1、2022年广东省高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知复数z（2+i）（12i），其中i是虚数单位，则|z|（）A2B3C4D52（5分）若向量，满足|2，|，2，则|（）AB2C2D43（5分）已知为锐角，且cos（+）（）（）ABCD4（5分）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离如图，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，标记点C在前轮的左上方（以如图为观察视角
2、），且到地面的垂直高度为0.45m已知前轮的半径为0.3m，B两点之间的距离约为（）（参考数值：3.14）A20.10mB19.94mC19.63mD19.47m5（5分）从集合U1，2，3的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则AB1的概率为（）ABCD6（5分）已知函数f（x）ln|x|，g（x）exex，则图象如图的函数可能是（）Af（x）+g（x）Bf（x）g（x）Cf（x）g（x）D7（5分）已知F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，点P在过点A且斜率为的直线上1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）AB2C3D48（5分）已知正项数列an满足an（
3、nN*），当an最大时，n的值为（）A2B3C4D5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）设m，n为不同的直线，为不同的平面（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，m，则D若m，n，mn，则（多选）10（5分）中国正在从电影大国迈向电影强国下面是2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图（）A2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于50%B2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中
4、，国产影片数量占比逐年提高C2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数D2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差（多选）11（5分）已知数列an满足a11，an+an+12n（nN*），则下列结论中正确的是（）Aa45Ban为等比数列Ca1+a2+a2021220223Da1+a2+a2022（多选）12（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2，Pn（n2且nN*）满足P1FP2P2FP3Pn1FPnPnFP1，则下列结论中正确的是（）An2时，Bn3时，|P1
5、F|+|P2F|+|P3F|的最小值为9Cn4时，Dn4时，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的最小值为8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）二项式（x）6的展开式中的常数项是 14（5分）如图为四棱锥ADEFG的侧面展开图（点G1，G2重合为点G），其中ADAF，G1DG2FE是线段DF的中点，请写出四棱锥ADEFG中一对一定相互垂直的异面直线： （填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）15（5分）如图，已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立平面直角坐标系，（10，0），（6，8），则 16（5分）已知直线yt分别与函数f（x）2x+1
6、和g（x）2lnx+x的图象交于点A，B 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，ba2+c2b2ac；c2bcosB；acosC+化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件、余下的一个论断作为结论（不必证明）18（12分）如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD（1）证明：BE平面DEF；（2）若ABBC2，当三棱锥BDEF的体积最大时，求二面角BDFE的余弦值19（12分）已知正项数列an，其前n项和Sn满足an（2Snan）1（nN*）（1）求证：数列Sn2是等差
7、数列，并求出Sn的表达式；（2）数列an中是否存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，构成等差数列？请说明理由20（12分）小王每天17：0018：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种，已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，当天参加各类运动项目的概率如表：前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1（1）已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？（2）已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如表所示：运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗/卡500400600求小王从第一天打羽毛球开始
