1、1第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例轴向拉伸与压缩概念与实例2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件2-5 材料在拉压时的力学性质材料在拉压时的力学性质2-6 轴向拉压杆系的超静定问题轴向拉压杆系的超静定问题2-3 应力集中概念应力集中概念2-4 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 节点的位移节点的位移2一、一、轴向拉压的工程实例轴向拉压的工程实例：工程桁架工程桁架2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例轴向拉伸与压缩概念与实例3 活塞杆活塞杆FF厂房的立柱厂房的立柱4二、轴向拉压的概念：二、轴向拉压的概念：（2 2）变
2、形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。（1 1）受力特点：）受力特点：FN1FN1FN2FN2外力合力作用线与杆轴线重合外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF52-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件1.1.内力内力 , 0X0PFNPFN一、轴向拉压杆横截面的内力一、轴向拉压杆横截面的内力 轴力轴力（用（用FN 表示）表示）6例：已知外力 F，求：11截面的内力FN 。解解：FF11X=0, FN - F = 0, F
3、FN（截面法确定）截开截开。代替代替，FN 代替。平衡平衡，FN = F。FNF以11截面的右段为研究对象：内力内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。沿轴线方向，所以称为轴力。72 2、轴力的符号规定、轴力的符号规定：压缩压缩压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸拉伸拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 FNFFFN（）（） FNFFFN（）（）83 3、轴力图：、轴力图：+FNx 直观反映轴力与截面位置变化关系； 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。4 4、轴力图的意义、轴
4、力图的意义轴力沿轴线变化的图形轴力沿轴线变化的图形FF9例例 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDO解解： 求求OA段内力段内力FN1：设截面如图：设截面如图0 X01NABCDFFFFF 05841NFFFFFFFN21ABCDFAFBFCFD10FN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求求CD段内力：段内力： 求求BC段内力段内力： 求求AB 段内力：段内力：
5、0 X02DCBNFFFF0 X03DCNFFF04DNFF0 XFN3= 5F，FN4= FFN2= 3F，BCDFBFCFDCDFCFD,21FFNFN2= 3F，FN3= 5F，FN4= F11轴力图如下图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3= 5F，FN4= FFN2= 3F，,21FFN12推导思路：推导思路：实验变形规律应力的分布规律应力的计算公式二、轴向拉压杆横截面的应力二、轴向拉压杆横截面的应力1 1、实验：、实验：变形前变形前受力后受力后FF2 2、变形规律：、变形规律：横向线横向线仍为平行的直线，且间距增大。仍为平行的直线，且间距增大。纵向线纵向线仍为平行
6、的直线，且间距减小。仍为平行的直线，且间距减小。3 3、平面假设、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截 面沿杆轴线作相对平移面沿杆轴线作相对平移13横向线仍为平行的直线，且间距增大。纵向线仍为平行的直线，且间距减小。14横向线仍为平行的直线，且间距减小大。纵向线仍为平行的直线，且间距增大。155 5、应力的计算公式、应力的计算公式：AFN轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式4 4、应力的分布规律、应力的分布规律内力沿横截面均匀分布内力沿横截面均匀分布NFAF NFNAorANoraPmN2aMPmmN2167 7
7、、正应力的符号规定、正应力的符号规定同内力同内力拉应力为正值，方向背离所在截面。拉应力为正值，方向背离所在截面。压应力为负值，方向指向所在截面。压应力为负值，方向指向所在截面。6 6、拉压杆内最大的正应力：、拉压杆内最大的正应力：等直杆：等直杆：AFN maxmax变直杆：变直杆：maxmaxAFN8 8、公式的使用条件、公式的使用条件(1) 轴向拉压杆轴向拉压杆(2) 除外力作用点附近以外其它各点处。除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）（范围：不超过杆的横向尺寸）17三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算1 1、斜截面上应力确定、斜截面
