1、第2讲洛伦兹力带电粒子在匀强磁场中的运动知识梳理知识梳理一、洛伦兹力一、洛伦兹力1.洛伦兹力洛伦兹力:磁场对运动电荷运动电荷的作用力叫洛伦兹力。2.洛伦兹力的方向洛伦兹力的方向(1)判定方法:左手定则(2)方向特点:FB,Fv,即F垂直于B和v决定的平面平面。3.洛伦兹力的大小洛伦兹力的大小(1)vB时,洛伦兹力F=0。(=0或180)(2)vB时,洛伦兹力F=qvB。(=90)(3)v=0时,洛伦兹力F=0。二、带电粒子在匀强磁场中的运动二、带电粒子在匀强磁场中的运动1.若vB,带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做匀速直线匀速直线运动。2.若vB,带电粒子仅受洛伦兹力作用,在垂直于磁感线的平
2、面内以入射速度v做匀速圆周匀速圆周运动。1.下列各图中,运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是()答案答案B根据左手定则,A中F方向应向上,B中F方向应向下,故A错、B对。C、D中都是vB,F=0,故C、D均错。B2.两个粒子,带电量相等,在同一匀强磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动()A.若速率相等,则半径必相等B.若质量相等,则周期必相等C.若质量相等,则半径必相等D.若动能相等,则周期必相等B答案答案B两个粒子在同一匀强磁场中运动,则B一定。两个粒子的带电量相等,若速率相等,由半径公式r=分析得知,半径不一定相等,还需要质量相等,半径才相等,故A错误。若质量
3、和电量都相等,由周期公式T=分析得知,周期必定相等,由半径公式r=分析得知,半径不一定相等,故B正确、C错误。粒子的动能Ek=mv2,动能相等,粒子的质量不一定相等,由T=知周期不一定相等,故D错误。mvqB2 mqBmvqB122 mqB3.质量和电荷量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述正确的是()AA.M带负电,N带正电B.M的速率小于N的速率C.洛伦兹力对M、N做正功D.M的运行时间大于N的运行时间答案答案A由左手定则判断得M带负电、N带正电,A正确。由题图可知M、N半径关系为RMRN,由R=可知,vMvN,B错误。因洛伦
4、兹力与速度方向时刻垂直,故不做功,C错误。由周期公式T=及t=T可知,tM=tN,D错误。mvqB2 mqB124.如图所示,一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子(重力忽略不计),经加速电压U加速后,垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中,粒子打到p点,Op=x,能正确反映x与U之间关系的是()A.x与U成正比B.x与U成反比C.x与成正比D.x与成反比UUC答案答案C粒子在电场中加速,离开电场进入磁场的速度由qU=mv2,得v=,粒子进入磁场做匀速圆周运动,有Bqv=m,又R=,得x=,C正确。122qUm2vR2x2B2mUq深化拓展深化拓展考点一考点一对洛伦兹力的理解对洛伦兹力的理解考点二考
5、点二带电粒子做圆周运动的分析思路带电粒子做圆周运动的分析思路考点三考点三带电粒子在有界匀强磁场中的运动带电粒子在有界匀强磁场中的运动考点四考点四带电粒子在有界匀强磁场中运动带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界极值问题的临界极值问题深化拓展深化拓展考点一对洛伦兹力的理解考点一对洛伦兹力的理解1.洛伦兹力和安培力的关系洛伦兹力和安培力的关系(1)洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力,而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现。(2)由F=BILsin推导洛伦兹力表达式。如图所示,设导线中有电流通过时,每个自由电子定向移动的速度都是v,单位体积内自由电子个数为n,每个电子带电荷量
6、为q,则在t时间内通过导体横截面的电荷量Q=nSvtq。导体中电流的微观表达式为I=nqSv。设磁场方向和导线垂直,Qt这段导线受的安培力F安=BIL=BnqSvvt。设这段导线内自由电子总个数为N,则N=nSvt,F安=NqvB,则每个电子受的安培力为洛伦兹力F洛=qvB。当导线中自由电子定向移动速度和磁场方向不垂直时,则F洛=qvBsin。2.洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力与电场力的比较对应力内容项目洛伦兹力F电场力F大小F=qvB(vB)F=qE与速度关系v=0或vB,F=0与速度的有无、方向均无关力的方向与场的方向的关系一定是FB,Fv正电荷受力方向与电场方向相同,负电荷受力方向与电场
7、方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功,也可能不做功力F为零时场的情况F为零,B不一定为零F为零,E一定为零作用效果只改变电荷运动的速度方向,不改变速度大小既可以改变电荷运动的速度大小,也可以改变电荷运动的方向1-1(2013北京理综,24,20分)对于同一物理问题,常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究,找出其内在联系,从而更加深刻地理解其物理本质。一段横截面积为S、长为l的直导线,单位体积内有n个自由电子,电子电荷量为e。该导线通有电流时,假设自由电子定向移动的速率均为v。(a)求导线中的电流I;(b)将该导线放在匀强磁场中,电流方向垂直于磁感应强度B,导线所受安培力大小为F
