1、2022年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二模）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）已知集合A2，1，0，1，2，则AB（）A0，1B1，0，1C2，2D1，22（5分）已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为（）ABC8D123（5分）若的展开式中的常数项为160，则a的值为（）A1B1C2D24（5分）已知正方形ABCD的对角线AC2，点P在另一对角线BD上，则的值为（）A2B2C1D45（5分）已知关于x的不等式ax2+2bx+40的解集为，其中m0，则的最小值为（）A2B1C2D86（5分）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之
2、称，在历史上有很大的影响他幼年时就表现出超人的数学天赋，他在进行1+2+3+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，因此，此方法也称之为高斯算法已知某数列通项1+a2+a100（）A98B99C100D1017（5分）设双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与该双曲线左、右两支分别交于P、Q两点，若PQF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A2BCD8（5分）已知函数且f（3a）+f（2a3），则实数a的取值范围为（）A（1，+）B（3，+）CD（4，+）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分）（多选）9（5分）已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（x
3、R），则（）Af（x）的最小值为0Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图像关于点中心对称Df（x）的图像关于直线轴对称（多选）10（5分）下列说法错误的是（）A“a1”是“直线xay+30与直线axy+10互相垂直”的充分必要条件B直线xcosy+30的倾斜角的取值范围是C若圆C1：x2+y26x+4y+120与圆C2：x2+y214x2y+a0有且只有一个公共点，则a34D若直线yx+b与曲线有公共点，则实数b的取值范围是（多选）11（5分）已知函数（R），g（x）f（x）m（）A当0时，函数f（x）有3个零点B若函数f（x）恰有2个零点，则2，4）C当2时，若函数g（x）有三个零点x1，x
4、2，x3，则x1+x2+x3（6，6+ln2）D若存在实数m使得函数g（x）有3个零点，则（，3）（多选）12（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D1，DC的中点，若过点B且与直线l垂直的平面截正方体所得截面图形为三角形，则l可以是下列哪些线段所在的直线（）AA1FBCECEFDB1F三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设i是虚数单位，若复数（1i）z2i 14（5分）某天，甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 15（5分）关于x的不等式（x1）999929999x9999x+1解集为 16
5、（5分）已知抛物线方程y28x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，定义：，已知点P（2，）（P） ；设点P（2，t）（t0），若恒成立，则k的取值范围为 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）数列an满足a11，4anan+1+13an+an+1（1）求a2，a3；（2）证明是等差数列，并求an的通项公式18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）求角B；（2）在ABC的外接圆的面积为，ABC的周长为12，b4，求ABC的面积的最大值19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱AA1、CC1上的点，
6、ADC1EAA1，A1C1B1C1（1）求证：平面DEB1平面A1ABB1；（2）若直线B1D与平面ABC所成的角为45，且A1B1，求二面角DB1EB的正弦值20（12分）2022年1月26日，岳阳市主城区全新投放一批共享电动自行车本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是2：3监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等（1）求抽取的5辆电动自行车中恰有3辆是绿色的概率；（用数字作答）（2）在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，并规定若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束，则
