1、2022年福建省泉州市高考数学质检试卷（3月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集合Ax|x1，Bx|x2，则A（RB）（）ABRC（2，1）D2，1）2（5分）已知向量a=（3，1），b=（1，3），且（a+b）（a-b），则的值为（）A2B1C1D23（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的焦距为25，点P（2，1）在C的一条渐近线上，则C的方程为（）Ax2-y24=1Bx24-y21C3x220-3y25=1Dx216-y24=14（5分）（x2x+1）（x+1）6的展开式中x7的系数为（
2、）A5B6C7D155（5分）已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面上存在两点A，B，使得ASB90，则该圆锥侧面积的最大值为（）A2B2C22D46（5分）已知函数f（x）sin（x+4）（0）在（0，2）有且仅有一个零点，则的值可以是（）A1B3C5D77（5分）已知函数f（x）ax2bx+c，若log3a3bc1，则（）Af（a）f（b）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（b）f（a）f（c）Df（b）f（c）f（a）8（5分）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间0，1平均分成三段，去掉中间的一段
3、，剩下两个闭区间0，13和23，1；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：0，19，29，13，23，79，89，1；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（）A7B8C9D10二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9（5分）已知点M在直线l：y4k（x3）上，点N在圆O：x2+y29上，则下列说法正确的是（）A点N到l的最大距离为8B若l被圆O所截得的弦
4、长最大，则k=43C若l为圆O的切线，则k的取值范围为0，724D若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为3（多选）10（5分）设z1，z2为复数，则下列命题正确的是（）A若|z1z2|0，则z1z2B若|z1|z2|，则z12z22C若z1+z20，则z2=z1D若z1z20，则z10或z20（多选）11（5分）某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，“”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点从这次考试的成绩看，下列结论正确的是（）A该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B在语文和数学两个科目中，丙同学的
5、成绩名次更靠前的科目是语文C数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲（多选）12（5分）已知函数f（x）的定义域为0，+），且满足f（x）=2x-1，x0，1)log2(3-x)，x1，2)，当x2时，f（x）f（x2），为非零常数，则下列说法正确的是（）A当1时，f（log280）=14B当0时，f（x）在10，11）单调递增C当1时，f（x）在0，4n（nN*）的值域为2n1，2n2D当0，且1时，若将函数g（x）=x-12与f（x）的图象在0，2n（nN*）的m个交点记为（xi，yi）（i1，2，3，m
6、），则i=1m (xi+yi)=n2+n1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若sin2cos2+1=13，则tan 14（5分）写出一个满足f（x1）为偶函数，且在（0，+）单调递增的函数f（x） 15（5分）已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，AF的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点若AFPAFQ，则|AB| 16（5分）已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，ABACDBDC，AD2BC4，则球O的表面积的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）在平面四边形
7、ABCD中，AB1，BC3，B60，ACD30（1）若AD=213，求ADC；（2）若BDCD，求ACD的面积18（12分）体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：（1）从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；（2）从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为，求的分布列和期望；（3）从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩X近似服从N（，2），已知样本方差s2116.44，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年