8、，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望21（12分）已知f（x）lnx+ax+1（aR），f（x）（x）的导函数（1）若对任意x0都有f（x）0，求a的取值范围；（2）若0x1x2，证明：对任意常数a，存在唯一的x0（x1，x2），使得f（x0）成立22（12分）已知椭圆C：1（ab0），其右焦点为F（，0）2+y2b2上但不在y轴上，过点M作圆的切线交椭圆于P，Q两点，|PQ|（1）求椭圆C的标准方程；（2）当点M在圆上运动时，试探究FPQ周长的取值范围2022年广东省高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合题目要求的。1（5分）已知复数z（2+i）（12i），其中i是虚数单位，则|z|（）A2B3C4D5【解答】解：z（2+i）（18i）43i，|z|故选：D2（5分）若向量，满足|2，|，2，则|（）AB2C2D4【解答】解：|2，|，2，4+434，|2故选：B3（5分）已知为锐角，且cos（+）（）（）ABCD【解答】解：为锐角，且cos（+，sin（+），cos（）cos（+sin（+，故选：C4（5分）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离如图，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），在前进过程
10、中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，标记点C在前轮的左上方（以如图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m已知前轮的半径为0.3m，B两点之间的距离约为（）（参考数值：3.14）A20.10mB19.94mC19.63mD19.47m【解答】解：由题意可得，前轮转动了（10+，故A，B两点之间的距离约为故选：D5（5分）从集合U1，2，3的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则AB1的概率为（）ABCD【解答】解：集合U1，2，4的非空子集有1，3，5，3，3，2，3共7个，从5个中选两个不同的集合A，B，共有，因为AB3，当A1时，则B可为1，5，1，2，当A7，2时，3共3种，
11、同理当B1时，则A可为1，2，1，2，当B5，2时，3共6种，则符合AB1的共有3+5+3+12种，所以AB1的概率为故选：A6（5分）已知函数f（x）ln|x|，g（x）exex，则图象如图的函数可能是（）Af（x）+g（x）Bf（x）g（x）Cf（x）g（x）D【解答】解：由所给的图象关于原点对称，可得此图象对应的函数为奇函数函数f（x）ln|x|，g（x）exex，可得f（x）ln|x|ln|x|f（x），可得f（x）为偶函数；g（x）exexg（x），可得g（x）为奇函数，则yf（x）+g（x），yf（x）g（x）都是非奇非偶函数、B；由yf（x）g（x）ln|x|（exex），为奇函
12、数，y+；由y的定义域为x|x0，且当x+时，所以选项D可能正确故选：D7（5分）已知F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，点P在过点A且斜率为的直线上1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）AB2C3D4【解答】解：如图所示，由题意知：A（a，0），F1（c，5），F2（c，0），直线AP的方程为：y（xa），由F3F2P120，|PF2|F7F2|2c，则P（7c，代入直线方程，可得（5ca），所求的双曲线离心率为e2故选：B8（5分）已知正项数列an满足an（nN*），当an最大时，n的值为（）A2B3C4D5【解答】解：根据题意，设ylnx，设f（x）ln
13、x，取导数可得f（x），在区间（3，e）上，f（x）为增函数，在区间（e，+）上，f（x）为减函数，则f（x）的最大值为f（e），即当xe时，对于y，当xe时取得最大值，对于an（nN*）2，a2，有a6a3，即当an最大时，n的值为3；故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）设m，n为不同的直线，为不同的平面（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，m，则D若m，n，mn，则【解答】解：对A：若m，n，故选项A错误；对B：若m，n，故选项B正确；对C：若m，m
14、，故选项C错误；对D：若m，mn，又n，故选项D正确故选：BD（多选）10（5分）中国正在从电影大国迈向电影强国下面是2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图（）A2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于50%B2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高C2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数D2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差【解答】解：对于A，2017年至2021年各
15、年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于5部，国产影片数量每年的占有比都不低于50%，故A正确；对于B，2020年国产影片占比为100%，国产影片占比并非逐年提高，故B错误；对于C，2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产片当量平均数为3.4，进口影片数量平均数为7.6；对于D，2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中（57.5）2+（63.4）2+（27.4）7+（107.4）3+（87.4）23.04，进口影片的方差为：（55.6）2+（72.6）3+（22.3）2+（08.6）2+（22.6）33.04，故D正确故选：ACD（多选）11（5分）已