8、上应力确定(1) (1) 内力确定：内力确定：(2)(2)应力确定：应力确定：应力分布均布应力公式coscoscosAFAFAFpNFN = = FFpFFFFNxFN182 2、符号规定、符号规定、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。由 x 轴逆时针转到斜截面外法线“” 为正值；由 x 轴顺时针转到斜截面外法线“”为负值、：同“”的符号规定、：在保留段内任取一点，如果“”对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。2coscos p2sin2sin ppcoscoscosAFAFAFpNF193 3、斜截面上最大应力值的确定、斜截面上最大应力值的确定:)1(max:)2(max,0max)
9、0(,横截面上。横截面上。0452max)2( ,45 ,450 0斜截面上。斜截面上。,cos22sin2FFNx20njx（其中（其中 n 为安全系数为安全系数, ,值值 1 1）、安全系数取值考虑的因素、安全系数取值考虑的因素：（a）给构件足够的安全储备。）给构件足够的安全储备。（b）理论与实际的差异。）理论与实际的差异。、极限应力、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“jx”（u u、0 0）、许用应力、许用应力：构件安全工作时的最大应力。：构件安全工作时
10、的最大应力。“ ”1 1、极限应力、许用应力、极限应力、许用应力四、拉压杆的强度计算四、拉压杆的强度计算212 2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力等直杆等直杆：AFN maxmax变直杆变直杆：maxmaxAFN max22（3 3）确定外荷载确定外荷载已知：已知： 、A。求：。求：F。FNmax A。 F（2 2）、）、设计截面尺寸设计截面尺寸已知：已知：F、 。求：。求：A解解： AFN maxmaxA F FNmax 。3 3、强度条件的应用：、强度条件的应用： （解决三类问题）：（解决三类问题）：（1 1）、）、校核强度校核强度已知：已知
11、：F、A、 。求：。求：解：解： AFN maxmax？ max？解：解：AFN maxmax23例例 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径，直径 d =14mm，许用应力，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度校核强度) )。解解：1、轴力、轴力FN =F =25kNAFNmax2、应力、应力：3、强度校核强度校核： 170MPa162MPamax此杆满足强度要求，能够正常工作。此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25KNXFN24d F23014014310254.MPa16224例例 已知简单构架：杆已知简单构架：杆
12、1 1、2 2截面积截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许材料的许用拉应力用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F F的许用值的许用值 F25解：解：1. 轴力分析轴力分析0 , 0 yxFF由由)( 2N1拉拉伸伸FF)( N2压缩压缩FF2,t1t11AFAFNkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2AFkN 14.14 F2. 利用强度条件确定利用强度条件确定F（A1=A2=100 mm2，许用拉应力，许用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa）26例例 已知已知：l,
13、 h, F（0 x l）, AC为刚性梁为刚性梁, , 斜撑杆斜撑杆 BD 的许用应力为的许用应力为 .试求：为使杆试求：为使杆 BD 重量最轻重量最轻, , q 的最佳值的最佳值. .斜撑杆斜撑杆27，解：解：1. 斜撑杆受力分析斜撑杆受力分析 cos , 0NhFxFMA cosmaxN,hFlF 2. q 最佳值的确定最佳值的确定 cosmaxN,minhFlFA 2sin2sincosminFlhhFllAVBDBD 45 opt12sin maxN,FA由强度条件由强度条件欲使欲使VBD 最小最小28例例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应试求薄壁圆环在内压力作用下径向