8、男生1000米成绩在89.2分以上的人数附：116.4410.8若XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.95419（12分）已知数列an满足a1-1a1a2-1a2an-1an=1an（1）求an的通项公式；（2）在ak和ak+1（kN*）中插入k个相同的数（1）k+1k，构成一个新数列bn：a1，1，a2，2，2，a3，3，3，3，a4，求bn的前100项和S10020（12分）如图，多面体ABCEF中，ABAC，BFCE，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形（1）证明：BECE；（2）若AB2，BAC120，当三棱锥EBCF的体积最大时，求二面角ABFE的余弦值21（1
9、2分）已知点F1（1，0），F2（1，0），M为圆O：x2+y24上的动点，延长F1M至N，使得|MN|MF1|，F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记P的轨迹为（1）求的方程；（2）过F2的直线l与交于A，B两点，纵坐标不为0的点E在直线x4上，线段OE分别与线段AB，交于C，D两点，且|OD|2|OC|OE|，证明：|AC|BC|22（12分）已知函数f（x）（xm）sinx+cosx，x0，54（1）当m2时，讨论f（x）的单调性；（2）若m0，f（x）+1a（x），求a2022年福建省泉州市高考数学质检试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每
10、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集合Ax|x1，Bx|x2，则A（RB）（）ABRC（2，1）D2，1）【解答】解：集合Ax|x1，Bx|x2，RBx|x2A（RB）x|2x12，1）故选：D2（5分）已知向量a=（3，1），b=（1，3），且（a+b）（a-b），则的值为（）A2B1C1D2【解答】解：向量a=（3，1），b=（1，3），且（a+b）（a-b），（a+b）（a-b）=a2+（1）ab-b2=10+（1）（3+3）100，1，故选：C3（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的焦距为25，点P（2，1）在C的一条渐近线上，则C的方程
11、为（）Ax2-y24=1Bx24-y21C3x220-3y25=1Dx216-y24=1【解答】解：双曲线 C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的焦距为25，点P（2，1）在C的一条渐近线上，可得：a2+b2=5，并且2ba0，解得a2，b1所求的双曲线方程为：x24-y21故选：B4（5分）（x2x+1）（x+1）6的展开式中x7的系数为（）A5B6C7D15【解答】解：用x2x+1中的前2项分别与（x+1）6展开式中的5次项、6次项相乘然后相加得x2C61x512xC60x615x7，（x2x+1）（x+1）6的展开式中x7的系数为5故选：A5（5分）已知圆锥SO的底面半径为1，若其底
12、面上存在两点A，B，使得ASB90，则该圆锥侧面积的最大值为（）A2B2C22D4【解答】解：因为圆锥的轴截面是等腰三角形，其底面上存在两点A，B，使得ASB90，可知母线1l2，所以圆锥的侧面积为：122l=l2，当且仅当圆锥的轴截面是等腰直角三角形时，侧面积取得最大值故选：A6（5分）已知函数f（x）sin（x+4）（0）在（0，2）有且仅有一个零点，则的值可以是（）A1B3C5D7【解答】解：f（x）sin（x+4），x（0，2），4x+42+4，函数f（x）sin（x+4）（0）在（0，2）有且仅有一个零点，可得，2+42+42，解可得，3272故选：B7（5分）已知函数f（x）ax2
13、bx+c，若log3a3bc1，则（）Af（a）f（b）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（b）f（a）f（c）Df（b）f（c）f（a）【解答】解：log3a3bc1，a3，b0，c1，且acb，又二次函数f（x）ax2bx+c的对称轴为x=b2a，满足0b2a1，二次函数f（x）ax2bx+c在（b2a，+）单调递增，f（b）f（c）f（a），故选：D8（5分）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间0，1平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间0，13和23，1；第二步，将剩下的两个闭区间分别平
14、均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：0，19，29，13，23，79，89，1；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（）A7B8C9D10【解答】解：第一次操作剩下：0，13，23，1；第二次操作剩下：0，19，29，13，23，79，89，1；第三次操作剩下：0，127，227，19，29，727，827，13，23，1927，2027，79，89，2527，2627，1；.观察剩余区间的最后一个区间可以写为：1-13n，1，即3n-13n，1，要使20212022不属于剩下的闭区间，则只需
15、3n-13n20212022，解得：3n2022，又因为3721872022，所以n的最小值是 7故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9（5分）已知点M在直线l：y4k（x3）上，点N在圆O：x2+y29上，则下列说法正确的是（）A点N到l的最大距离为8B若l被圆O所截得的弦长最大，则k=43C若l为圆O的切线，则k的取值范围为0，724D若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为3【解答】解：直线l：y4k（x3）恒过定点D（3，4），当ODl时，圆心O到直线l的距离最大