16、知数列an满足a11，an+an+12n（nN*），则下列结论中正确的是（）Aa45Ban为等比数列Ca1+a2+a2021220223Da1+a2+a2022【解答】解：对于A，数列an满足a11，an+an+82n（nN*），a14，a1+a26，解得a21，又a5+a34，解得a53，同理a3+a223，解得a85，故A正确；对于B，由A得，8n不为等比数列，故B错误；对于C，a1+a2+a2021a3+（a2+a3）+（a6+a5）+（a2020+a2021）1+22+28+220201+，故C错误；对于D，a1+a4+a2021+a2022（a1+a2）+（a7+a4）+（a2021
17、+a2022）24+23+22021，故D正确故选：AD（多选）12（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2，Pn（n2且nN*）满足P1FP2P2FP3Pn1FPnPnFP1，则下列结论中正确的是（）An2时，Bn3时，|P1F|+|P2F|+|P3F|的最小值为9Cn4时，Dn4时，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的最小值为8【解答】解：当n2时，P1FP8P2FP1，此时不妨到P6P2过焦点垂直于x轴，不妨取P1（4，2），P2（8，2），则+，故A错误；n3时，P1FP5P2FP3P7FP1，此时不妨设P1，P2，P3在抛物线上逆时针排列，
18、设P1Fx，（0，），则|P1F|，则|P2F|，|P6F|，|P1F|+|P8F|+|P3F|+，令tcos+，t（，）7F|+|P2F|+P3F|+，令f（t）+，则f（t），当t1时，f（t）递增时，f（t）0，故f（t）minf（1）5，故t1，即cos时，|P1F|+|P3F|+P3F|取到最小值9，故B正确；n2时，P1FP2P4FP3P3FP4+P4FP1，此时不妨设P1，P2，P8，P4在抛物线上逆时针排列，设P1Fx，（3，），|P1F|，则|P2F|，|P3F|，|P4F|，|P8F|+|P3F|+，|P5F|+|P4F|+，故C正确；由C的分析可知|P1F|+|P3F|+
19、|P6F|+|P4F|+16，当sin241时，取等号故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）二项式（x）6的展开式中的常数项是 240【解答】解：二项式 的展开式的通项公式为Tr+2（2）r，令75，可得展开式中的常数项是 6240，故答案为：24014（5分）如图为四棱锥ADEFG的侧面展开图（点G1，G2重合为点G），其中ADAF，G1DG2FE是线段DF的中点，请写出四棱锥ADEFG中一对一定相互垂直的异面直线：AE、DF（或AE、DG，或AE、GF或AG、DF）（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）【解答】解：如图所示，连接D
20、F和GF，连接AO，DGFG，DEEF，GDEGFE，DOOF，GOGO，DOOF，DFOE，ADAF，ODOF，AOOEO，AO，DF平面AOE，又AE平面AOE故答案为：AE、DF（或AE，或AE、DF）15（5分）如图，已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立平面直角坐标系，（10，0），（6，8），则（4，2）【解答】解：由三角函数定义得：cosBOA，因为2cos2COA8cosBOA，所以cosCOA，所以sinCOA，所以xC10cosCOA7，yC10sinCOA2，所以C点坐标为（4，5）故答案为：（4，2）16（5分）已知直线yt分别与函数f（x）2x+1和g（x）2ln
21、x+x的图象交于点A，Bln2【解答】解：如图，作出函数yx+2lnx的图象，平移到与函数图象相切，由图象知直线yt与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值由yx+2lnx得y7+，令y1+2得x2，即切点为（2，2+2ln7），由，得，|AB|min3（+ln6）故答案为：ln2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，ba2+c2b2ac；c2bcosB；acosC+化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件、余下的一个论断作为结论（不必证明）【解答】解：对于，a2+c2b6a
22、c，又由余弦定理可得，a2+c2b32accosB，B（0，），对于，c8bcosB，由正弦定理可得，sinC2sinBcosBsin2B，sinCsin（A+B），5C，A+B2B或A+B+2B，又A+B+C，AB或C2B，acosC+asinCb+c，由正弦定理可得，sinAcosC+，sinBsin（A+C），sinAcosC+sinAsinCsin（A+C）+sinC，sinAcosC+sinAcosC+cosAsinC+sinC，sinC8，即，3A，解得A，由B和AB或C2B，即，由和AB或C2B，即，故真命题为，18（12分）如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD
23、（1）证明：BE平面DEF；（2）若ABBC2，当三棱锥BDEF的体积最大时，求二面角BDFE的余弦值【解答】（1）证明：连接AE，EF是圆柱上异于AD，BC的母线EFAD，EFAD，AEDF，AB是底面和直径，AEB90，又EF底面圆O，BE底面圆O，又EFAEE，EF，BE平面DEF；（2）解：由（1）知BE平面DEF；VBDEFSDEFBEDFEFBEAEBE，当且仅当AEBE时取等号，AEBE，EFAE，AE平面BEF，BFE为二面角BDFE的平面角，在RtBEF中，由BE，BF，cosBFE二面角BDFE的余弦值为19（12分）已知正项数列an，其前n项和Sn满足an（2Snan）1