7、将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车规定抽样的次数最多不超过n（nN*）次在抽样结束时，已抽到的红色电动自行车的数量用表示，求的分布列与数学期望21（12分）已知椭圆C：，F为上焦点，左顶点P到F的距离为，设O为坐标原点，点M的坐标为（0，2）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过F的直线l与C交于A，B两点，证明：OMAOMB22（12分）已知函数f（x）cosxax2，其中aR（1）当时，求函数f（x）在处的切线方程；（2）若函数f（x）在，上恰有两个极小值点x1，x2，求a的取值范围2022年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二模）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小
8、题5分，共40分）1（5分）已知集合A2，1，0，1，2，则AB（）A0，1B1，0，1C2，2D1，2【解答】解：集合A2，1，8，1，Bx|x0，则AB8，2故选：D2（5分）已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为（）ABC8D12【解答】解：因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长均为2，故球O的直径所以故球O的体积VR36故选：B3（5分）若的展开式中的常数项为160，则a的值为（）A1B1C2D2【解答】解：展开式的常数项为CC3160，所以a71，解得a1，故选：A4（5分）已知正方形ABCD的对角线AC2，点P在另一对角线BD上，则的值为（）A2
9、B2C1D4【解答】解：如图，AC与BD的交点为O，218，故选：B5（5分）已知关于x的不等式ax2+2bx+40的解集为，其中m0，则的最小值为（）A2B1C2D8【解答】解：关于x的不等式ax2+2bx+20的解集为，其中m6，所以m和是方程ax2+6bx+40的实数根，由根与系数的关系知，解得a1，b2（m+，所以+2，当且仅当，即b4时取“”，所以的最小值为2故选：C6（5分）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响他幼年时就表现出超人的数学天赋，他在进行1+2+3+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，因此，此方法也称之为高斯算法已知某数
10、列通项1+a2+a100（）A98B99C100D101【解答】解：由题意，an+a101n+7，所以a1+a100a2+a99a50+a51，所以a8+a2+a100（a1+a100）（a3+a99）+（a50+a51）502100故选：C7（5分）设双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与该双曲线左、右两支分别交于P、Q两点，若PQF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A2BCD【解答】解：由题设，|PF1|PQ|QF1|，而|PF3|PF1|QF1|QF6|2a，又|QF2|PF2|PQ|PF2|PF1|8a，故|QF1|PF1|6a，|PF2|6a，在PF6F
11、2中|F1F5|2c，则，所以52a324a228a24c2，则，即故选：D8（5分）已知函数且f（3a）+f（2a3），则实数a的取值范围为（）A（1，+）B（3，+）CD（4，+）【解答】解：函数，f（x）+f（x）ln（x）+ln（+4ln（x4+1x2）+3+44，可得f（x）的图象关于点（4，2）对称，由f（x）在（0，+）上递增，7）上递增，所以f（3a）+f（2a3）4即f（3a）+f（3a3）f（2a7）+f（2a+3），即为f（8a）f（2a+3），可得，或，或，解得a6，故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分）（多选）9（5分）已知函数f（x）sin2x+sinx
12、cosx（xR），则（）Af（x）的最小值为0Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图像关于点中心对称Df（x）的图像关于直线轴对称【解答】解：函数f（x）sin2x+sinxcosx+sin2x）+，故它的最小值为，故A错误；它的最小正周期为；令x，求得f（x），）中心对称；令x，求得f（x），可得f（x）的图像关于直线，故D正确；故选：BD（多选）10（5分）下列说法错误的是（）A“a1”是“直线xay+30与直线axy+10互相垂直”的充分必要条件B直线xcosy+30的倾斜角的取值范围是C若圆C1：x2+y26x+4y+120与圆C2：x2+y214x2y+a0有且只有一个公共点，则a3
13、4D若直线yx+b与曲线有公共点，则实数b的取值范围是【解答】解：对于A：当a1时，两方程可化为x+y+36，斜率分别为1和1，充分性不成立，当直线xay+20与直线axy+14垂直时，则1aa（1）8，必要性不成立，a1是直线xay+38与直线axy+10垂直既不充分也不必要条件，故A错误；对于B：直线 xcosy+60的倾斜角，1，所以B正确；对于C：圆C7：x2+y27x+4y+120的圆心为（7，2），圆C2：x2+y214x2y+a2的圆心为（7，1），（a50），两圆有且只有一个公共点，则两圆外切和内切，则21+，或|，解得a34或a14，故C错误；曲线方程变形为（x2）
