1、第六节第六节 曲面曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、柱面和旋转曲面二、柱面和旋转曲面三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影五、五、空间区域在坐标面上的投影空间区域在坐标面上的投影水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念如如果果曲曲面面 与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系： (1) 曲面曲面 上任一点的坐标都满足方程；上任一
2、点的坐标都满足方程； 那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面 的的方方程程，而而曲曲面面 就就叫叫做做方方程程的的图图形形. (2) 不不在在曲曲面面 上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程； 由几何特征确定曲面方程由几何特征确定曲面方程例例 1 1 建立球心在点建立球心在点),(0000zyxM、半径为、半径为 R 的球面方程的球面方程. 2202020Rzzyyxx 特殊地：特殊地：球心在原点时方程为球心在原点时方程为2222Rzyx 例例 2 2 求求与与原原点点 O 及及)4 , 3 , 2(0M的的距距离离之之比比为为1:2 的的点点的的全全体体所所组组成
3、成的的曲曲面面方方程程. .911634132222 zyx例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 07262 zyx研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：(1) 已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面方程；方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面形状已知曲面方程，研究曲面形状.二、柱面与旋转曲面二、柱面与旋转曲面1、柱面、柱面（cylinder）播放播放观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C 移动的
4、直线移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.例如：例如：222)1(Ryx 圆柱面圆柱面 )0(2)2(2 ppyx抛物柱面抛物柱面 1)3(2222 byax椭圆柱面椭圆柱面(4) 平面平面 xy 柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面x12222 byax双曲柱面双曲柱面zpzx22 抛物柱面抛物柱面y 只含只含yx,而缺而缺
5、z的方程的方程0),( yxF，在，在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线 00),(:zyxFC. 母线母线 / 轴轴 母线母线/ 轴轴 母线母线/ 轴轴 例例 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 ,
6、0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程2、旋转曲面（、旋转曲面（surface of revolution）定义定义 平面上的曲线平面上的曲线C C绕该平面上的一条定绕该平面上的一条定直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面曲面称为旋转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴,曲线曲线C称为称为母线母线.播放播放例如：球面例如：球面1222 zyxxozy0),( zyf), 0 (11zyM ),(zyxM, ),(zyxM在在曲曲面面上上任任取取点点22yxd ,0
7、),(1221 zyfyxy代入代入将将,0),(11 zyfM 满足满足点点d点点M到到z轴的距离轴的距离|1y C,0),(, zyfyozC方程为方程为面上的一条曲线面上的一条曲线为为设设.的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程轴旋转一周而得轴旋转一周而得绕绕求求zC, 0),(22 zyxf得方程得方程 yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕绕z轴旋转一周轴旋转一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程. yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 z 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 00),(xzyf. 0),(22 zyxf yoz 坐标面上的
8、已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 y 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 00),(xzyf. 0),(22 zxyf. 0),(22 yzxfxoy坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线 0, 0),(zyxf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程: . 0),(22 zyxfxoy坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0, 0),(zyxf绕绕x轴旋转一轴旋转一周的旋转曲面方程周的旋转曲面方程: 0),(22 zyxfzox坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线 0, 0),(yzxf绕绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程: . 0),(22
9、 zyxfzox坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0, 0),(yzxf绕绕x轴旋转一轴旋转一周的旋转曲面方程周的旋转曲面方程: 例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双曲线）双曲线12222 czax分别绕分别绕 x 轴和轴和 z 轴；轴； 绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面双叶双曲面双叶双曲面zyxO单叶双曲面单叶双曲面 xyoz122222 czyax122222 czayx（2）椭圆）椭圆
10、012222xczay绕绕 y 轴和轴和 z 轴；轴； 绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面ozyx（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕 z 轴轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面zxyoxyzo0 p0 p例例5 5 下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，若是，指明其是如何形成的若是，指明其是如何形成的.1)1(22 zyx1)2(2 zyx给出一个方程也要会判断它是否表示旋转给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面面, 及旋转曲面是如何形成的及旋转曲面是如何形成的.例例 6 6 直线