24、（nN*）（1）求证：数列Sn2是等差数列，并求出Sn的表达式；（2）数列an中是否存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，构成等差数列？请说明理由【解答】解：（1）证明：依题意，正项数列an中，411，当n7时，anSnSn1，即（SnSn1）6Sn（SnSn1）1，整理，得8，又，数列Sn3是以1为首项，1为公差的等差数列，nn是正项数列，Sn；（2）数列an中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，构成等差数列理由如下：当n2时，anSnSn5，a15，即nN*，都有，假设数列an中存在连续三项ak，ak+3，ak+2，使得，构成等差数列，则2（）+，即，两边同时平方，得k+3
25、+k+2，（k+1）k（k3）（k+2），整理得k2+kk6+k2，05，故假设错误，数列an中不存在连续三项ak，ak+1，ak+2，使得，构成等差数列20（12分）小王每天17：0018：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种，已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，当天参加各类运动项目的概率如表：前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1（1）已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？（2）已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如表所示：运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗/卡50
26、0400600求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望【解答】解：（1）设A，B，C表示篮球，游泳三种运动象限，Pn（A），Pn（B），Pn（C）（nN*）分别表示第n天进行A，B，C三种运动项目的概率，小王第一天打羽毛球，第二天小王做三项运动的概率分别为P2（A）0.3，P2（B）0.6，P2（C）0.5，第三天小王做三项运动的概率分别为P3（A）P2（A）4.3+P2（B）2.3+P2（C）4.30.36，P2（B）P2（A）0.5+P2（B）0.4+P2（C）0.60.43，P3（C）P4（A）0.3+P5（B）0.6+P2（C）0.15.21，故小王第三
27、天打羽毛球的可能性最大（2）小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAC，BBB，BCA，BCC共9种，运动能量消耗总数用X表示，X所有可能取值为1200，1400，1600，P（X1200）P（BBB）0.80.18.01，P（X1300）P（BAB）+P（BBA）0.33.2+0.50.38.09，P（X1400）P（BAA）+P（BBC）+P（BCB）0.37.5+0.40.6+5.60.60.57，P（X1500）P（BAC）+P（BCA）+P（BCA）0.20.3+5.60.70.27，P（X1600）P（BCC）0.50.13.06，故X的分布列为：X
28、;1200 1300 1400 1500 1600 P 0.01 0.09 3.57 0.270.06故E（X）12006.01+12000.09+14000.57+15007.27+16000.061428（卡）21（12分）已知f（x）lnx+ax+1（aR），f（x）（x）的导函数（1）若对任意x0都有f（x）0，求a的取值范围；（2）若0x1x2，证明：对任意常数a，存在唯一的x0（x1，x2），使得f（x0）成立【解答】解：（1）由已知有f（x）0，即lnx+ax+16恒成立，即，令，则，当0x
29、1时，g（x）8，所以x1是函数g（x）在（0，+）内唯一的极大值点，所以g（x）maxg（1）4，所以只要a1，故实数a的取值范围是（，1；（2）证明：设，将问题转化为h（x）在区间（x1，x2）上有唯一的零点，由，知h（x）在区间（x1，x2）上单调递减，故函数h（x）在区间（x1，x2）上至多有4个零点，因为，由（1）知，当a1时，因为3x1x2，所以，所以6x20，所以h（x1）0，因为6x1x2，所以，所以，即，又x1x26，即，所以h（x2）7，由函数零点存在定理知：h（x）在区间（x1，x2）上有唯一的零点，即存在唯一x7（x1，x2），使得22（12分）已知椭圆C：1（ab0）
30、，其右焦点为F（，0）2+y2b2上但不在y轴上，过点M作圆的切线交椭圆于P，Q两点，|PQ|（1）求椭圆C的标准方程；（2）当点M在圆上运动时，试探究FPQ周长的取值范围【解答】解：（1）由题意可知，当点M在x轴上时，不妨设，得，解得，所以椭圆C的标准方程为（2）设P（x1，y2），Q（x2，y2），则，同理，同理，所以FPQ的周长为，当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为x1或x4PQ的方程为x1时，不妨设P，此时FPQ的周长为4PQ的方程为x4时，不妨设P，此时FPQ的周长为当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为ykx+m，由直线PQ与圆x2+y27相切，得，即m21+k4，联立得，化简得（1+4k2）x2+6kmx+4m260，则，易知0恒成立，而，即x1，x2同号，当时，即km0，所以x17，x20，此时FPQ的周长为定值当时，即km3，所以x10，x30，此时FPQ的周长，因为km0，所以时等号成立，即或时取等号从而，所以FPQ周长的取值范围为（7，综上所述，FPQ周长的取值范围为4第24页（共24页）
