1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角OBAC平分线。平分线。OBACAOC =BOCAOB =2AOC =2BOCAOBC（对折）（对折）在在ADC和和 ABC中，中，AD= ABAC=ACDC=BCADC ABC（SSS） DAE=DAE= 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCENOMCENM. .分别以分别以, ,为
2、圆心为圆心. .大于大于 的长为半径作的长为半径作弧两弧在弧两弧在AOBAOB的内部的内部交于交于21作法：作法：以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于.画射线画射线OC射线即为所求射线即为所求 已知:AOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC. 1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线
3、上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。ABOCD (1)实验：将实验：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2) (2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. .证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和P
4、EO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边（全等三角形的对应边相等）相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE(3)验证猜想验证猜想(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质： 利用此性质怎利用此性质怎样书写推理过程样书写推理过程?(几何符号语言）几何符号语言） 1= 2, PD OA，
5、 PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121= 2,PD OA ，PE OBPD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等法相比，运用此性质不需要先证两个三角形
6、全等问问: :角的平分线的性质的作用是什么？角的平分线的性质的作用是什么？ OABED思考：思考：1.如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角平它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离分线上任一点到这个角两边的距离,所所以不一定相等以不一定相等2 2 、 如 图、 如 图 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 线的 平 分 线 , , 点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,P
7、D=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC4练习练习3 3、如图，、如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB，ADAD为为BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：DBEDBE的周长等于的周长等于ABAB。ABCDE例例1:1:如图，在如图，在ABCABC中，中，CC900900，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于点于点DD，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，则点，则点DD到到ABAB的距离为？的距离为？A AC CD DB BE EE例例3 3：在：在OABOAB中，中，OEOE是是 AO
8、B AOB的角平分线，的角平分线，且且EA=EBEA=EB，ECEC、EDED分别垂直分别垂直OAOA，OBOB，垂足，垂足为为C C，DD，求证：，求证：AC=BDAC=BD。O OA AB BE EC CD DA A0 0B BM MN NP PC C1 1、如图，、如图，OCOC平分平分AOBAOB， PMOB PMOB于点于点MM，PNOAPNOA于点于点N N， POMPOM的面积为的面积为6 6，OM=6OM=6，则则PN=_PN=_。2思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建
9、在何处？路的交叉处米，应建在何处？（比例尺（比例尺 1：20 000）s公路铁路DCs公路铁路 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们首先我们 想到的是要证它们所在的两个想到的是要证它们所在的两个 三角形全等三角形全等, 即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再
10、用HL证明证明.试试自己写证试试自己写证明。你一定行明。你一定行！证明证明: AD平分平分C, D是是AD上一点（已知）上一点（已知） 如图：在如图：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBDEAB,DCAC（已知）（已知）在在RTCDF和和RTBDE 中中 BD=DF （已知）（已知） DC=DE（已证）（已证）RT CDF RTFDB (HL)CFB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）ACDEBFDCD(角平分线的性质）角平分线的性质）例例2 2：如图，：如图，ABCABC的角平分线的角平
11、分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P P。求证：点。求证：点P P到三角形三边的距离均相等。到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村路围成的一块平地上修建一个度假村. .要使这个度要使这个度假村到三条公路的距离相等假村到三条公路的距离相等, ,应在何处修建？应在何处修建？练习练习1：如图，的：如图，的的外的外角的平分线与角的平分线与的外角的平的外角的平分线相交于点求证：点分线相交于点求证：点到三边，所在直线到三边，所在直线的距离相等的距离相等F FGH3.在在RtABC中
12、，中，BD平分平分ABC， DEAB于于E，则：，则：图中相等的线段有图中相等的线段有 ;相等的角有：相等的角有： 。哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBABE=BC,DE=DCABD= CBDBED= AED= C6810知识拓展知识拓展 如图，在如图，在ABC中，中，AC=BC，C=90，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，垂足为，垂足为E。（1）已知）已知CD=4cm，求，求AC的长；的长；（2）求证：）求证：AB=AC+CDBACDE练习练习2： 如图如图,求作一点求作一点P,使使PC=PD,并且点并且点P到到AOB的的两边的距离相等两边的距离相等. CDABOP
