1、2022年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（一模）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1（5分）集合y|ysinx（）ARBx|1x1Cx|0x1Dx|x02（5分）若曲线yex1+lnx在点（1，1）处的切线与直线ax+y0平行，则a（）A1B1C2D23（5分）已知sinx4=33，则cosx（）A-79B-13C13D794（5分）2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，
2、发射取得圆满成功火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：dB）与声强x（单位：W/m2）满足d（x）10lgx10-12若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（）A130dBB140dBC150dBD160dB5（5分）已知函数f(x)=2x-12x+lgx+33-x，则（）Af（1）+f（1）0Bf（2）+f（2）0Cf（1）f（2）0Df（1）+f（2）06（5分）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众衡阳市某中学为了弘扬我国
3、二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）A192B240C120D2887（5分）设抛物线C：y24x的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得|AP|+|PF|的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）A（4，2）B（4，4）C（3，3）D（3，4）8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足B1P=xB1A+yB1C+zB1D1，且x+y+z1，若二面角B1PD1C的大小为3，O为ACD
4、1的中心，则sinPD1O（）A36B66C33D63二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）复数zx+yi，x，yR，xy0，则下列选项一定正确的是（）Az+zRBz-zRCzzRDzzR（多选）10（5分）下列选项中，与“x2x”互为充要条件的是（）Ax1B2x22xC1x1D|x（x1）|x（x1）（多选）11（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B若FA=2AB，则下
5、列说法正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为y2xB双曲线C的离心率为3C点A到两渐近线的距离的乘积为b23DO为坐标原点，则tanAOB=24（多选）12（5分）数列an满足，a1a，2an+1anan+11，则（）A数列an可能为常数列B当a0时，数列1an-1前10项之和为55C当a=1311时，an的最小值为13D若数列an为递增数列，则a1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知a=（3，4），b=（2，x），若ab，则|b|= 14（5分）已知x0，y0，x+4x=4y-y2，则x+2y= 15（5分）已知点A（3，1），点P在圆x2+y21上，则直线AP倾
6、斜角的最大值为 16（5分）已知函数f(x)=sinx+3|cosx|，写出函数f（x）的一个单调递增区间 ；当x0，a时，函数f（x）的值域为1，2，则a的取值范围是 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=5，c1（1）求sinA，sinB，sinC中的最大值；（2）求AC边上的中线长18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a13，Sn1+an+1（1）证明：数列Sn1为等比数列；（2）记数列1Sn的前n项和为Tn，证明：Tn119（12分）如图，正四面体ABCD，E
7、为AB的中点（1）证明：平面ECD平面ABC；（2）若CM=23CA，求EM与平面ACD所成角的正弦值20（12分）甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的运动员积3分，负者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为13（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率21（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F、过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直
8、线AB的方程为y=x-22时，直线AB过椭圆的一个顶点（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知点M(2，0)，若|MA|2|MB|，求直线AB的斜率22（12分）已知函数f(x)=ex-1x-kx-1（1）若k1，求f（x）在（0，+）上的单调性；（2）试确定k的所有可能取值，使得存在t0，对x（0，t），恒有|f（x）|x22022年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1（5分）集合y|ysinx（）ARBx|1x1Cx|0x1Dx|x0【解答】解：集合y|ysinxx|1