14、8+（y3）28，表示圆心A为（2，半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示：直线yx+b与曲线有公共点，5），当直线yx+b与半圆相切时，2，当直线过点（7，3）时，则数b的取值范围为16故D正确故选：AC（多选）11（5分）已知函数（R），g（x）f（x）m（）A当0时，函数f（x）有3个零点B若函数f（x）恰有2个零点，则2，4）C当2时，若函数g（x）有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3（6，6+ln2）D若存在实数m使得函数g（x）有3个零点，则（，3）【解答】解：对于A，当0时，令f（x）0，得 或，解得x0或x4或x4，故f（x）有3个零点；作出函数（R）的大致图象
15、，对于B，当0时x1没有零点，函数yx4+6x8有两个零点，当3时函数yex1的零点只有一个，要使f（x）恰有2个零点，故（，2）2，故B错误；对于C，若函数g（x）有三个零点x1，x2，x3，即方程f（x）m有3个不同的实数根，也即yf（x）与ym有3个不同的交点，此时0m1，当3时，yex1单调递增，yx2+7x8的图象为x2的部分，函数在（6，在（3，所以ym与yx2+7x8（x2）有6个交点，与yex1（x2）有4个交点，设ym与yx2+6x2（x2）的2个交点的横坐标为x4，x2，与yex1（x4）的1个交点的横坐标为x3，由二次函数的对称性可知x6+x26，当ex71时，xln2，
16、所以8x3ln2，所以x8+x2+x3（4，6+ln2）；对于D，结合f（x）的图象，yex6单调递增，yx2+6x7单调递减，此时最多有2个零点，所以若存在实数m使得函数g（x）有3个零点，则7；故选：ACD（多选）12（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D1，DC的中点，若过点B且与直线l垂直的平面截正方体所得截面图形为三角形，则l可以是下列哪些线段所在的直线（）AA1FBCECEFDB1F【解答】解：设正方体的边长为2，设E，F，G，H，P1D5，DC，CC1，AD，AA1，DD7的中点，建立如图所示空间直角坐标系，A（2，0，7），2，0），3，0），A1（4，
17、0，2），B8（2，2，7），C1（0，3，2），D1（6，0，2），E（8，0，2），3，0），2，6），0，0），8，1），0，6），对于A选项，设平面BC1QH的法向量为（x1，y1，z7），则，故可设，即 是平面BC1QH的法向量，即A4F平面BC1QH，所以直线l不可以是A1F，A选项错误；对于B选项，所以CEFG，CEFB，由于FGFBF，所以CE平面FGB，所以直线l可以是CE，B选项正确；对于C选项，所以EFDB，EFDG，由于DBDGD，所以EF平面BDG，所以直线l可以是EF，C选项正确；对于D选项，所以B1FBC2，B1FBP，由于BC1BPB，所以B5F平面B
18、C1EP，所以直线l不可以是BlF，D选项错误故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设i是虚数单位，若复数（1i）z2i【解答】解：（1i）z2i，z6+i，复数z的模为故答案为：14（5分）某天，甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 【解答】解：设乙地下雨为事件A，甲地下雨为事件B，可得P（A），P（AB），根据条件概率得这一天，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为P（B|A）故答案为：15（5分）关于x的不等式（x1）999929999x9999x+1解集为 1，+）【解答】解：原不等式可化为：（x1
19、）9999（2x）9999x+8，因为yx9999在R上单调递增，当x12x，即x2时9999（2x）99990x+7，原不等式不成立；当x12x，即x7时9999（2x）99990x+2，原不等式恒成立；故原不等式的解为1，+）故答案为：1，+）16（5分）已知抛物线方程y28x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，定义：，已知点P（2，）（P）4；设点P（2，t）（t0），若恒成立，则k的取值范围为 （，4）【解答】解：如下图所示，过点Q作抛物线倠线的垂线QE，设PFO，则为锐角，设抛物线y28x的准线与x轴的交点为M，则|MF|4，由抛物线的定义可知，所以，当点P的坐标为时，则，此时；当点P
20、（6，t）（t0）时，若恒成立，k2，故答案为：4；（四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）数列an满足a11，4anan+1+13an+an+1（1）求a2，a3；（2）证明是等差数列，并求an的通项公式【解答】解：（1）数列an满足a11，7anan+1+13an+an+1所以4a5+13+a7，解得a2，所以4a3+17+a8，解得a3（2）证明：因为4anan+1+83an+an+1所以4anan+1+26an+2an+1化为：3anan+14an2an+1+27an12an+5+1，2（7an1）（2an+21）2an62an+1+
21、7，所以2，所以是等差数列，公差为5所以1+2（n5）n1，所以an，18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）求角B；（2）在ABC的外接圆的面积为，ABC的周长为12，b4，求ABC的面积的最大值【解答】解：（1）因为2bcosC2ac，所以6sinBcosC2sinAsinC，所以2sinBcosC3sin（B+C）sinC，可得2sinBcosC2sinBcosC+3cosBsinCsinC，所以2cosBsinCsinC，因为C（0，），所以cosB，因为B（0，），所以B（2）若选，设ABC的外接圆半径为R，则R2，可得R，所以b2RsinB54，由余弦定