16、，最大距离为(3-0)2+(4-0)2=5，故N到直线l的最大距离为5+38，故A正确；l被圆O所截得的弦长最大时，则l过圆O的圆心O，所以04k（03），解得k=43，故B正确；若l为圆O的切线，k2+1=3，解得k=724，故C错误；若点M也在圆O上，则圆O与直线l有公共点，当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径3，所以O到l的距离的最大值为3，故D正确故选：ABD（多选）10（5分）设z1，z2为复数，则下列命题正确的是（）A若|z1z2|0，则z1z2B若|z1|z2|，则z12z22C若z1+z20，则z2=z1D若z1z20，则z10或z20【解答】解：对于A，设z1a+b
17、i，a，bR，z2c+di，c，dR，|z1z2|0，|z1z2|=(a-c)2+(b-d)2=0，a-c=0b-d=0，a=cb=d，z1z2，故A正确；对于B，令z11，z2i，则|z1|z2|1，此时z12z22，故B错误；对于C，令z11+i，z2i，则z1+z210，此时z2z1，故C错误；对于D，设z1a+bi，a，bR，z2c+di，c，dR，则z1z2（a+bi）（c+di）（acbd）+（ad+bc）i0，ac-bd=0ad+bc=0，ac=bdad=-bc，a2cdb2cd，若cd0，则a2cdb2cd成立，此时z20，若c0，d0，由acbd，知b0，由adbc知，a0，
18、此时z10，同理可知：当c0时，d0，由a2cdb2cd，得a2b2，ab0，此时z10，综上，若z1z20，则z10或z20，故D正确故选：AD（多选）11（5分）某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，“”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点从这次考试的成绩看，下列结论正确的是（）A该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是
19、甲【解答】解：A：由图可得，该班六科总成绩排名前的同学数学成绩比语文成绩排名更好，故A错误；B：由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名，其语文成绩排在250到300名之间，从左图可得其数学成绩排在400名左右，故B正确；C：数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强，因为右图的点的分布较左图更分散，故C正确；D：由左图可得甲的总成绩排在班上第7名，年级名次100多一点，对应到右图可得，其语文成绩排在年级近100名，故甲的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前；由左图可得甲的总成绩排在班上第27名，年级名次接近250名，对应到右图可得，其语文成绩排在年级250名之后，故乙的语
20、文成绩名次比其六科总成绩名次靠后，故D正确；故选：BCD（多选）12（5分）已知函数f（x）的定义域为0，+），且满足f（x）=2x-1，x0，1)log2(3-x)，x1，2)，当x2时，f（x）f（x2），为非零常数，则下列说法正确的是（）A当1时，f（log280）=14B当0时，f（x）在10，11）单调递增C当1时，f（x）在0，4n（nN*）的值域为2n1，2n2D当0，且1时，若将函数g（x）=x-12与f（x）的图象在0，2n（nN*）的m个交点记为（xi，yi）（i1，2，3，m），则i=1m (xi+yi)=n2+n1【解答】解：对于A，当1时，f（x）f（x2），则f（x
21、+4）f（x+2）f（x），当x2时，f（x+4）f（x），f（x+2）f（x），f(log280)=f(log280-4)=f(log25)=f(log254+2)=-f(log254)=-(2log54-1)=-54+1=-14，A错误；对于B，当0时，f（x）在0，1）上的单调性与在2n，2n+1）（nN*）的单调性相同，f（x）在0，1）上单调递增，f（x）在10，11）上单调递增，B正确；以此类推可得：f（x+8）4f（x），f（x+12）6f（x），则f（x+4n）2nf（x）；1，f（x）在0，1和4n1，4n+1（nN*）上单调递增，在4n3，4n1（nN*）上单调递减；当x0
22、，4n（nN*）时，f(x)min=f(4n-1)=2(n-1)f(4n-1-4(n-1)=2(n-1)f(3)=2n-1f(1)=2n-1，f(x)max=f(4n-3)=2(n-1)f(4n-3-4(n-1)=2(n-1)f(1)=2n-2，f（x）在0，4n（nN*）上的值域为2n1，2n2，C正确；对于D，由图象可知：g(x)=x-12与f（x）的图象在0，2n（nN*）有n个交点，且xi2i1，yi=i-1(i=1，2，3，n)，0且1，数列xi是等差数列，数列yi是等比数列，i=1m (xi+yi)=i=1n xi+i=1n yi=n(1+2n-1)2+1-n1-i=n2+1-n1
23、-，D错误；故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若sin2cos2+1=13，则tan13【解答】解：sin2cos2+1=13=2sincos2cos2=tan，即tan=13，故答案为：1314（5分）写出一个满足f（x1）为偶函数，且在（0，+）单调递增的函数f（x）（x+1）2【解答】解：根据题意，若f（x1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x1对称，又由f（x）在（0，+）单调递增，可以考查对称轴为x1，开口向上的二次函数，则满足题意的函数可以为f（x）（x+1）2，故答案为：（x+1）215（5分）已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线为l，
