1、2022年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z（a21）+（a+1）i（aR）为纯虚数，则a的取值是（）A3B2C1D12（5分）已知集合Ax|1x5，Bx|x23x40，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）Ax|4x5Bx|4x5Cx|1x4Dx|1x13（5分）已知命题p：x0，cosxex，则p为（）Ax0，cosxexBx00，Cx0，cosxexDx00，4（5分）若双曲线C的一个焦点为（5，0），且与双曲线的渐近线相同（）AB5CD5（5分）若数列an为等比数列，且a
2、1，a5是方程x2+4x+10的两根，则a3（）A2B1C1D16（5分）已知函数yf（x）的部分图像如图所示，则yf（x）（）ABCD7（5分）已知锐角满足4sin2+sin22，则cos2（）ABCD8（5分）牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中Tc是环境温度，h为常数现有一个105的物体，放在室温15的环境中，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30（）（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A2.9B3.4C3.9D4.49（5分）2021年3月，教育部办公厅发布关于
3、进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确学生睡眠时间要求，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是（）ABCD10（5分）已知点M为抛物线C：y28x上的动点，过点M向圆O1：（x2）2+y21引切线，切点分别为P，Q，则|PQ|的最小值为（）ABCD111（5分）正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，DF，EF，CDF，BEF分别沿DE，EF折起，使A，B，得到三棱锥ODEF，则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r的比值为（）ABCD12（5分）若关于x的不等式ax+lnx+1xex（aR）恒成立，则a的取值范围是（）A（，0BC（，1D（，e二、填空题：本大题共4小题，每
4、小题5分，共20分13（5分）已知的展开式中，含x3项的系数为 （用数字作答）14（5分）已知单位向量，满足，则 15（5分）斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，21，34n中，a11，a21，an+2an+1+an（nN+），若a2022m，则数列an的前2020项和为 （用含m的代数式表示）16（5分）如图，棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且，M为平面BDC1内一动点，则MC+MP的最小值为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分
5、）已知ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求B的大小；（）若，且BD2，求S的最大值18（12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，D，E分别为BC，CC1的中点，A1CBE，ABC60（）证明：A1C平面AB1D；（）求二面角DAEB的余弦值19（12分）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，每轮比赛从A、B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分，答对B难度问题得5分，答错则得0分已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，且每轮答题互不影响（）若该选手3轮比
6、赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；（）若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，求X的分布列和数学期望20（12分）已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点2+y2b2上一点，|PQ|的最大值为3（P、Q异于椭圆E的上、下顶点）（）求椭圆E的方程；（）A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为k1，k2，且k24k1，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标21（12分）已知函数f（x）xlnxax+1（aR）（）若a1，讨论f（x）零点的个数；（）求证：（注：ln20.6931）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-
7、4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为，曲线E的参数方程为（为参数）（）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l及曲线E的极坐标方程；（）若P为曲线E在第一象限上一点，射线OP按逆时针方向旋转60，与直线l相交于点Q，求|OP|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+a|+|a1|的最小值为g（x）k|x|（a，kR）（）求a的取值范围；（）若f（x）g（x），求k的最大值2022年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有