22、理，得：b6a2+c28accosB，即16a2+c2ac6acacac，当且仅当ac时，即ABC的面积的最大值为4若选因为a+b+c12，可得：b12（a+c），由余弦定理b3a2+c25accosB，可得12（a+c）2a2+c2ac，可得ac8（a+c）48，又（）5ac，所以（）22（a+c）+480，所以a+c24（舍去），或a+c8，所以SacsinB（）24，当且仅当ac时等号成立若选，由余弦定理2a2+c52accosB，即16a2+c3ac2acacac，当且仅当ac时，可得SABCacsinB，即ABC的面积的最大值为819（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D
23、、E分别是棱AA1、CC1上的点，ADC1EAA1，A1C1B1C1（1）求证：平面DEB1平面A1ABB1；（2）若直线B1D与平面ABC所成的角为45，且A1B1，求二面角DB1EB的正弦值【解答】（1）取A1B1中点O4，AB中点O，连O1O交DB1于F，连EF，O3C1，则O1FA3D，O4FC1E且O1FC8E，O1C1EF是平行四边形，O4C1EF，A1C4B1C1，O8C1A1B2又平面A1B1C2平面A1B1BA，交线为A2B1，O1C2平面A1B1BA，EF平面A2B1BA，又EF平面DEB1，平面DEB6平面A1ABB1（2）由（1）知，OC，OO4两两垂直，建立如图空间直
24、角坐标系Oxyz，取B1B上一点M，使B1MDA，连AM，则B6DAM，又MB平面ABC，B1D与平面ABC所成角为MAB，MAB45，不妨设B1B5，则，OC6，A（0，1，D（2，1），0，8），B1（0，7，3），0，7），设平面DEB1的法向量为，取y1，得，平面BB7E的一个法向量，二面角DB5EB的平面角的正弦值为20（12分）2022年1月26日，岳阳市主城区全新投放一批共享电动自行车本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是2：3监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等（1）求抽取的5辆电动自行车中恰有3辆是绿色的概率；（用数字作答）（
25、2）在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，并规定若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车规定抽样的次数最多不超过n（nN*）次在抽样结束时，已抽到的红色电动自行车的数量用表示，求的分布列与数学期望【解答】解：（1）随机的抽取一辆电动自行车是绿色的概率为，用X表示“抽取的7辆电动自行车中，绿色电动自行车的辆数“，则X服从二项分布，XB（5，），抽取的5辆电动自行车重恰有3辆是绿色的概率P（X4）（2）由题意可得，的可能取值为0，1，6，n1，n，P（0），P（1），P（2
26、），P（n1），P（n），故的分布列为： 0 1 4 n1n P 则E（）+，+，化简可得，E（）+，故E（）21（12分）已知椭圆C：，F为上焦点，左顶点P到F的距离为，设O为坐标原点，点M的坐标为（0，2）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过F的直线l与C交于A，B两点，证明：OMAOMB【解答】（1）解：左顶点P到F的距离为，可得，又，从而b1椭圆C的标准方程为.（4分）（2）证明：当l与y轴重合时，OMAOMB0当l与y轴不重合时，设l的方程为ykx+81，y1），B（x5，y2），直线MA
27、，MB的斜率kMA，kMB之和为，又y1kx2+1，y2kx4+1，.（6分）联立方程，可得（6+k2）x2+6kx10，.（10分），从而kMA+kMB6，故直线MA，MB的倾斜角互补综上OMAOMB.（12分）22（12分）已知函数f（x）cosxax2，其中aR（1）当时，求函数f（x）在处的切线方程；（2）若函数f（x）在，上恰有两个极小值点x1，x2，求a的取值范围【解答】解：（1）当时，则，所以，所以，函数f（x）在，即yx；（2）f（x）cos（x）a（x）2cosxax2f（x），f（x）是，上的偶函数，“函数f（x）在，上恰有两个极小值点“等价于“函数f（x）在（0，不妨设x
28、30，因f（x）sinx2ax，令g（x）sinx4ax，则g（x）cosx2a，当时，g（x）0，）上单调递减，f（x）f（0）0则f（x）3，此时f（x）在（0，无极小值；当时，g（x）0，）上单调递增，f（x）f（0）0则f（x）8，此时f（x）在（0，无极小值；当时，存在x0（7，）0）cosx03a0，当x（0，x8）时，g（x）0，x0）上单调递减，当x（x6，）时，g（x）00，）上单调递增f（0）5，f（）2a0，由零点存在定理知存在x4（x0，），使得f（x1）sinx22ax14，当x（0，x1）时，f（x）4，x1）上单调递减，当x（x1，）时，f（x）71，）上单调递增，函数f（x）在（0，）上恰有一个极小值点xx2函数f（x）在，上恰有两个极小值点；当时，存在x0（0，）7）cosx02a4，当x（0，x0）时，g（x）4，x0）上单调递减，当x（x0，）时，g（x）70，）上单调递增，f（0）0，又f（）7a0，所以，对任意的x（0，f（x）5，此时，函数f（x）在（0，无极小值；当a0时，f（x）cosx在（7，无极小值；综上所述：a的取值范围为第22页（共22页）
