1、4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1、2、3) 线段线段有且只有有且只有垂线段垂线段主题主题1 1空间图形基本关系的认识空间图形基本关系的认识1.1.观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线与这些面之间的位置条棱？多少个面？棱所在的直线与这些面之间的位置关系如何？关系如何？提示：提示：长方体有长方体有8 8个顶点、个顶点、1212条棱、条棱、6 6个面个面. .有些面是有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有
2、些棱所在直线与面相交，有些棱所在直线在平面内有些棱所在直线与面相交，有些棱所在直线在平面内. .2.2.观察下面图形，并回答问题观察下面图形，并回答问题. . 空间中点空间中点A A与直线与直线a a的位置关系是什么？点的位置关系是什么？点B B与直线与直线b b的的位置关系是什么？位置关系是什么？提示：提示：点点A A在直线在直线a a上，其位置关系可记作上，其位置关系可记作AaAa；点；点B B不在直线不在直线b b上，其位置关系可记作上，其位置关系可记作B B b.b.3.3.观察下面图形，并回答空间中点观察下面图形，并回答空间中点P P与平面与平面的位置的位置关系是什么？点关系是什么？
3、点O O与平面与平面的位置关系是什么？的位置关系是什么？提示：提示：点点P P不在平面不在平面内，可表示为内，可表示为P P ；点；点O O在平在平面面内，可表示为内，可表示为O.O.结论：结论：1.1.点与直线的位置关系点与直线的位置关系(1)(1)点点B B在直线在直线l上：上：_._.(2)(2)点点B B不在直线不在直线l上：上：_._.BBlB B l2.2.点与平面的位置关系点与平面的位置关系(1)(1)点点B B在平面在平面内：内：_._.(2)(2)点点B B不在平面不在平面内：内：_._.BBB B 【对点训练对点训练】1.1.点点P P在直线在直线l上，而直线上，而直线l在
4、平面在平面内，用符号表示内，用符号表示为为( () )A.PA.P l B.PB.PlC.PC.P lD.PD.Pl 【解析解析】选选D.D.直线和平面可看作点的集合，点是基本直线和平面可看作点的集合，点是基本元素元素. .故选故选D.D.2.2.“直线直线a a经过平面经过平面外一点外一点M M”用符号语言可表示为用符号语言可表示为_._.【解析解析】用符号语言表示为用符号语言表示为MaMa，M M .答案：答案：MaMa，M M 主题主题2 2空间图形的公理空间图形的公理1.1.我们要画一条直线只需找到几个点就可确定这条直我们要画一条直线只需找到几个点就可确定这条直线？线？提示：提示：由于
5、两点确定一条直线，所以只需找两点由于两点确定一条直线，所以只需找两点. .2.2.生活中经常看到测量员用三角架支撑测量用的平板生活中经常看到测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚. .借助这些事借助这些事例归纳要确定一个平面需什么条件？例归纳要确定一个平面需什么条件？提示：提示：确定一个平面需经过不在同一条直线上的三点确定一个平面需经过不在同一条直线上的三点. .3.3.实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边上的任意两点放到桌面上，可以看到
6、，直尺的整个边缘就落在了桌面上缘就落在了桌面上. .借助这一事例要说明直线在平面内，借助这一事例要说明直线在平面内，只需找直线上几个点就可以？只需找直线上几个点就可以？提示：提示：要说明直线在平面内，只需找直线上两个点在要说明直线在平面内，只需找直线上两个点在平面内就可以平面内就可以. .4.4.我们看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的我们看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，试问如果两个不重合的平面有一个交线都是直线段，试问如果两个不重合的平面有一个公共点，是否有且只有一条通过这个点的公共直线呢？公共点，是否有且只有一条通过这个点的公共直线呢？提示：提示：是是. .结论
7、：结论：1.1.公理公理1 1：过不在一条直线上的三点，：过不在一条直线上的三点，_一个平面一个平面( (即可以确定一个平面即可以确定一个平面).).(1)(1)推论推论1 1：_确定一个平面确定一个平面. .(2)(2)推论推论2 2：两条：两条_直线确定一个平面直线确定一个平面. .(3)(3)推论推论3 3：两条：两条_确定一个平面确定一个平面. .有且只有有且只有一条直线和直线外一点一条直线和直线外一点相交相交平行直线平行直线2.2.公理公理2 2：如果一条直线上的：如果一条直线上的_在一个平面内，在一个平面内，那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内. .3.3.公理公理3 3：