8、一项是符合题目要求的1（5分）复数z（a21）+（a+1）i（aR）为纯虚数，则a的取值是（）A3B2C1D1【解答】解：z（a21）+（a+2）i是纯虚数a218且a+10，解之得a4故选：D2（5分）已知集合Ax|1x5，Bx|x23x40，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）Ax|4x5Bx|4x5Cx|1x4Dx|1x1【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A（UB），Ax|1x5，Bx|x83x46x|1x4，A（UB）x|5x5故选：A3（5分）已知命题p：x0，cosxex，则p为（）Ax0，cosxexBx00，Cx0，cos
9、xexDx00，【解答】解：命题是全称命题，则否定是特称命题：即x00，故选：D4（5分）若双曲线C的一个焦点为（5，0），且与双曲线的渐近线相同（）AB5CD【解答】解：双曲线的渐近线方程为：yx，双曲线C的一个焦点为（5，3）的渐近线相同，所求双曲线的实半轴为a，则虚半轴为：b，5，解得a，所以双曲线C的离心率为：e故选：D5（5分）若数列an为等比数列，且a1，a5是方程x2+4x+10的两根，则a3（）A2B1C1D1【解答】解：由题意得，a1a58，a1+a55，故a10，a60，所以a36，1故选：C6（5分）已知函数yf（x）的部分图像如图所示，则yf（x）（）ABCD【解答】解
10、：由图象知函数关于原点对称，则函数为奇函数，函数的定义域为x|x0，则排除A，f（1）0，排除B，C，故选：D7（5分）已知锐角满足4sin2+sin22，则cos2（）ABCD【解答】解：因为4sin2+sin72，所以可得：sin274sin26（ 12sin6）2cos2，因为2，06，又sin22cos5，所以sin20，cos70，由，可得，所以cos2故选：B8（5分）牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中Tc是环境温度，h为常数现有一个105的物体，放在室温15的环境中，那么
11、再经过m分钟后，该物体的温度降至30（）（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A2.9B3.4C3.9D4.4【解答】解：由7515（10515），有，又3015（7515），有，即，则mlglg，解得m8.4，故选：B9（5分）2021年3月，教育部办公厅发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确学生睡眠时间要求，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是（）ABCD【解答】解：设小明连续两天睡眠时间分别为x、y，则小明连续两天睡眠时间应满足，其基本事件（x，则他连续两天平均睡眠时间不少于6小时应满足x+y16，其基本事件（x，则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概
12、率是13，故选：D10（5分）已知点M为抛物线C：y28x上的动点，过点M向圆O1：（x2）2+y21引切线，切点分别为P，Q，则|PQ|的最小值为（）ABCD1【解答】解：如图，圆心O1为抛物线的焦点F（2，7），四边形MPO1Q的面积，当|MO7|最小时，即点M到准线的距离最小值为2，故选：A11（5分）正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，DF，EF，CDF，BEF分别沿DE，EF折起，使A，B，得到三棱锥ODEF，则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r的比值为（）ABCD【解答】解：在正方形ABCD中，ADAE，BEBF，折起后OD，OE，故该三棱锥的外接球，即以OD，OF
13、为棱的长方体外接球设正方形ABCD边长为2，则OD2，OF5，故，则设内切球球心为I，由，表面积S5，则有，故选：C12（5分）若关于x的不等式ax+lnx+1xex（aR）恒成立，则a的取值范围是（）A（，0BC（，1D（，e【解答】解：，令g（x）xex1lnxx，x0，令，在（0，在（3，+）存在唯一的0）7，即，当7xx0时，h（x）0，g（x）单调递减，当xx7，h（x）0，g（x）0，即g（x）0xex1lnxx3，即，a4故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知的展开式中，含x3项的系数为10（用数字作答）【解答】解：展开式的通项公式为，令55r3
14、，解得r1，所以展开式中含x7的系数为故答案为：1014（5分）已知单位向量，满足，则1【解答】解：因为|，且，所以+2+73，解得21，所以2+，所以2故答案为：115（5分）斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，21，34n中，a11，a21，an+2an+1+an（nN+），若a2022m，则数列an的前2020项和为 m1（用含m的代数式表示）【解答】解：因为a1a27，an+2an+1+an（nN+），a2022m，所以数列an的前2020项和为a8+a2+a3+a2+.+a2020（a2+a1）+a2+
15、a3+a4+.+a2020a6a3+a2+a2+a4+.+a2020a2a8+a3+a4+.+a2020a7a5+a4+.+a2020a6a6+.+a2020a2a2022a2m1故答案为：m116（5分）如图，棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且，M为平面BDC1内一动点，则MC+MP的最小值为 【解答】解：连接A1C，与平面BC1D交于点N，由题意知，连接NP，由，得NPA5C1，且NPA1C16，MC+MPMN+MPNP，当M为NP与平面BC1D的交点时取等号，MC+MP的最小值为5故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程