9、x1故选：B2（5分）若曲线yex1+lnx在点（1，1）处的切线与直线ax+y0平行，则a（）A1B1C2D2【解答】解：f（x）ex1+lnx的导数为f（x）ex1+1x，可得曲线在点（1，1）处的切线斜率为k1+12，由切线与直线ax+y0平行，可得ka，即a2，解得a2，故选：C3（5分）已知sinx4=33，则cosx（）A-79B-13C13D79【解答】解：因为sinx4=33，所以cosx2=12sin2x4=12（33）2=13，所以cosx2cos2x2-12（13）21=-79故选：A4（5分）2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载
10、火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：dB）与声强x（单位：W/m2）满足d（x）10lgx10-12若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（）A130dBB140dBC150dBD160dB【解答】解：设交谈时的声强为x，则5010lgx10-12，x107，所以火箭发射时的声强为：107109102，故火箭发射时声强级为：d（x）10lg10210-12=140，故选
11、：B5（5分）已知函数f(x)=2x-12x+lgx+33-x，则（）Af（1）+f（1）0Bf（2）+f（2）0Cf（1）f（2）0Df（1）+f（2）0【解答】解：根据题意，函数f(x)=2x-12x+lgx+33-x，由x+33-x0，解得3x3，即函数的定义域为（3，3），又f（x）f（x），所以函数f（x）为奇函数，在区间（3，3）上，y2x、y=-12x和ylgx+33-x都是增函数，则函数f（x）在（3，3）上为增函数对于A，函数f（x）为定义域为（3，3）的奇函数，则f（1）+f（1）0，A错误；对于B，函数f（x）为定义域为（3，3）的奇函数，则f（2）+f（2）0，B错误；
12、对于C，f（1）f（2）f（1）+f（2）0，C错误；对于D，f（1）+f（2）f（2）f（1）0，D正确故选：D6（5分）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）A192B240C120D288【解答】解：根据题意不同的放置方式有A55A22-2A44=240故选：A7（5
13、分）设抛物线C：y24x的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得|AP|+|PF|的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）A（4，2）B（4，4）C（3，3）D（3，4）【解答】解：因为抛物线C：y24x，所以F（1，0），准线方程为x1，过P作准线的垂线，垂足为Q，则有|PQ|PF|，所以|AP|+|PF|AP|+|PQ|，当A，P，Q三点共线时，|AP|+|PQ|取最小值为|AQ|xA（1）xA+14，所以xA3，又因为A点必在抛物线内部才满足，（A在抛物线外部时，当A，P，F三点共线时，|AP|+|PF|取最小值为|AF|，此时无选项）故选：C8（5分）在正方体ABCDA1B
14、1C1D1中，点P满足B1P=xB1A+yB1C+zB1D1，且x+y+z1，若二面角B1PD1C的大小为3，O为ACD1的中心，则sinPD1O（）A36B66C33D63【解答】解：设正方体ABCDA1B1C1D1中心为O1，点P满足B1P=xB1A+yB1C+zB1D1，且x+y+z1，P平面ACD1，平面ACD1平面B1PD1PD1，由正方体性质得B1D平面ACD1，且B1D平面ACD1O，作OQD1P于Q，连接OB1，则D1PB1Q，D1POQ，B1QOQQ，D1P面OQB1，B1QO即为B1PD1C的平面角，B1QO=3，设正方体棱长为1，RtB1OQ中，B1O=2312+12+1
15、2=233，OQ=23333=23，在RtOQD1中，OD1=332=63，sinPD1D=OQOD1=63故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）复数zx+yi，x，yR，xy0，则下列选项一定正确的是（）Az+zRBz-zRCzzRDzzR【解答】解：复数zx+yi，x，yR，xy0，即x，y0z+z=x+yi+xyi2xR，z-z=x+yi（xyi）2yiR，zz=（x+yi）（xyi）x2+y2R，zz=x+yix-yi=(x+yi)2(x-yi)(x
16、+yi)=x2-y2x2+y2+2xyx2+y2iR，故选：AC（多选）10（5分）下列选项中，与“x2x”互为充要条件的是（）Ax1B2x22xC1x1D|x（x1）|x（x1）【解答】解：x2x，x0或x1，2x22x，解得x2x，即x0或x1，1x1，1x-10，1-xx0，解得x0或x1，由|x（x1）|x（x1）可得x（x1）0，解得x0或x1，根据充要条件的定义可判断得出：BC选项符合，故选：BC（多选）11（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B若FA=2AB，则下列说法正确的是（）A双