24、过F的直线m与E交于A，B两点，AF的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点若AFPAFQ，则|AB|163【解答】解：因为PQ垂直平分AF，AFPAFQ，所以PAPFFQ在四边形PAQF中，对角线AF与PQ垂直，所以四边形PAQF是菱形，由抛物线的定义可知：AFPA，所以PAAFPF，所以APF为等边三角形，所以AFP60，故AFPAFQ60，所以|AB|=2psin2AFQ=22(32)2=163故答案为：16316（5分）已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，ABACDBDC，AD2BC4，则球O的表面积的最小值为 16【解答】解：取BC、AD的中点E和F，连接AE、DE、BF、C
25、F，如图所示：由于ABBD，ACDC，BCBC，所以ABCDBC，所以AEDE，故EF为AD的垂直平分线，同理，EF为BC的垂直平分线，所以球心O在直线EF上，设其半径为R，所以OA+ODADOB+OCBC，故R2，当且仅当点O为AD的中点时，R2，此时球O的表面积取得最小值，最小值为4R216故答案为：16四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）在平面四边形ABCD中，AB1，BC3，B60，ACD30（1）若AD=213，求ADC；（2）若BDCD，求ACD的面积【解答】解：（1）在ABC中，由余弦定理有AC2AB2+BC22ABBCcos
26、B1+921312=7，AC=7，在ACD中，由正弦定理有ADsinACD=ACsinADC，21312=7sinADC，解得sinADC=32，0ADC150，ADC60或ADC120；（2）在ABC中，由余弦定理有cosACB=AC2+BC2-AB22ACBC=9+7-1273=527，sinACB=1-2528=327，cosBCDcos（ACB+30）cosACBcos30sinACBsin30=52732-32712=37，在BCD中，由余弦定理有BD2CD2+BC22BCCDcosBCD，BDCD，96CD37=0，CD=212，SACD=12721212=73818（12分）体育
27、课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：（1）从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；（2）从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为，求的分布列和期望；（3）从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩X近似服从N（，2），已知样本方差s2116.44，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数附：116.4410.8若XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.95
28、4【解答】解：（1）这100名学生中，成绩低于60的人数为（0.001+0.002）101003，故两人测试成绩都低于60分的概率为C32C1002=11650（2）从该校所有高一年男生中任意取1人，其成绩70分以上的概率为（0.04+0.022+0.018）100.8，若70分以上的人数为，则B（3，0.8），故P(=0)=C300.23=0.008，P(=1)=C310.220.8=0.096，P(=2)=C320.210.82=0.384，P(=3)=C330.83=0.512故的分布列为： 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512E（）30.82.4（3）由频
29、率分布直方图可得，10（450.001+550.002+650.017+750.04+850.022+950.018）78.4，故P(X89.2)=P(X78.4+10.8)=1-0.68262=0.1587，故预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数为0.1587100015919（12分）已知数列an满足a1-1a1a2-1a2an-1an=1an（1）求an的通项公式；（2）在ak和ak+1（kN*）中插入k个相同的数（1）k+1k，构成一个新数列bn：a1，1，a2，2，2，a3，3，3，3，a4，求bn的前100项和S100【解答】解：（1）数列an满足a1-1a1a2
30、-1a2an-1an=1an，n2时，a1-1a1a2-1a2an-1-1an-1=1an-1，相除可得：an-1an=1anan-11，化为：anan11，n1时，a1-1a1=1a1，解得a12数列an是等差数列，公差为1，首项为2an2+（n1）n+1（2）在ak和ak+1（kN*）中插入k个相同的数（1）k+1k，构成一个新数列bn：a1，1，a2，2，2，a3，3，3，3，a4，ak，（1）k+1k，（1）k+1k，ak+1，其项数为k+1+（1+2+k）=(k+1)(1+k+1)2100，解得k13k12时，到ak+1项的项数为：13142=91，其后面还有9项，为13，13，13
31、，13，13，13，13，13，13即2，1，3，2，2，4，3，3，3，5，14，13，13，13，13，13，13，13，13，13bn的前100项和S1002+1+322+4+3+3+3+5+14+13+13+13+13+13+13+13+13+13（2+3+14）+122+3344+11111212+139=13(2+14)2+1222+3242+92102+112122+139104+（12）（1+2）+（34）（3+4）+（910）（9+10）+（1112）（11+12）+117104（1+2+9+10+11+12）+117221-12(1+12)214320（12分）如图，多面体