11、直线 L 绕另一条与绕另一条与 L 相交的直线旋转一相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫周，所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫两直线的交点叫圆锥面的圆锥面的顶点顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 20叫叫圆锥面的圆锥面的半顶角半顶角 xozy), 0(111zyM ),(zyxMoxzy 试建立顶点在坐标原点，试建立顶点在坐标原点， 旋转轴为旋转轴为 z 轴，半顶角轴，半顶角 为为 的圆锥面方程的圆锥面方程 xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为(0),tan()=cot2zky kk其中), 0(111zyM ),(zyxM绕绕z轴旋转，故圆锥面方程为轴旋转，故圆锥面方程为oxz
12、y )(2222yxkz cot k圆锥面圆锥面222zyx 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上（不在曲线上的点曲线上（不在曲线上的点不能同时满足两个方程）不能同时满足两个方程）.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，
13、表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图. )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间
14、，运动到时间，运动到M点点 例例 4 4 如果空间一点如果空间一点 M 在圆柱面在圆柱面 x2+y2=a2上上以角速度以角速度 绕绕 z 轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度 v沿平行于沿平行于 z 轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中 、v 都都是常数），那么点是常数），那么点 M 构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋螺旋线线试建立其参数方程试建立其参数方程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为
15、 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF如何将曲线如何将曲线 的一般的一般方程：方程： ( (* *) )化为参数方程？化为参数方程？(1) (1) 先从一般方程先从一般方程( (* *) )中消去某个变量，比如中消去某个变量，比如z，得方程得方程H( (x, ,y)=0)=0，写出该方程在，写出该方程在xOy面的参数方程面的参数方程x= =x( (t) )，y= =y( (t).).再把再把x
16、= =x( (t) )，y= =y( (t) )代入代入( (* *) )中的某中的某个方程解出个方程解出z= =z( (t) )，最后在确定，最后在确定t的变化区间，就得的变化区间，就得到了曲线的参数方程到了曲线的参数方程. . 01222zyxzyx例例5 5、把曲线、把曲线 用参数方程表示用参数方程表示. .(2) (2) 在一些特殊情形，在一些特殊情形，( (* *) )中的某个方程是不完中的某个方程是不完全三元方程全三元方程( (即方程中缺了一个未知量即方程中缺了一个未知量) )，则可先，则可先将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入( (*
17、*) )中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程. . 1122zyxyx例例6 6、将曲线、将曲线 化为参数方程化为参数方程. . 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线曲线 对对 xOy面面的的投影柱面投影柱面设空间曲线设空间曲线 的一般方程为：的一般方程为：投影柱面的投影柱面的特征特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线以空间曲线 为准线，母线垂直于为准线，母线垂直于 xOy 面的柱面的柱面叫做
18、面叫做曲线对曲线对 xOy 面面的的投影柱面投影柱面 00),(zyxH空间曲线空间曲线 在在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线投影曲线的研究过程的例子投影曲线的研究过程的例子 .空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面0),( zyR0),( zxT曲线曲线 在在 yoz 面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：曲线曲线 在在 zox面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线： 00),(xzyR 00),(yzxT类似地：可定义空间曲线类似地：可定义空间曲线 ： 在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线. 0),(0),(zyxGzyxF
19、 xzyxz22:22 例例1 求曲线求曲线 在在 xoy 面的投影柱面面的投影柱面 及投影曲线方程及投影曲线方程. . 1)1()1(1:222222zyxzyx 例例2 求曲线求曲线 在在 xoy 面及面及 yoz 面的投影曲线方程面的投影曲线方程. . 0162222222zyxzyx例例3以曲线以曲线 为准线为准线, 母线平母线平 行于行于z 轴的柱面方程轴的柱面方程. .例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影
20、为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z例例 5 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面02 zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. 截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲
21、面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面五、空间区域在坐标面上的投影五、空间区域在坐标面上的投影例例1.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影曲曲线线为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy . 0, 122zyx求两曲面所围立体求两曲面所围立体(即空间区域即空间
22、区域)在坐标面在坐标面的投影区域的一般方法：的投影区域的一般方法： (1) 求两曲面的交线方程在坐标面的投影求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程，柱面方程， (2) 将将(1)中所得方程与坐标面方程联立，得中所得方程与坐标面方程联立，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程，两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程， (3) 投影曲线在坐标面所围成的闭区域投影曲线在坐标面所围成的闭区域. 022xzyz2 z8 z xoyD例例2 求由曲线求由曲线 绕绕 轴旋转一周而成轴旋转一周而成的的曲面曲面 夹在平面夹在平面 与平面与平面 之间的之间的部分在部分在 面的投影区域面的投影区域 . . 例例