8、如果两个不重合的平面有：如果两个不重合的平面有_个公共点，个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线. .两点两点一一【对点训练对点训练】1.1.下列命题：下列命题：书桌面是平面；书桌面是平面；有一个平面的长是有一个平面的长是50 m50 m，宽是，宽是20 m20 m；平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念学概念. .其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( () )A.1A.1个个B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.0D.0个个【解析解析】选选A.A.由平面的概念，可知只有正确由平面的概
9、念，可知只有正确. .2.2.下列图形中，不一定是平面图形的是下列图形中，不一定是平面图形的是 ( () )A.A.三角形三角形 B.B.菱形菱形C.C.梯形梯形 D.D.四边相等的四边形四边相等的四边形【解析解析】选选D.D.四边相等的四边形可能是空间四边形，四边相等的四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形不一定是平面图形. .类型一点、线共面问题类型一点、线共面问题【典例典例1 1】(1)(1)如果空间四点如果空间四点A A，B B，C C，D D不共面，那么不共面，那么下列判断中正确的是下列判断中正确的是( () )A.AA.A，B B，C C，D D四点中必有三点共线四点中必有三点共
10、线B.AB.A，B B，C C，D D四点中不存在三点共线四点中不存在三点共线C.C.直线直线ABAB与与CDCD相交相交D.D.直线直线ABAB与与CDCD平行平行(2)(2)证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面面. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据公理根据公理1 1进行判断进行判断. .(2)(2)利用公理利用公理1 1及其推论证明及其推论证明. .【解析解析】(1)(1)选选B.B.若若A A，B B，C C，D D四点中有三点共线，四点中有三点共线，则则A A，B B，C C，D D四点共面，若四点共面，若ABAB与与CDCD相交
11、相交( (或平行或平行) )，则，则ABAB与与CDCD共面，即得共面，即得A A，B B，C C，D D四点共面四点共面. .(2)(2)设这两两相交且不共点的三条直线分别为设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1 1，l2 2，l3 3，且，且l1 1l2 2=A=A，l2 2l3 3=B=B，l1 1l3 3=C(=C(如图所示如图所示).).因为因为l1 1与与l2 2相交，所以相交，所以l1 1与与l2 2确定一平面确定一平面.因为因为BBl2 2，CCl1 1，所以，所以BB，CC，又又BBl3 3，CCl3 3，所以，所以l3 3 ，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面即两两
12、相交且不共点的三条直线确定一个平面. .【方法总结方法总结】证明点、线共面的方法证明点、线共面的方法(1)(1)定面：先由有关元素确定一个基本平面，再证明定面：先由有关元素确定一个基本平面，再证明其他的点其他的点( (或线或线) )在这个平面内在这个平面内. .(2)(2)证明两面重合：先由部分点线确定平面，再由其证明两面重合：先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合他点线确定平面，然后证明这些平面重合. .【跟踪训练跟踪训练】求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内面内. .【证明证明】(1)(1)如图所示，设直
13、线如图所示，设直线a a，b b，c c相交于点相交于点O O，直线直线d d和和a a，b b，c c分别相交于分别相交于A A，B B，C C三点，直线三点，直线d d和点和点O O确定平面确定平面，由，由OO平面平面，AA平面平面，OO直线直线a a，AA直线直线a a，知直线，知直线a a 平面平面.同理，同理，b b 平面平面，c c 平面平面，故直线，故直线a a，b b，c c，d d共面于共面于.(2)(2)如图所示，设直线如图所示，设直线a a，b b，c c，d d两两相交，且任两两相交，且任何三线不共点，交点分别是何三线不共点，交点分别是M M，N N，P P，Q Q，R