8、安,导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F,推导F安=F。(注意:解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量,要在解题时做必要的说明)答案答案(a)neSv(b)见解析解析解析(a)设t时间内通过导体横截面的电量为q,由电流定义,有I=neSv(b)每个自由电子所受的洛伦兹力:F洛=evB设导体中共有N个自由电子,则N=nSl导体内自由电子所受洛伦兹力大小的总和F=NF洛=nSlevB由安培力公式,有F安=IlB=neSvlB得F安=FqtneSv tt1-22014北京理综,24(3)经典物理学认为,金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子(即金属原子失去电子后的剩余部分)的碰撞。展开你
9、想象的翅膀,给出一个合理的自由电子的运动模型;在此基础上,求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力的表达式。f答案答案见解析解析解析下述解法的共同假设:所有自由电子(简称电子,下同)以同一方式运动。方法一方法一:动量解法设电子在每一次碰撞结束至下一次碰撞结束之间的运动都相同,经历的时间为t,电子的动量变化为零。因为导线MN的运动,电子受到沿导线方向的洛伦兹力f洛的作用f洛=evB沿导线方向,电子只受到金属离子的作用力和f洛作用,所以f洛t-If=0其中If为金属离子对电子的作用力的冲量,其平均作用力为,则If=tff得=f洛=evB方法二方法二:能量解法设电子从导线的一端
10、到达另一端经历的时间为t,在这段时间内,通过导线一端的电子总数N=电阻上产生的焦耳热是由于克服金属离子对电子的平均作用力做功产生的。在时间t内总的焦耳热Q=NL由能量守恒得Q=W电=EIt=BLvIt所以=evBfItefff方法三方法三:动力学解法因为电流不变,所以假设电子以速度ve相对导线做匀速直线运动。因为导线MN的运动,电子受到沿导线方向的洛伦兹力f洛的作用,f洛=evB沿导线方向,电子只受到金属离子的平均作用力和f洛作用,二力平衡即=f洛=evBff考点二带电粒子做圆周运动的分析思路考点二带电粒子做圆周运动的分析思路2-1(2012北京理综,16,6分)处于匀强磁场中的一个带电粒子,
11、仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。将该粒子的运动等效为环形电流,那么此电流值()A.与粒子电荷量成正比B.与粒子速率成正比C.与粒子质量成正比D.与磁感应强度成正比答案答案D粒子仅在磁场力作用下做匀速圆周运动有qvB=m,得R=,周期T=,其等效环形电流I=,故D选项正确。2vRmvqB2 Rv2 mqBqT22q BmD2-2(2016北京海淀一模,17)在垂直纸面的匀强磁场中,有不计重力的甲、乙两个带电粒子,在纸面内做匀速圆周运动,运动方向和轨迹如图所示。则下列说法中正确的是()A.甲、乙两粒子所带电荷种类不同B.若甲、乙两粒子所带电荷量及运动的速率均相等,则甲粒子的质量较大C.若甲、乙两粒
12、子的动量大小相等,则甲粒子所带电荷量较大D.该磁场方向一定是垂直纸面向里B答案答案B因为两粒子都逆时针旋转,速度方向相同时受洛伦兹力方向相同,说明二者所带电荷种类相同,A项错。由Bqv=m得R=,若q、v相等,又是同一磁场,质量大的轨迹半径大,B项对;若甲、乙两粒子的动量大小相等,即mv相等,又B也相同,由R=可知,q小的轨迹半径大,由题图知,甲所带电荷量较小,C项错。因为粒子所带电荷的电性未知,因此无法判定磁场方向,D项错。2vRmvBqmvqB考点三带电粒子在有界匀强磁场中的运动考点三带电粒子在有界匀强磁场中的运动1.圆心的确定圆心的确定(1)已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点
13、分别做垂直于入射方向和出射方向的垂线,两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示,P为入射点,M为出射点)。(2)已知入射点和出射点的位置及入射方向时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点。)甲乙2.半径的确定半径的确定用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径的大小。3.角度关系角度关系粒子速度的偏向角()等于回旋角(),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的2倍(如图),即=2=t。且相对的弦切角()相等,与相邻的弦切角()互补,即+=180。4.运动时间的确定运动时间的确定t=T或t=T或t
14、=。式中为粒子运动的圆弧所对应的圆心角,T为周期,s为运动轨迹的弧长,v为线速度。3602sv3-1(多选)在半导体离子注入工艺中,初速度可忽略的磷离子P+和P3+,经电压为U的电场加速后,垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域,如图所示。已知离子P+在磁场中转过=30后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时,离子P+和P3+()A.在电场中的加速度之比为1 1B.在磁场中运动的半径之比为 1C.在磁场中转过的角度之比为1 2D.离开电场区域时的动能之比为1 33BCD答案答案BCD两离子所带电荷量之比为1 3,在电场中时由qE=ma知aq,故加速度之比为1 3