23、3 求上半球求上半球2220yxaz与圆柱体与圆柱体)0(22aaxyx的公共部分在的公共部分在XOY面和面和XOZ面上的投影。面上的投影。解：解：曲面曲面axyxyxaz22222,的交线在的交线在XOY面上的投影为面上的投影为022zaxyx所围立体在所围立体在XOY面上的投影为面上的投影为axyx22由由222222xaxyzxay消去消去y，可得，可得交线在交线在XOZ面上的投影为：面上的投影为：022yaxaz因此，所围立体在因此，所围立体在XOZ面上的投影为：面上的投影为：0,02xaxaza 2222azyx 22axyx .xyozz = 0axyzo。22raz 。 cosa
24、r 。D 1.六、小结六、小结1、曲面方程的概念、曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF2、空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线的一般方程、参数方程 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx3、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面 和投影直线和投影直线 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT思考题思考题1方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题思考题2 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱
25、面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.思考题思考题1解答解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.思考题思考题2解答解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次
26、曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyx1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacb
27、a,(为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 z2. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 虚
28、轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 0(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在
29、平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P316 )xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面三
30、元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax机动 目录 上页 下页 返回 结束 5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1. 指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P318 题3 , 10机动 目录
31、上页 下页 返回 结束 题题10 答案答案: 在 xoy 面上 ;194) 1 (22轴旋转一周绕椭圆xyx;19)2(22轴旋转一周绕双曲线yyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyoz作业作业 P318 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11第四节 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲面曲面zyx10922 与与yoz平面的交线是平面的交线是_；2 2、 通过曲线通过曲线162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程是轴的柱面方程是_；3 3、 曲线曲线01,
32、0332322 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程组方程组 3215xyxy在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_；5 5、 方程组方程组 319422yyx在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_ _ _，在空间解析几何中表示，在空间解析几何中表示_；练练 习习 题题6 6 、旋转抛物面、旋转抛物面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面的投影为面的投影为_， 在在yoz面的投影为面的投影为_， 在在zox面上的投影为面上的投影为_._.二、二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：画出下列曲线在第一卦限的图形：1 1、 0422yxyx
33、z2 2、 222222azxayx三三、 将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数数方方程程四、四、 求螺旋线求螺旋线 bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程的直角坐标方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、两直线的交点、两直线的交点, ,两
34、平面的交线；两平面的交线；5 5、椭圆与其一切线的交点、椭圆与其一切线的交点, ,椭圆柱面椭圆柱面19422 yx与与其切平面其切平面3 y的交线；的交线；6 6、4, 4, 42222 zxzyyx. .练习题答案练习题答案三、三、 tztytxsin3cos23cos23, ,)20( t. .四、四、 0222zayx, , 0arcsinxaybz, , 0arccosyaxbz. .五、五、0, 0,;2222 zxaaxzaxyx. .定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成
35、的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准
36、线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观
37、察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直
38、线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面
39、称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动
40、直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为
41、旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的
42、曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一
43、周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面
