1、二次函数复习二次函数复习 （一）形如y = ax 2(a0) 的二次函数 二次函数二次函数 开开 口口 方方 向向 对对 称称 轴轴 顶顶 点点 坐坐 标标 y = ax 2 a 0a 0 向上向上向下向下直线X=0(0,0)（二）（二）形如y = ax 2+k(a0) 的二次函数二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = ax 2+k a 0 向上向上a 0向下向下直线X=0（0，K）二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = a（x + h) 2 a 0 a 0 向上向上向下向下直线直线X=-h（-h-h，0 0）（三）、形如（三）、形如y
2、= a (x + h) 2 ( a0 ) 的二次函数的二次函数(四四) 形如形如y = a (x+h) 2 +k (a 0) 的二次函数的二次函数二次函数开口方向对称轴顶点坐标y = a（x+h) 2+k 向上 向下a 0 a 0直线X=-h（-h，k）练习巩固练习巩固（1）抛物线 y = 2 (x ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。 上上X=（，（，1） 2、已知二次函数、已知二次函数y=- x2+bx-5的图象的的图象的顶点在顶点在y轴上，则轴上，则b=_。120-1-2-3
3、-401234123456-1-2观察观察y=xy=x2 2与与y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的函数图象，说说的函数图象，说说y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的的图象是怎样由图象是怎样由y=xy=x2 2的图象平移得到的？的图象平移得到的？y=xy=x2 2-6x+7-6x+7=x=x2 2-6x+9-2-6x+9-2=(x-3)=(x-3)2 2-2-2平移规律：平移规律：h决定左右决定左右左正右负左正右负K决定上下决定上下上正下负上正下负2.一般二次函数一般二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象特点和函数性质的图象特点和函数性质(1)是一条抛物线；是一条抛物线；(2)对
4、称轴是对称轴是:x=-(3)顶点坐标是顶点坐标是:(- , )(4)开口方向开口方向: a0时时,开口向上；开口向上； a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而增大的增大而增大 。 a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而减小的增大而减小 。 （2） a0时，时，ymin= a0a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0
5、ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00 x=-b2a 例例1:已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值的最大值是是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象上，并且图象经过点（经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解
6、析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x例例2： 已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？23212xxy 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，
7、对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:（1）a= 0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）121212 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于
8、A、B两点，求两点，求C， A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解: (2)由由x=0，得，得y= - -抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画
9、出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何
10、值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD ：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，
11、为何值时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小; 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，
12、y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知由图象可知(6) 当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0综合创新综合创新: :1.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形状相同形状相同, ,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离轴的距离 为为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式.
13、.解解: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状的形状 相同相同 a=1a=1或或-1-1 又又顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5, 顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式为所以其解析式为: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-
14、(x-1)2 2-5-5 2.2.若若a+b+c=0,aa+b+c=0,a 0,0,把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下向下平移平移4 4个单位个单位, ,再向左平移再向左平移5 5个单位所到的新个单位所到的新抛物线的顶点是抛物线的顶点是(-2,0),(-2,0),求原抛物线的解析式求原抛物线的解析式. .分析分析: :(1)(1)由由a+b+c=0a+b+c=0可知可知, ,原抛物线的图象经过原抛物线的图象经过(1,0)(1,0)(2) (2) 新抛物线向右平移新抛物线向右平移5 5个单位个单位, , 再向上平移再向上平移4 4个单位即得原抛物线个单位即得原抛物线答