15、,A错误;离开电场区域时的动能由Ek=qU知Ekq,故D正确;在磁场中运动的半径由Bqv=m、Ek=mv2知R=,故B正确;设磁场区域的宽度为d,则有sin=,即=,故=60=2,C正确。2vR121B2mUq1qdR1Rsin30sin 133-2空间有一圆柱形匀强磁场区域,该区域的横截面的半径为R,磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场,离开磁场时速度方向偏离入射方向60。不计重力,该磁场的磁感应强度大小为()A.B.C.D.033mvqR0mvqR03mvqR03mvqRA答案答案A若磁场方向向上,带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示,由
16、几何关系可知,其运动的轨迹半径r=R,由洛伦兹力提供向心力,即qv0B=知R=,故匀强磁场的磁感应强度B=,若磁场方向向下可得到同样的结果。选项A正确。tan30R320mvr30mvqB033mvqR考点四带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界极考点四带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界极值问题值问题1.临界现象临界现象当带电粒子进入设定的有界匀强磁场后,其轨迹是一个残缺圆,题中往往会形成各种各样的临界现象。解决此类问题的关键是找准临界点。找临界点的方法是以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关
17、系,找出临界点。2.极值问题极值问题(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当速度v大小一定时,弧长越长,对应的圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(3)当速度v大小变化时,其轨迹对应的圆心角越大,运动时间越长。【情景素材情景素材教师备用教师备用】几种常见的不同边界磁场中的运动规律:直线边界(进出磁场具有对称性,如图、所示)平行边界(存在临界条件,如图、所示)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图所示)4-1如图所示,在真空区域内,有宽度为L的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场方向垂直纸面向里,MN、PQ是磁场的边界,一质量为m、带电荷量为-q的粒子
18、,先后两次沿着与MN夹角为(090)的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中,第一次粒子以速度v1射入磁场,粒子刚好没能从PQ边界射出磁场;第二次粒子以速度v2射入磁场,粒子刚好垂直PQ射出磁场(不计粒子重力,v1、v2均为未知量)。求的值。12vv答案答案cos1cos解析解析第一次粒子刚好没能穿出磁场区域的运动轨迹如图所示,由几何关系有L=R1+R1cos得R1=又由qv1B=m得v1=;第二次粒子垂直PQ边界飞出的运动轨迹如图所示,由几何关系有R2=,1cosL211vR1qBRm(1cos )qBLmcosL又由qv2B=,得v2=,所以=。222mvR2qBRmcosqBLm12vvcos1
19、cos4-2如图所示,M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板,两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为+q,质量为m(不计重力),从点P经电场加速后,从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,CD为磁场边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为=45,孔Q到板的下端C的距离为L,当M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上,求:(1)两板间电压的最大值Um。(2)CD板上可能被粒子打中区域的长度s。(3)粒子在磁场中运动的最长时间tm。答案答案(1)(2)(2-)L(3)222qB Lm2mBq解析解析(1)M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上(轨迹如图),由几何关系知轨迹圆心在C点,CH=QC=L故半径r1=L,又qv1B=mqUm=m解得Um=211vr1221v222qB Lm(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD板相切于K点(如图),此轨迹的半径为r2,设圆心为A,在AKC中:sin45=解得r2=(-1)L,则KC=r2=(-1)L所以CD板上可能被粒子打中的区域的长度s=HK,即s=r1-r2=(2-)L(3)打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长,均为半个周期,所以tm=22rLr2222TmBq