32、ABCEF中，ABAC，BFCE，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形（1）证明：BECE；（2）若AB2，BAC120，当三棱锥EBCF的体积最大时，求二面角ABFE的余弦值【解答】证明：（1）四边形ADEF为矩形，ADDE，又ABAC，D为BC中点，ADBC，BC，DE平面BCE，BCDED，AD平面BCE，ADEF，EF平面 BCE，又CE平面BCE，EFCE，BFCE，BFEFF，BF，EF平面BEF，CE平面BEF，又BE平面BEF，BECE解：（2）ABAC2，BAC120，AD=EF=12AB=1，BC=2BD=23，由（1）知：EF平面BCE，VE-BCF=VF-BCE=13S
33、BCEEF=16BECEEF=16BECE112(BE2+CE2)=112BC2=1( 当且仅当BE=CE=6时取等号），即BECE时，三棱锥EBCF的体积最大，又D为BC中点，EDBC，则以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴可建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，3，0)，F(1，0，3)，C(0，-3，0)，E(0，0，3)，AF=(0，0，3)，AB=(-1，3，0)，CE=(0，3，3)，由（1）知：CE平面BEF，平面BEF的一个法向量为CE=(0，3，3)，设平面ABF的法向量n=（x，y，z），则AFn=3z=0ABn=-x+3y=0，令y1，解得：x
34、=3，z=0，n=(3，1，0)，cosCE，n=CEn|CE|n|=362=24，由图形可知：二面角ABFE为钝二面角，二面角ABFE的余弦值为-2421（12分）已知点F1（1，0），F2（1，0），M为圆O：x2+y24上的动点，延长F1M至N，使得|MN|MF1|，F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记P的轨迹为（1）求的方程；（2）过F2的直线l与交于A，B两点，纵坐标不为0的点E在直线x4上，线段OE分别与线段AB，交于C，D两点，且|OD|2|OC|OE|，证明：|AC|BC|【解答】解：（1）连接MO，PF1，PM是NF1的垂直平分线，|PF1|PN|，|PF1|+|PF2|P
35、N|+|PF2|NF2|；M，O分别为 NF1，F1F2中点，|NF2|2|MO|4，|PF1|+|PF2|4|F1F2|，P点轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，即a2，c1，b23，P点轨迹的方程为：x24+y23=1；证明：（2）|OD|2|OC|OE|，即|OD|OC|=|OE|OD|，|xD|xC|=|xE|xD|，由题意知：xC0，xE4，xD2=4xC，（1）当直线l斜率不存在时，即l：x1，此时xC1，xD2，此时xD2=4xC 不成立；（2）当直线l斜率存在时，设l：yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），由x24+y23=1y=k(x-1) 得：(3+4k
36、2)x2-8k2x+4k2-12=0：x1+x2=8k23+4k2x1x2=4k2-123+4k2，AB 中点的横坐标为（x1+x22=4k23+4k2），设直线 OE 的方程为：ykx（k0），由y=kxy=k(x-1) 得：x=kk-k，即xC=kk-k；由y=kxx24+y23=1 得：x2=123+4k2，即xD2=123+4k2；由 xD2=4xC 得：123+4k2=4kk-k，整理可得：k=-34k，xC=kk+34k=4k24k2+3=x1+x22，C 为线段AB的中点，|AC|BC|22（12分）已知函数f（x）（xm）sinx+cosx，x0，54（1）当m2时，讨论f（x
37、）的单调性；（2）若m0，f（x）+1a（x），求a【解答】解：（1）f（x）sinxsinx+（xm）cosx（xm）cosx，若m=2时，则f（x）（x-2）cosx，当x0，54时，f（x）0恒成立，且仅当x=2时等号成立，故此时f（x）在0，54为减函数，无增区间；当0m2时，若0xm，则f（x）0；若mx2，则f（x）0，2x54，则f（x）0，故f（x）在0，m）上为减函数，在m，2）上为增函数，在2，54上为减函数当m0时，若0x2，则f（x）0，2x54，则f（x）0，故f（x）在0，2）上为增函数，在2，54上为减函数（2）m0时，f（x）+1a（x），即为xsinx+cos
38、x+1a（x），因为任意x0，54时，xsinx+cosx+1a（x）恒成立，故g（x）xsinx+cosx+1a（x）0在0，54上恒成立，而g（x）xcosxa，g（）a，若a，在g（x）0，因为g（x）为不间断函数，所以存在0x0，使得x（x0，），总有g（x）0，故g（x）在（x0，）上为减函数，故x（x0，），g（x）g（）0，这与题设矛盾；若a，在g（）0，因为g（x）为不间断函数，所以存在54x0，使得x（，x0），总有g（x）0，故g（x）在（，x0）上为减函数，故x（，x0），g（x）g（）0，这与题设矛盾故a，此时g（x）xcosx+，当0x时，g（x）xcosx+0，当x
39、54时，g（x）xcosx+x（cosx+x），设h（x）cosx+x，则h（x）sinx-x2，因为ysinx，y=-x2在（，54）上均为增函数，故h（x）在（，54）上为增函数，而h（x）0，h（54）=22-16250.8-1625=20-16250，故存在x1（，54）使得x（，x1）时，h（x）0，使得x（x1，54）时，h（x）0，故h（x）在（，x1）为减函数，在（x1，54）上为增函数，故x（，54），总有h（x）maxh（），h（54）max0，-22+450，故当x54时，g（x）0，故g（x）在（，54）上为减函数，在（0，）上为增函数，故g（x）maxg（）0，综上，a第24页（共24页）