14、横截面上的环向拉应力。已知力。已知： 。MPa2 mm,5 mm,200pd 可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布dbA解：解：dbp292RNFF 根据对称性可得，径截面上内力处处相等dyFN FN dppFR 300RsindFF40MPa2(5mm)MPa)(200mm2()d2(ddbpFpbddpb)sind2(02NpbdF AFN2)2(1pdpbdbddyFN FN pFR 31由于截面急剧变化引起应力局部增大现象由于截面急剧变化引起应力局部增大现象应力集中应力集中应力集中因数0maxK max最大局部应力最大局部应力 0 0 名义应力名义应力(净截面上的平均应力）净截面上的
15、平均应力）应力集中2-3 2-3 应力集中概念应力集中概念32应力集中对构件强度的影响应力集中对构件强度的影响对于脆性材料构件，当对于脆性材料构件，当 max b 时，构件断裂时，构件断裂对于塑性材料构件，当对于塑性材料构件，当 max达到达到 s 后再增加载荷，后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度分布趋于均匀化，不影响构件静强度应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大332-4 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 节点的位移节点的位移一、轴向拉压杆的变形一、轴向拉压杆的
16、变形 1 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。2 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。34LL1 1、轴向变形、轴向变形：（1 1）轴向线应变：）轴向线应变：（2 2）虎克定律）虎克定律: :EALFLN（虎克定律的另一种表达方式虎克定律的另一种表达方式）分析两种变形分析两种变形L1L1aa1bb EAFN ll EA抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度 l伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负L= L1 - L ，在弹性范围内在弹性范围内,)( p时时当当352 2、横向变形：、横向变形：bbb1横向线应变：aa横向变形系数（泊松比）
17、横向变形系数（泊松比）：,1aaabb在弹性范围内：在弹性范围内：L1L1aa1bb36 1113nni ii iiiN llN lnEAEA a. 等直杆受图等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）均相同）37 b. 阶梯杆，各段阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。不同，计算总变形。 iiiNiAELFLLLL32138c. 轴向变形的一般公式轴向变形的一般公式)(d)()d(NxEAxxFl lxxEAxFld)()(N39例例分段求解分段求解: :12N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1EAlFEAllFl11212)(试
18、分析杆 AC 的轴向变形 lEAlFEAlFF22112)( 40F2FaaABCFNxF3F例例 ：已知杆件的：已知杆件的 E E、A A、F F、a a 。求：求：L LAC 、B B（B B 截面位移）截面位移）AB （AB 段的线应变）。段的线应变）。解解：1)画画 FN 图：图：2) 计算：计算：EALFLN).1 (EAFaLBCB3).2(EAFaEAFaLLABABAB).3(BCABACLLLEAFaEAFaEAFa43负值表示位移向下负值表示位移向下41例例 已知：已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， 0.3，拧紧后拧紧后， l 0.04
19、 mm。 试试求：求：(a) 螺栓横截面上的正应力 (b) 螺栓的横向变形 d42解：1) 求求横截面正应力横截面正应力4-10.417 ll MPa 2 .148 E2) 螺栓横向变形螺栓横向变形 410222 . mm 00340i.dd 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mm43三）、画节点位移图求节点位移三）、画节点位移图求节点位移二）、求各杆的变形量二）、求各杆的变形量li；以垂线代替图中弧线。以垂线代替图中弧线。 一）、分析受力确定各杆的内力一）、分析受力确定各杆的内力 FNiL2ABL1CF FF2NF1NFC1C1l2C2lC C CC 就是就是C点的近似位移。点的近似位
20、移。二、计算节点位移二、计算节点位移就是就是C点的节点位移图。点的节点位移图。44 力学性能力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 不同的材料具有不同的力学性能材料的力学性能可材料的力学性能可通过实验得到通过实验得到。2-5 材料在拉压时的力学性质材料在拉压时的力学性质常温静载下的拉伸压缩试验常温静载下的拉伸压缩试验45拉伸标准试样拉伸标准试样dldl5 10 或或AlAl65. 5 3 .11 或或压缩试件压缩试件很短的圆柱型很短的圆柱型： h = h = (1.53.0)dhd46试验装置试验装置变形传感器变形传感器47拉伸试验与拉伸图拉伸