15、案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-5把（把（-2,0 ）向右）向右平移平移5个单位，再向上个单位，再向上平移平移4个单位即得个单位即得原抛物线的顶点原抛物线的顶点（3，4 ） 3 3、已知抛物线、已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴正、负半轴分别轴正、负半轴分别交于交于A A、B B两点，与两点，与y y轴负半轴交于点轴负半轴交于点C C。若。若OA=4OA=4，OB=1OB=1，ACB=90ACB=90，求抛物线解析式。，求抛物线解析式。解：解： 点点A在正半轴，点在正半轴，点B在负半轴在负半轴OA=4，点点A（4，0）OB=1， 点点B（-1，0
16、） ACB=90 BOC=COA,CAO+OCA=900,OCA+BCO=900 CAO=BCO COOC=2，点，点C（0，-2）ABxyOC223212xx由题意可设由题意可设ya（x）（）（x）得：）得：a（）（）（）（） a. y.（x）（）（x）（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为 （50+x）元）元 个个（2）一个商品所获利）一个商品所获利可以表示为可以表示为（50+x-40）元）元（4）共获利）共获利可以表示为可以表示为解解：=- 10（x-20）2 +90005:如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆
17、，围成中间隔有二米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解解： (1) AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为24米米 花圃另一边为（花圃另一边为（244x）米）米 (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米 (2)
18、当x 时，S最大值 36（平方米）32ababac442 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 8 4x0时，图像位于第一、三象限时，图像位于第一、三象限K0时，在图象所在的每一象限内时，在图象所在的每一象限内, y随随x的增大而增大的增大而增大K0时，在图象所在的每一象限内时，在图象所在的每一象限内, y随随x的增大而减小的增大而减小关于原点对称关于原点对称xky y=kxy=kx-1-1xy=kxy=k待定系数待定系数法法描点法描点法例例1 1、已知反比例函数、已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点A A（1 1，4 4）y =xk（1 ）求此）求此反比例函数反比例
19、函数 的解析式；的解析式； 画出图像；画出图像； 并判断点并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。）是否在此函数图像上。（2）根据图像得，）根据图像得，若若y 1, 则则x的取值范围的取值范围-若若x 1，则，则y的取值范围的取值范围-1A(1,4)yxoB4（3）若点（）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),均在此函数均在此函数图像上，且图像上，且x1 0 x2 x3请比较请比较y1、y2、y3的大小的大小（5）若）若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，过的三个点，过D、E、F分别作分别作x轴的垂线，垂足分别轴的垂线，垂足分别
20、为为M，N、K，连接，连接OD、OE、OF，设，设 ODM、OEN、 OFK 的面积分别为的面积分别为S1、S2、S3，则下列，则下列结论成立的是结论成立的是 ( ) A S1S2 S3 B S1S2 S3 C S1 S3 S3 D S1=S2=S3yxoDEFMNKA（1，4）（7）连）连OA、OB，设点，设点C是直线是直线AB与与y轴的交点轴的交点, 求三角形求三角形AOB的面积的面积;yxoBA(1,4)14（-4,-1）（8）当）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;（9 9）在）在x x轴上找一点轴上找一点P P，使，使PAPAPCPC最短
21、，求点最短，求点P P的坐标的坐标. .(6)求经过点求经过点A、B的一次函数的解析式的一次函数的解析式;Cy21x0y1y2 题型一题型一解题要点:利用图像比较大小时更加直观。21yy 01a的增大而减小随着在同一象限内xy,2121yy 利用图像利用图像利用反比例函数的增减性利用反比例函数的增减性y0 xBA 题型二题型二D解题要点：解题要点：正、反比例函数图像的交点关于原点对称。正、反比例函数图像的交点关于原点对称。 题型三题型三BKS21三角形kyxS矩形yx0PACDEFAPOPSAOP21xyyx2121k211.将几何图形的边长用将几何图形的边长用 表示表示,xy2.利用利用K=
22、xy将图形的面积化成含将图形的面积化成含 的代数式的代数式kxy4),(yx,xy),(yx,xy),(yx解题要点:形如下图中图形的面积KS矩形变变1:如图如图,A、B是函数是函数y= 的图象上关于原点对的图象上关于原点对称称 的任意两点，的任意两点，ACy轴，轴，BCx轴，则轴，则ABC的面积的面积S为（为（ ）A）1 B）2C）S2 D)1S2ABCOxyx1B变2:换一个角度： 双曲线 上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式。xky 如图如图K 12k=12先由数（式）到形再由形先由数（式）到形再由形到数（式）的数学思想到数（式）的数学思想12yx
23、图像在第四象限变变3:3:如图，如图，A A、C C是函数是函数 的图象的图象上关于原点上关于原点O O对称的任意两点，过对称的任意两点，过C C向向x x 轴轴引垂线，垂足为引垂线，垂足为B B，则三角形，则三角形ABCABC的面积的面积为为 。xy2考察面积不变性和中心对称性。考察面积不变性和中心对称性。2p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be写在最后Thank You在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Thinking In Other PeopleS Speeches，Growing Up In Your Own Story讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