17、曲线C的渐近线方程为y2xB双曲线C的离心率为3C点A到两渐近线的距离的乘积为b23DO为坐标原点，则tanAOB=24【解答】解：设直线FA的方程为y=ba（x+c），与渐近线y=-bax联立可得B（-c2，bca），因为FA=2AB，则A（-2c3，bc3a），将A的坐标代入双曲线的方程：4c29a2-c29a2=1，可得c23a2，可得离心率e=ca=3，所以B正确；所以渐近线的方程为：ybaxc2-a2ax2x，所以A不正确；A到两条渐近线的距离d1d2=|bxA-ayA|bxA+ayA|(a2+b2)2=a2b2c2=a2b23a2=b23，所以C正确；kOA=-b2a=-22，kA
18、B=ba=2，所以kOAkAB1，所以OAAB，|OA|=4c29+b2c29a2=63c，|AB|=(-c2+23c)2+(bc2a-bc3a)2=c23，故tanAOB=|AB|OA|=24，所以D正确；故选：BCD（多选）12（5分）数列an满足，a1a，2an+1anan+11，则（）A数列an可能为常数列B当a0时，数列1an-1前10项之和为55C当a=1311时，an的最小值为13D若数列an为递增数列，则a1【解答】解：a1a，2an+1anan+11，an+1=12-an，an+1-1=12-an-1=1-2+an2-an=an-12-an，对于选项A：当a1时，有2a2a2
19、1，a21，a3=12-a2=1，a4=12-a3=1，类比得数列an为常数列，故选项A正确，对于选项B：当a0时，有1an+1-1=2-anan-1=1an-1-1，数列1an-1是以1a1-1=-1为首项，1为公差的等差数列，数列1an-1前10项之和为10（1）+1092(-1)=-55，故选项B正确，对于选项C：当a=1311时，数列1an-1是以1a1-1=112为首项，1为公差的等差数列，1an-1=112+（n1）（1）=132-n，an=213-2n+11+1132-n，当n7时，an有最小值，a7=213-14+11，故选项C错误，对于选项D：若数列an为递增数列，则由A可知
20、a1，由B可知数列1an-1是以1a1-1=1a-1为首项，1为公差的等差数列，1an-1=1a-1+（n1）（1）=a-an+na-1，an=a-1a-an+n+1=1aa-1-n+11-1n-aa-1，an为递增数列，aa-11，a1，故选项D正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知a=（3，4），b=（2，x），若ab，则|b|=52【解答】解：根据题意，a=（3，4），b=（2，x），若ab，则ab=6+4x0，解可得x=-32，则b=（2，-32），则|b|=4+94=52；故答案为：5214（5分）已知x0，y0，x+4x=4y-y2，则
21、x+2y=3【解答】解：x0，x+4x24=4，当且仅当x2时等号成立，x+4x4，y0，4yy2（y2）2+44，此时y2，x+4x=4y-y2=4，xy2，x+2y=3，故答案为：315（5分）已知点A（3，1），点P在圆x2+y21上，则直线AP倾斜角的最大值为 3【解答】解：设直线AP的斜率为k，倾斜角为，方程为：y-1=k(x-3)kx-y+1-3k=0，当直线AP是圆x2+y21的切线时，有|1-3k|k2+1=1k=0或k=3，所以有0k3，即0tan303，直线AP倾斜角的最大值3，故答案为：316（5分）已知函数f(x)=sinx+3|cosx|，写出函数f（x）的一个单调递
22、增区间 -2，6；当x0，a时，函数f（x）的值域为1，2，则a的取值范围是 2，76【解答】解：当-2+2kx2+2k，kZ时，f（x）sinx+3cosx2sin（x+3），当2+2kx32+2k，kZ时，f（x）sinx-3cosx2sin（x-3），令-2x+32得-56x6，故函数f（x）的一个单调递增区间为-2，6；由正弦函数的性质可知，f（x）在0，6上单调递增，在6，2上单调递减，当x0，2时，f（x）1，2且f（0）=3，f（2）1，令-2x-32，得-6x56，所以f（x）在2，56上单调递增，函数的值域为1，2，令2x-332，得56x116，所以f（x）在56，32上单
23、调递减且f（76）1，因为x0，a时，函数f（x）的值域为1，2，所以2a76，综上，2a76故答案为：-2，6，2，76四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=5，c1（1）求sinA，sinB，sinC中的最大值；（2）求AC边上的中线长【解答】解：（1）因为521，所以bac，可得sinBsinAsinC，由余弦定理可得cosB=(2)2+12-(5)2221=-22，又B（0，），所以B=34，可得sinB=22（2）设AC边上的中线为BD，则BD=12（BA+BC）
24、，所以（2BD）2（BA+BC）2c2+a2+2accosB12+（2）2+212cos34=1，所以|BD|=12，即AC边上的中线长为1218（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a13，Sn1+an+1（1）证明：数列Sn1为等比数列；（2）记数列1Sn的前n项和为Tn，证明：Tn1【解答】证明：（1）因为Sn1+an+11+Sn+1Sn，即Sn+12Sn1，所以Sn+112（Sn1），故数列Sn1为等比数列（2）因为a13，所以S11312，由（1）知，数列Sn1是首项2，公比为2的等比数列，所以Sn122n12n，即Sn2n+1，所以1Sn=12n+112n，故Tn121+122+
25、12n=12(1-12n)1-12=1-12n1，得证19（12分）如图，正四面体ABCD，E为AB的中点（1）证明：平面ECD平面ABC；（2）若CM=23CA，求EM与平面ACD所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：E为AB的中点ACBC，ADBD，ECAB，DEAB，ECDEE，EC，DE平面ECD，AB平面ECD，AB平面ABC，平面ECD平面ABC；（2）设AB=a，AC=b，AD=c，设正四面体ABCD的边长为1，则则|a|b|c|1，ab=12，则ac=12，则cb=12，设平面ACD的法向量为m=xa+yb+zc，则mb=（xa+yb+zc）b=0，12x+y+12z0，mc=