21、试验与拉伸图 ( ( F- - l 曲线曲线 ) )48、弹性阶段弹性阶段: :oAoA为直线段；为直线段；AA为微弯曲线段为微弯曲线段。E比例极限；比例极限；弹性极限。弹性极限。pe、屈服阶段屈服阶段: :BC。屈服极限屈服极限屈服段内最低的应力值。屈服段内最低的应力值。s1 1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 ( (四个阶段四个阶段) )一、一、 材料在拉伸时的力学性质材料在拉伸时的力学性质49低碳钢拉伸时的四个阶段低碳钢拉伸时的四个阶段、弹性阶段弹性阶段: :oA,、屈服阶段屈服阶段: :BCBC。、强化阶段：强化阶段：CDb b 强度极限强度极限（拉伸过程中最高
22、的应力值）。（拉伸过程中最高的应力值）。滑移线滑移线50、局部变形阶段局部变形阶段（颈缩阶段）：（颈缩阶段）：DEDE。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。缩颈与断裂缩颈与断裂51 b-强度极限强度极限 E = tan - 弹性模量弹性模量 p-比例极限比例极限 s-屈服极限屈服极限52卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化 p塑性应变塑性应变 e弹性极限弹性极限 e 弹性应变弹性应变预加塑性变形预加塑性变形, 可使可使 e 或或 p 提高提高卸载定律卸载定律： 当拉伸超过屈服阶段后，当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，
23、在卸载过程如果逐渐卸载，在卸载过程中，中，应力应力应变将按直线应变将按直线规律变化。规律变化。冷作硬化：冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。现象。53材料的塑性材料的塑性000100 ll 延伸率延伸率l试验段原长（标距）试验段原长（标距） l0试验段残余变形试验段残余变形塑性塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力54001100 AAA 断面收缩率断面收缩率塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例
24、如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等A 试验段横截面原面积试验段横截面原面积A1断口的横截面面积断口的横截面面积塑性与脆性材料塑性与脆性材料55共有的特点：共有的特点： 断裂时具有较大的残余断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。变形，均属塑性材料。 有些材料没有明显的屈有些材料没有明显的屈服阶段。服阶段。其他材料的拉伸试验其他材料的拉伸试验（一）、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能（一）、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能2004006005102015硬铝硬铝5050钢钢3030铬锰硅钢铬锰硅钢(%)MPa1200
25、对于没有明显屈服阶对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应段的材料用名义屈服应力表示力表示 。2 . 056 产生产生 的塑性应变的塑性应变时所对应的应力值。时所对应的应力值。002 . 0（二）、铸铁拉伸试验（二）、铸铁拉伸试验1 1）无明显的直线段；）无明显的直线段；2 2）无屈服阶段；）无屈服阶段；3 3）无颈缩现象；）无颈缩现象；4 4）延伸率很小。）延伸率很小。b b强度极限。强度极限。E E割线的弹性模量。割线的弹性模量。 0.20.2 0.20.2% 名义屈服极限名义屈服极限2 . 0 150%5 . 05758低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验弹性阶段，屈服阶弹性阶段，屈服阶段均与
26、拉伸时大致段均与拉伸时大致相同。相同。超过屈服阶段后，超过屈服阶段后，外力增加面积同时外力增加面积同时相应增加，无破裂相应增加，无破裂现象产生。现象产生。二、二、 材料在压缩时的力学性质材料在压缩时的力学性质59其它脆性材料压缩其它脆性材料压缩时的力学性质大致时的力学性质大致同铸铁，工程上一同铸铁，工程上一般作为抗压材料。般作为抗压材料。拉压bb)54(:12：破坏面大约为：破坏面大约为45450 0的斜面。的斜面。铸铁的压缩试验铸铁的压缩试验60温度对力学性能的影响温度对力学性能的影响材料强度、弹性常数随温度变化的关系中炭钢中炭钢硬铝硬铝612-6 2-6 轴向拉压杆系的超静定问题轴向拉压杆
