1、计算地球物理地球物理与信息工程学院 物探系周 辉2014年第四章 电磁场数值模拟有限差分法 = +=00ttDH JBEDB 在用时间域有限差分法（FDTDfinite-difference time-domain method）求解麦克斯韦方程时，只求解两个旋度方程，而两个散度方程自然得到满足。 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟E 电场强度H 磁场强度D 电感应强度B 磁感应强度J 电流密度q 自由电荷=0 DEBHJE地质雷达探测时，通常只记录与测线方向垂直的水平电场分量，并假设地下介质为二维的，故考虑仅有一个电场分量的麦克斯韦方程
2、组。 二维非均匀介质中的麦克斯韦方程组为 1yxzyyEHHEItzx , , 1yxEHtz, , 1yzEHtx . . 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟zx0, x z, x z二维介质 Yee 网格及电磁场空间配置 . 1 2 I 1 2 K z i k x Ey Hz Hx 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟= +=CSSCSttdddtddtDH JBEHlDsJsElBs微分形式积分形式1yxzyyEHHEItzx 1 21 21 2( , )111( ,)( ,)2
3、2nnnxxxHi kHi kHi kzz 1 21 21 2( , )111(, )(, )22nnnzzzHi kHikHikxx 1 21( , )1( , )( , )nynnyyEi kEi kE i ktt 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟Yee 网格及电磁场空间配置 . 1 2 I 1 2 K z i k x Ey Hz Hx 利用 1 211( , )( , )( , )2nnnyyyEi kEi kE i k 得 11 21 2121 21 213411( , )( , )( ,)( ,)2211(, )(, ),22
4、nnnnyyxxnnnzzyEi kAE i kAHi kHi kAHikHikA Ii k 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟1yxEHtz, , 1yzEHtx 在(1 2)nt时刻磁场分量的差分格式 1 21 2511( ,)( ,)( ,1)( , )22nnnnxxyyHi kHi kAE i kE i k 1 21 2611(, )(, )(1, )( , )22nnnnzzyyHikHikAE ikE i k 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟11 21 2121 21
5、 213411( , )( , )( ,)( ,)2211(, )(, ),22nnnnyyxxnnnzzyEi kAE i kAHi kHi kAHikHikA Ii k1 21 2511( ,)( ,)( ,1)( , )22nnnnxxyyHi kHi kAE i kE i k 1 21 2611(, )(, )(1, )( , )22nnnnzzyyHikHikAE ikE i k 求解步骤： （1）用磁场的更新式求(1 2)nt时刻的磁场； （2）用电场的更新式求(1)nt时刻的电场。 如此循环直至最大时刻。 1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法 电磁响应的交错网格有限差分（时间
6、域有限差分）模拟设计PML 的原理是： 当内部介质和边界介质的波阻抗一样， 即波阻抗匹配时，电磁波入射到边界时，电磁波只沿原方向传播而不被反射回来。当然，必须要求电磁波在边界中快速衰减，当电磁波传播到最外侧的边界时，电磁波的能量衰减到 60 分贝以下，这时即使有边界反射，能量也极其微弱，对需要计算波场的影响可以忽略。 PML 吸收效果最好。PML 已经在声波、弹性波模拟中得到广泛应用。 2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。 yxzEHHtzx （1） yxE
7、Htz，yzEHtx （2） 将yE分解为 x 方向传播的部分和 z 方向传播的部分，即 yyxyzEEE 在边界中，电导率和磁导率分别记为*, 。 2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟（1）式写为 yxzxyxEHEtx yzxzyzEHEtz （2）式写为 *yxyzxzxEEHHtz *yxyzzxzEEHHtx 2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟*00zzxx *00zzxx *0*0,0, ,0zzxx *0,0
8、,0zzxx *0,00,0 xxzz *0,00,0 xxzz 内部区域 *0,0 x z *0,00,0 xxzz PML 2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟yxzEHHtzxyxEHtzyzEHtx yxzxyxEHEtx yzxzyzEHEtz*yxyzxzxEEHHtz*yxyzzxzEEHHtx 根据阻抗匹配条件，可以得到如下关系 *xx，*yy 边界内的电导率是可变的。以左右边界为例，x的分布为 maxmax,0,11,1MxML xxxL xL xL xxNLxxNLxxNLxL x L为
9、PML 的层数，N为横向剖分的网格数，M为一常数，一般取为3。2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟L 为 PML 的层数，N 为横向剖分的网格数，M 为一常数，一般取为 3。max为 PML 最外侧的电导率，它由边界的反射系数的大小决定。L 一般取 8-10 左右，当然，L 越大吸收效果越好，但计算效率就越低。 2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟L=10L=2边界反射 波场的等时间剖面（snap shot）
