1、八年级数学 第十三章 轴对称等腰三角形的判定等腰三角形的两个底角有什么关系？等腰三角形的两个底角有什么关系？等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等（简写成（简写成 “ ”） AC=AB（已知）（已知） （ ）等边对等角等边对等角反过来：如果反过来：如果B=C那么那么AB=AC成立吗？成立吗？大胆猜想：大胆猜想： 成立ABC怎样进行验证？B=等边对等角等边对等角C已知：已知：D方法一：作方法一：作BC边上的高边上的高AD方法二：作方法二：作A的角平分线的角平分线AD方法三：方法三：“作作BC边上的中线边上的中线AD”可行吗？可行吗？在在ABC中，中， B=C，求证：求证： AB=AC 不行
2、不行!ABC这两个角所对的边也相等。这两个角所对的边也相等。已知已知等角对等边等角对等边如果一个三角形有两个角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么那么 在在ABCABC中，中， ABC B=C ( ) B=C ( ) AC= AC= ( )( )归纳总结 AB那么这个三角形是等腰三角形那么这个三角形是等腰三角形简写成简写成 “等角对等边等角对等边”等腰三角形的性质与判定有区别吗等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是性质是:等边等边 等角等角判定是判定是:等角等角 等边等边注意：使用这个两个定理的前提注意：使用这个两个定理的前提是角和边要在同一个三角形中是角和边要在同一个三角形中交换位置交换位
3、置性质：等腰三角形的两底角相等性质：等腰三角形的两底角相等 （简写成（简写成 “等边对等角等边对等角”） 判定：判定： 有两角相等的三角形是等腰三角形有两角相等的三角形是等腰三角形 （简写成（简写成 “等角对等边等角对等边”） 题设和结论题设和结论 如图,下列推理正确吗? 1=2 DC=BCABCD21（等角对等边）（等角对等边）错，因为错，因为1和和2 不是同一个三角形的内角。不是同一个三角形的内角。（已知）（已知）例例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。ABCDE
4、12已知：已知： 如图，如图，CAE是是 ABC的外角，的外角， AD平分平分CAE ，ADBC。求证：求证：AB=AC分析：分析：从求证看：要证从求证看：要证AB=AC，从已知看：由从已知看：由AD平分平分CAE 所以可以设法找出所以可以设法找出B，C与与1 ， 2的关系。的关系。B=C需证需证由由ADBC可以得到可以得到 B=1C= 2所以所以B=C 得到得到 1=2证明：证明：ADBCADBCABCDE121= 1= （ ） 1=2( ) 1=2( )C=C= AB= AB=两直线平行，两直线平行， 同位角相等同位角相等(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)2= 等角对等边等角
5、对等边 角等边等判定例例2.已知：已知： AD平分平分CAE ，ADBC。 AD平分平分CAE求证：求证：AB=AC角平分线的定义角平分线的定义 等量代换等量代换 BBCB( )B( )AC( )AC( ) 例题拓展例题拓展 已知：已知：CAECAE是是ABCABC的外角，的外角， ，且，且 ADBC ADBC 求证：求证：AD平分平分EAC AB=AC证明：证明： AB=AC AB=AC B=C B=C（ ） ADBC ADBC 1=B 1=B ( ( ) ) 2=C 2=C ( ( ) ) 1=2 1=2 ( )( )即即 AD AD平分平分CAE CAE ( )( )ABCDE12等边对
6、等角等边对等角两直线平行，两直线平行， 同位角相等同位角相等两直线平行，内错角相等 等量代换等量代换角平分线的定义角平分线的定义 D C A B 0如图，如图，OA=OB， ABDC，求证：求证：OC=OD.分析：分析： (1)从求证看：从求证看：要证要证 OC=OD需证需证D=C(2)从已知看：从已知看：由由OA=OB 得到得到 B=A由由ABDC得到得到D= BC= A所以：所以：D=COA=OB A=B（ ） ABDC A= B= C=D OC=OD（ ） D C A B 0如图，如图，OA=OB， ABDC，求证：求证：OC=OD.证明：证明： CD（两直线平行，内错角相等）（两直线平