27、系的超静定问题一、概念一、概念1 1、静定：、静定：结构或杆件的结构或杆件的未知力个数未知力个数等于等于有效静力方程有效静力方程的个数，的个数， 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力静定问题静定问题 2 2、超静定超静定：结构或杆件的结构或杆件的未知力个数未知力个数多于多于有效静力方程有效静力方程的个数，的个数， 只利用静力方程不能求出所有的未知力只利用静力方程不能求出所有的未知力超静定问题超静定问题3 3、多余约束、多余约束：在超静定系统中多余维持结构在超静定系统中多余维持结构 几何不变性所需要的杆或支座。几何不变性所需要的杆或支座。 ABC12PD3
28、A1NF2NFP. 0, 0YXA1NF2NFP3NF多余约束多余约束 超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些约束对于特定的工程要求往往是必要的）些约束对于特定的工程要求往往是必要的）624 4、多余约束反力、多余约束反力：多余约束对应的反力。多余约束对应的反力。= = 未知力个数未知力个数 平衡方程个数。平衡方程个数。二、二、超静定的求解超静定的求解步骤：步骤：2 2、根据变形协调条件列出、根据变形协调条件列出变形几何方程。变形几何方程。3 3、根据、根据物理关系物理关系写出补充方程。写出补充方程。4
29、 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。1 1、根据平衡条件列、根据平衡条件列平衡方程平衡方程（确定超静定的次数）。5 5、超静定的次数、超静定的次数63、几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：、物理物理方程变形与受力关系方程变形与受力关系解解：、平衡方程平衡方程: :、联立方程联立方程(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得可得:) 1 (0sinsin021NNFFX)2(0coscos0321FFFFYNNNcos321Lll333113333331121121cos2F ; cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNN)
30、3(cos33331111补补充充方方程程AELFAELFNNABDC132例例1 1：图示杆系结构，图示杆系结构，33221121,AEAEAEll，求：各杆的内力。求：各杆的内力。FN1A FN2 2FN3 3yxFF3A1A1l2A2l3l64超静定结构的特征：内力按照刚度分配 能者多劳的分配原则cos321Lll补补充充方方程程cos33331111AELFAELFNNcos331131AEAEFFNNABDC132F3A1A1l2A2l3l65三、温度应力、装配应力三、温度应力、装配应力1 1）温度应力温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。由温度引起杆变形而产生的应力（热
31、应力）。温度引起的变形量温度引起的变形量tLL1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。2 2、超静定问题存在温度应力。、超静定问题存在温度应力。例例 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A A、L L、E E，求：当，求：当1杆杆温度升高温度升高 时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数TBC12aa3A66BC121、平衡方程平衡方程: :03, 021aFaFMNNc2、几何方程几何方程：aa3 AATl解解：解除解除1 1杆约束，使其自由膨胀杆约束，使其自由膨胀；AB横梁最终位置在横梁最终位置在AB AB2
32、l2NF1NFABCCR1lalallT321EALFlTLlNT11,22EAlFlN3、物理物理方程：方程：,1091TlEAN,1032TlEAN,56TlEARC672 2）装配应力装配应力预应力、初应力：预应力、初应力：2 2、超静定问题存在装配应力。、超静定问题存在装配应力。1 1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。形而引起的应力。ABC12ABDC132 A68解：解：、平衡方程平衡方程: :0sinsin021NNX0coscos0213NNNY例：例：已知：各杆长为：已知：各杆长为： 、 ； A A1 1=A=A2 2=A=A、A A3 3 ；E E1 1=E=E2 2=E=E、E E3 3。3 3杆的尺寸杆的尺寸误差为误差为 ，求，求: :各杆的装配内力。各杆的装配内力。lll213l3N2N1N AA3A A2A2l1A1lABDC132 A3l、几何方程：几何方程：13cos)(ll、物理方程物理方程：3333311111,AELNlAELNl69 、联立平衡方程和补充方程，得、联立平衡方程和补充方程，得: : / cos21cos33113211321AEAEAElNN / cos21cos23311331133AEAEAElN