26、（xa+yb+zc）c=0，12x+12y+z0，由令x1，可得yz=-13，平面ACD的法向量为m=a-13b-13c，|m|a-13b-13c|=a2+19b2+19c2-2312-2312+2912=23，CM=23CA，AM=13b，E为AB的中点AE=12a，又EM=AM-AE=13b-12a，mEM=（a-13b-13c）（13b-12a）=16-19-118-12+112+112=-13，又|EM|=19b2-1312+14a2=76，EM与平面ACD所成角为则sin|cosm，EM|=|mEM|m|EM|=137623=427EM与平面ACD所成角的正弦值为42720（12分）
27、甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的运动员积3分，负者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为13（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率【解答】解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=(23)3+C3113(23)223=1627，P(X=1)=C42(13)2(23)223=1681，P(X=2)=C42(13)2(23)213=
28、881，P(X=3)=(13)3+C32(13)22313=19，X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1627 1681 881 19数学期望 E(X)=01627+11681+2881+319=5981；（2）记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件M，设第i场甲、乙两名运动员积分分别为Xi，Yi，则Xi3Yi，i1，2，因两名运动员积分相等，X1+X2Y1+Y2，即X1+X2（3X1）+（3X2），则X1+X23，P（M）P（X10）P（X23）+P（X11）P（X22）+P（X12）P（X21）+P（X13）P（X20）=162719+1681881+8811681+1916
29、27=1120656121（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F、过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为y=x-22时，直线AB过椭圆的一个顶点（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知点M(2，0)，若|MA|2|MB|，求直线AB的斜率【解答】解：（1）因为过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为y=x-22时，直线AB过椭圆的一个顶点可得cb=22，所以a2c2+c2=12+12=1，所以椭圆的方程为：x2+y212=1；（2）由题意可得直线AB的斜率不为0，设方程为xmy+22，设A（x1，y2），B（x2，y2），联立x=my+22x2+2
30、y2=1，整理可得：（2+m2）y2+2my-12=0，可得2m24（2+m2）（-12）0恒成立，y1+y2=2m2+m2，y1y2=-12(2+m2)，因为kAM+kBM=y1x1-2+y2x2-2=y1(my2-22)+y2(my1-22)(my2-22)(my1-22)=2my1y2-22(y1+y2)(my2-22)(my1-22)=2m-12(2+m2)-22-2m2+m2(my2-22)(my1-22)=0，所以x轴平分AMB，由y1y20，|MA|2|MB|可得y12y2，由可得y2=-2m2+m2，y1=22m2+m2，可得-2m2+m222m2+m2=-12(2+m2)，解
31、得m2=27，所以直线的斜率满足k2=72，即直线的斜率为14222（12分）已知函数f(x)=ex-1x-kx-1（1）若k1，求f（x）在（0，+）上的单调性；（2）试确定k的所有可能取值，使得存在t0，对x（0，t），恒有|f（x）|x2【解答】解：f（x）=(x-1)(ex-x-1)x2，构造函数g（x）exx1，x0时，g（x）ex10，g（x）单调递增，g（x）g（0）0，故x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减（2）依题对x（0，1），有ex-1x-kx-1x2ex-1x-kx-1-x2x3+kx2+x+1ex-1
32、0-x3+kx2+x+1ex-10，记h（x）=x3+kx2+x+1ex-1，h（x）=x-x2+(3-k)x+2k-1ex，记k（x）=-x3+kx2+x+1ex-1，k（x）=xx2-(3+k)x+2k-1ex，若k12，存在t1=3-k-k2+2k+132，在x（0，t1），h（x）0，h（x）单调递减，h（x）0，矛盾；若k12，存在t2=k+3-k2-2k+132，在x（0，t2），k（x）0，h（x）单调递增，k（x）0，矛盾；若k=12，h（x）=x2(-x+52)exk（x）=x2(x-72)ex，当x（0，1）时，h（x）单调递增，k（x）单调递减，k（x）0h（x），综上可得：k=12第17页（共17页）