7、行，内错角相等）角等边等（等量代换）（等量代换）等角对等边等角对等边等边对等角等边对等角 D C A B 0如图：如图：求证：求证：OA=OB，OC=OD. ABDC，如图，如图，OA=OB， ABDC，求证：求证：OC=OD.你能否设计一个变你能否设计一个变式题目式题目?怎样设计？怎样设计？ 变式一变式一 D C A B 0如图：如图：求证：求证：OA=OB，OC=OD. ABDC，如图，如图，OA=OB， ABDC，求证：求证：OC=OD.如图，如图，OC=OD， ABDC，求证：求证：OA=OB 变式一变式一 变式二变式二例例3 已知：已知： BD平分平分ABC ， ADBC 。 求证：
8、求证： AB=ADABCD123证明：证明： BD平分平分ABC 1 = 2（ ）角平分线的定义角平分线的定义 ADBC 1 = 3（ ） 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 2= 3（ ）等量代换等量代换 AB=AD（ ）等角对等边等角对等边 （1）一个角的角平分线）一个角的角平分线（2）平行于角的一边的直线）平行于角的一边的直线等腰三角形等腰三角形变式变式1 1：已知：已知：BDBD平分平分ABCABC， AD BC AD BC， 求证：求证：AB=ADAB=ADABCD123ABCD123ABCD123证明：证明： BD BD平分平分ABC ABC 1=2 1=2 AD BC
9、AD BC 1=3 1=3 2=3 2=3 AB=AD AB=ADABCD123E变式变式2 、已知：、已知：BD平分平分ABC， AD BC， 求证：求证：AB=ADABCD123ABCD123E证明：证明： BD BD平分平分ABC ABC 1=2 1=2 AD BC AD BC 1=3 1=3 2=3 2=3 AB=AD AB=ADOABCMN123456变式变式3： 在在ABC中中,OB平分平分ABC， OC平分平分ACB，过，过O点作点作MN BC.（1）图中有没有等腰三）图中有没有等腰三角形？有几个？角形？有几个？MOB231C456NCOB有两个等腰三角形有两个等腰三角形OBMO
10、CNOABCMN123456练习练习 在在ABC中中,OB平分平分ABC， OC平分平分ACB，过，过O点作点作MN BC.（1）图中有没有等腰三）图中有没有等腰三角形？有几个？角形？有几个？（2）线段）线段BM、CN与与MN的长度有什么关系？的长度有什么关系？有两个等腰三角形有两个等腰三角形OBMOCN OM=BM ON=CN MN= MN= MN= MN=OM+ONBM+CNOABCMN123456练习练习 在在ABC中中,OB平分平分ABC， OC平分平分ACB，过，过O点作点作MN BC.（2）线段）线段BM、CN与与MN的长度有什么关系？的长度有什么关系？MN=MN=（3） AMN的
11、周长的周长=AB+AC吗？为什么？吗？为什么？ AMN的周长的周长= AM+MN+AN=AM+=ABBM+CN+AN+AC等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法方法等腰三角形性质与判定等腰三角形性质与判定的区别的区别两边相等两边相等的三角形的三角形两角相等两角相等的三角形的三角形互为逆命题等腰三角形的判定定理是证明等腰三角形的判定定理是证明线段相等的一种重要线段相等的一种重要 的方法的方法ABCABCD123基本模型基本模型变式模型变式模型已知：ABC中，B=C求证：AB=AC证明：证明：经过点经过点A作作ADBC，垂足为，垂足为D.在ABD和ACD中，B=C，1=2AD=AD ABD ACD（ ）AB=AC（ ）ABCD 1= 2=9021AAS全等三角形的对应边相等即：即：ABC是等腰三角形是等腰三角形ABC等腰三角形等腰三角形已知：ABC中，B=C求证：AB=AC：证明：证明：作BAC的平分线AD在ABD和ACD中，B=C 1=2 AD=AD ABD ACD（ ）AB=AC（ ）1ABCD2 1=2AAS全等三角形的对应边相等
