t2 = 1，t1t2 = 4 ，1 1 1 1 t + t + = + = 1 2AP AQ t t t t1 2 1 2t t t t t t ( + ) 4 172= 1 2 = 1 2 1 2 =t t t t 41 2 1 2 10 分23解：（1）由题意可得 2x 1 x + 2 20，令函数 g(x) = 2x 1 x + 2 当 x2，g(x) =12x(x2) =3 x2，解得 x 2；1 ， = + = ，解得 2 1 时，不等式| 2x 1| | x + m| m0在 12 21 2x x m m0 ，即 2m3x +1在 1x m， 内恒成立，21解得m 41 1综上， m 10 分2 4理科数学 第5页（共 5 页）