14、 R，G.G.由直线由直线ab=Mab=M，知直线，知直线a a和和b b确定平面确定平面.由由ac=ac=N N，bc=Qbc=Q，知点，知点N N，Q Q都在平面都在平面内内. .故故c c ，同理可证，同理可证d .d .所以直线所以直线a a，b b，c c，d d共面于共面于.【补偿训练补偿训练】判断下列说法是否正确，并说明理由：判断下列说法是否正确，并说明理由：一点和一条直线可确定一个平面；一点和一条直线可确定一个平面；经过同一点的两条直线可确定一个平面；经过同一点的两条直线可确定一个平面；两两相交的三条直线可确定一个平面；两两相交的三条直线可确定一个平面；首尾依次相接的四条线段在
15、同一平面内首尾依次相接的四条线段在同一平面内. .【解析解析】不正确不正确. .如果点在直线上，这时有无数个如果点在直线上，这时有无数个平面经过该直线；如果点不在直线上，在已知直线上平面经过该直线；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理任取两个不同的点，由公理1 1知，有且只有一个平面知，有且只有一个平面经过该点和直线，或直接由公理经过该点和直线，或直接由公理1 1的推论的推论1 1知，有且只知，有且只有一个平面经过该点和直线有一个平面经过该点和直线. .正确正确. .经过同一点的两条直线是相交直线，由公理经过同一点的两条直线是相交直线，由公理1 1的推论的推论2 2知，有且只
16、有一个平面知，有且只有一个平面. .不正确不正确. .三条直线可能交于同一点，也可能有三个三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同的交点，如图不同的交点，如图(1)(1)、(2)(2)所示所示. .前者，由公理前者，由公理1 1的推的推论论2 2知，可以确定一个或三个平面；后者，由公理知，可以确定一个或三个平面；后者，由公理1 1的的推论推论2 2及公理及公理2 2知，能确定一个平面知，能确定一个平面. .不正确不正确. .四边形中三点可确定一个平面，而第四点四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图不一定在此平面内，如图(3).(3).因此，这四条线段不一因此，这四条线段不一
17、定在同一平面内定在同一平面内. .类型二点共线、线共点问题类型二点共线、线共点问题【典例典例2 2】如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E为为ABAB的中点，的中点，F F为为AAAA1 1的中点的中点. .求证：求证：CECE，D D1 1F F，DADA三线交三线交于一点于一点. .【解题指南解题指南】先证明其中两条线交于一点，再说明该先证明其中两条线交于一点，再说明该点在第三条直线上点在第三条直线上. .【证明证明】连接连接EFEF，D D1 1C C，A A1 1B B，因为因为E E为为ABAB的中点，的中
18、点，F F为为AAAA1 1的中点，的中点，所以所以EFEF A A1 1B.B.又因为又因为A A1 1B BD D1 1C C，所以所以EFEF D D1 1C C，所以所以E E，F F，D D1 1，C C四点共面，四点共面，可设可设D D1 1FCE=P.FCE=P.1212又又D D1 1F F 平面平面A A1 1D D1 1DADA，CE CE 平面平面ABCDABCD，所以点所以点P P为平面为平面A A1 1D D1 1DADA与平面与平面ABCDABCD的公共点的公共点. .又因为平面又因为平面A A1 1D D1 1DADA平面平面ABCD=DAABCD=DA，所以根据
19、公理所以根据公理3 3可得可得PDAPDA，即，即CECE，D D1 1F F，DADA三线交于三线交于一点一点. .【方法总结方法总结】1.1.证明点共线问题常用方法证明点共线问题常用方法(1)(1)先确定两个平面，再证明这些点分别在这两个平先确定两个平面，再证明这些点分别在这两个平面内，根据公理面内，根据公理3 3从而判定它们都在交线上从而判定它们都在交线上. .(2)(2)定直线：选择两点确定一条直线，再证另一点在定直线：选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上这条直线上. .2.2.证空间中三线共点的两种方法证空间中三线共点的两种方法方法一：先确定两直线交于一点，再证该点是这两条方