16、或演算步骤17（12分）已知ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求B的大小；（）若，且BD2，求S的最大值【解答】解：（）由题意得，又，所以，即，所以，又4B180，所以B120；（）因为，所以，在ABD和BDC中，由余弦定理得，又cosBDAcosBDC，所以，整理，得，即，在ABC中，由余弦定理得，b2a5+c22accosBa7+c2+ac，所以，得，则ac18，当且仅当c2a即a3，c6时等号成立，所以，故S的最大值为18（12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，D，E分别为BC，CC1的中点，A1CBE，ABC60（）证明：A1C平面AB1D；
17、（）求二面角DAEB的余弦值【解答】证明：（I）如图，取B1C1的中点F，连接CF、A8F、DF，则AA1DF且AA1DF，B4FDC且B1FDC，故四边形A1ADF和四边形B2DCF为平行四边形，所以A1FAD，CFDB1，因为AD、B8D平面AB1D，所以A1F平面AB2D，CF平面AB1D，又A1FCFF，所以平面A7CF平面AB1D，由A1C平面A6CF，得A1C平面AB1D；解：（II）在直三棱柱ABCA2B1C1中，B8BAD，又B1BBEB，得AD平面BCC1B2，由BC平面BCC1B1，得ADBC，又D为BC的中点，以D为原点，以DB、DF分别为x轴、z轴建立如图空间直角坐标系
18、，设BC8，则，有设平面AEB、平面AED的一个法向量分别为，则，令y11，x41，得，故，所以，又二面角DAEB为锐角，所以二面角DAEB的余弦值为19（12分）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，每轮比赛从A、B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分，答对B难度问题得5分，答错则得0分已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，且每轮答题互不影响（）若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；（）若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，求X的分布列和数
19、学期望【解答】解：（）因为该选手3轮的选择均为A难度，但最终得分为10分，所以根据比赛规则，需有2轮答错，因为答对A难度问题的概率为，所以答错的概率为1，则最终得10分的概率P（）2；（）因为答对B难度问题的概率为，故答错B难度问题的概率为1，X的所有可能取值为5，5，10，20，P（X0），P（X5）+，P（X10）+，P（X15）+，P（X20），故X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 期望E（X）2+5+1520（12分）已知椭圆的离心率为，P为椭圆E
20、上一点2+y2b2上一点，|PQ|的最大值为3（P、Q异于椭圆E的上、下顶点）（）求椭圆E的方程；（）A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为k1，k2，且k24k1，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标【解答】（）解：由椭圆E的离心率为，可得，可得a+b3，可得，解得，所以椭圆E的方程为（）证明：由（1）可得点A的坐标为（0，1）因为直线AP，AQ的斜率分别记为k7，k2，且k22k1，可得直线AP的方程为y+1k2x，直线AQ的方程为y+1k2x4k1x，联立方程组，整理得，将代入yk1x1，可得，即，联立方程组，整理得，将代入y4k8x1，可得，即，则，所以直线PQ的方程为，
21、即，此时直线过定点（0，7），1）21（12分）已知函数f（x）xlnxax+1（aR）（）若a1，讨论f（x）零点的个数；（）求证：（注：ln20.6931）【解答】（I）解：由题意，函数f（x）xlnxax+1，令f（x）0，可得xex4，令f（x）0，可得0xea2，所以f（x）在（0，ea1）上单调递减，（ea3，+）上单调递增，所以当a1时，f（ea1）4ea10，此时f（x）没有零点当a2时，f（ea1）1ea70，此时f（x）有且只有一个零点综上：当a1时，f（x）没有零点，f（x）有且只有一个零点（II）证明：当a6时，f（x）xlnxx+1，可得f（x）lnx，当x（0，7）
22、时，f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）单调递增，所以f（x）f（1）0，即xlnx+2x，即当x0时，xlnx+1x恒成立，因为x7，所以lnx0，要证，只需证，只需证，只需证，令，可得，当x（0，ln2）时，g（x）单调递减；当x（ln2，+）时，g（x）单调递增，所以，即成立，等号成立，又由不等式xlnx+1x，当且仅当x1时，所以恒成立请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为，曲线E的参数方程为（为参数）（）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l
23、及曲线E的极坐标方程；（）若P为曲线E在第一象限上一点，射线OP按逆时针方向旋转60，与直线l相交于点Q，求|OP|的值【解答】解：（）直线l的普通方程为，根据；曲线E的参数方程为（为参数）2+y61，根据，转换为极坐标方程为2cos；（）点P为曲线E在第一象限上一点，射线OP按逆时针方向旋转60，所以|OP|3cos，则射线OQ的极坐标方程为；代入直线的极坐标方程，得到|OQ|，根据OPQ的面积为，所以，即，整理得，故所以|OP|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+a|+|a1|的最小值为g（x）k|x|（a，kR）（）求a的取值范围；（）若f（x）g（x），求k的最大值【解答】解：（I）|x1|+|x+a|（x1）（x+a）|a+2|；f（x）min|a+1|+|a1|；即|a+8|+|a1|2；又|a+5|+|a1|（a+1）（a7）|2，当且仅当1a3时，1；（II）由（1）得f（x）|x1|+|x+a|+7a，当x1时，f（x）x1+x+a+3a2x，当ax1时，f（x）8x+x+a+1a2，当xa时，f（x）7xxa+1a2x+6（1a），f（x）在（，a）上单调递减，+）上单调递增，f（x），g（x）的图象如图所示，故k2，即k的最大值为6第21页（共21页）