20、法一：先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理面的交线，由公理3 3得该点在它们的交线上，从而得得该点在它们的交线上，从而得三线共点；三线共点；方法二：先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，方法二：先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得三线共点合，从而得三线共点. .【补偿训练补偿训练】如图，已知平面如图，已知平面，且，且=l. .设梯形设梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，
21、且，且ABAB ，CDCD ，求证：求证：ABAB，CDCD，l共点共点( (相交于一点相交于一点).).【证明证明】因为梯形因为梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，所以所以ABAB，CDCD是梯形是梯形ABCDABCD的两腰，的两腰，所以所以ABAB，CDCD必相交于一点必相交于一点. .设设ABCD=MABCD=M，又又AB AB ，CD CD ，所以，所以MM，MM，所以所以M M在在与与的交线上的交线上. .又因为又因为=l，所以，所以MMl，即，即ABAB，CDCD，l共点共点. .类型三空间图形的位置关系类型三空间图形的位置关系【典例典例3 3】(1)(2018(1)(2
22、018信阳高一检测信阳高一检测) )平面平面，的公的公共点多于两个，则共点多于两个，则，重合；重合；，至少有一条公共直线；至少有一条公共直线；，至多有一条公共直线；至多有一条公共直线；以上判断中一定成立的个数为以上判断中一定成立的个数为n n，则，则n n等于等于( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(2)(2)设平面设平面与平面与平面相交于直线相交于直线l，直线，直线a a ，直线直线b b ，ab=Mab=M，则点，则点M M与与l的位置关系为的位置关系为_._.【解题指南解题指南】借助实物、图形及公理进行判断借助实物、图形及公理进行判断. .【解析解析】(1)(1)
23、选选B.B.由条件知当平面由条件知当平面，的公共点多的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则于两个时，若所有公共点共线，则，相交；若公相交；若公共点不共线，则共点不共线，则，重合重合. .故不一定成立；成故不一定成立；成立；不成立立；不成立. .(2)(2)因为因为ab=Mab=M，a a ，b b ，所以，所以MM，M.M.又平面又平面与平面与平面相交于直线相交于直线l，所以点，所以点M M在直线在直线l上，即上，即MMl. .答案：答案：MMl【方法总结方法总结】点、直线、平面之间关系的表示点、直线、平面之间关系的表示(1)(1)基本原则：通常借助集合中的符号语言来表示基本原则：通常借助集
24、合中的符号语言来表示. .点点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集多符号规定都是源于将图形视为点集. .(2)(2)表示方法：点与直线之间的关系，点与平面之间表示方法：点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号的关系用符号， 表示，直线与平面之间的关系用表示，直线与平面之间的关系用 ， 表示表示. .(3)(3)公理公理1 1，2 2，3 3是判断空间点、线、面位置关系的是判断空间点、线、面位置关系的重要依据重要依据. .【跟踪训练跟踪训练】有以下判断：有以下判断：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共
25、点；平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线直线l在平面在平面内，可以用符号内，可以用符号“l”表示；表示；已知平面已知平面与与不重合，若平面不重合，若平面内的一条直线内的一条直线a a与平面与平面内的一条直线内的一条直线b b相交，则相交，则与与相交相交. .其中正确的序号是其中正确的序号是_._.【解析解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故正确；直线定在这个平面内，故正确；直线l在平面在平面内用符内用符号号“ ”表示，即表示，即l ，错误；由，错误；由a a与与b b相交，相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故正确说明两个平面有公共点，因此一定相交，故正确. .答案：答案：【知识思维导图知识思维导图】
