1、2022-4-191一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差第二节方差第二节方差2022-4-1921. 概念的引入概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量度的量.实例实例 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000小时小时. Ox Ox 1000 1000一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质 2022-4-193).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDX
2、XEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设 2. 方差的定义方差的定义2022-4-194方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则则表示表示X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随机变量作为随机变量的代表性好的代表性好.3. 方差的意义方差的意义2022-4-195离散
3、型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD 4. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk 2022-4-196.)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE 2022-4-197证明证明22)
4、()()(CECECD 5. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE 2022-4-198).()()(YDXDYXD (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推广推广则有则有相互独
5、立相互独立若若,21nXXX).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 即即取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是,10)()4(CXXD . 1 CXP称称 Y 是随机变量是随机变量 X 的的标准化标准化了的随机变量。了的随机变量。DXEXXY/ )( 令：令：则则 EY = 0, DY = 1。2022-4-1991. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有, p 22)()()(XEXEXD 222)1(01ppp .pq ppq二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2022-4-19102.
6、 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np np2022-4-1911nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 2
7、22)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppnkkkknknk )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(02022-4-19123. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kkkXPk则有则有 0e!)(kkkkXE 11)!1(ekkk ee . 且分布律为且分布律为设设),( X )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee2.2 所以所
8、以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于参数都等于参数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差2022-4-19134. 均匀分布均匀分布则有则有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其他其他bxaabxf其概率密度为其概率密度为设设, ),(baUX).(21ba 结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点. .22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 2022-4-19145. 指数分布指数分布 . 0. 0, 0, 0,e1)(, xxxfXx其中其中其概率密度
9、为其概率密度为服从指数分布服从指数分布设随机变量设随机变量则有则有xxxfXEd)()( xxxde10 . xxxxdee00 22)()()(XEXEXD 202de1xxx 222 .2 2.2 和和分别为分别为指数分布的期望和方差指数分布的期望和方差2022-4-19156. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxfXEd)()( .de21222)(xxx tx 令令, tx ., 0,e21)(222)( xxfxxxXExde21)(222)( 所所以以tttde )(2122 tttttde2de212222 . 2022-4-1916.de21
10、)(222)(2xxx xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx ttXDtde2)(2222 ttttdee2222222202 .2 22022-4-1917.2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差2022-4-191810 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 22022-4-1919).(., 0, 10,1, 01,1)(XDxxxxxfX求求其
11、他其他具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量 解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例题讲解三、例题讲解例例12022-4-1920 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 2022-4-1921.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能装入气缸求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只气缸任取一只活塞任取一只活塞相互独立相互独立气缸的直径气缸的直径计计以以设活塞的直径设活塞的直径YXNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,
12、40.22(22NYNX因为因为),0025. 0 ,10. 0( NYX所以所以0 YXPYXP故有故有 0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(YXP)2( .9772. 0 例例22022-4-1922).(,., 020,cos)(2YDXYxxxfX的的方方差差求求随随机机变变量量其其他他的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量 解解xxfxXEd)()(22 , 24dcos2022 xxxxxfxXEd)()(44 204dcosxxx例例32022-4-1923,)()()(22XEXEXD 因为因为22242424316 .2202 ,2
13、431624 2242)()()(XEXEXD 所以所以2022-4-1924解解)5()2()52(33DXDXD )(43XD )()( 4236XEXE 1213121121031)2()(66666 XE,6493 ).52(,121121213131023 XDX求求设设例例42022-4-192523333231213121121031)2()( XE)52(3 XD故故,91 )()( 4236XEXE .92954 2022-4-1926契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机
14、变量设随机变量定理定理XPXDXEX 取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.则有则有的概率密度为的概率密度为设设),(xfX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式2022-4-1927.22XP xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 22XP .122XP 得得XP xxxfd)(2022-4-1928例如：在上面不等式中，取例如：在上面不等式中，取 ，有：，有： 4 ,3 22/1| XP这个不等式给出了随机变量这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下，的分布未知情况下，事件事件| X8889. 03| XP9375. 04| XP的概率的一种估计方法。的概
15、率的一种估计方法。2022-4-1929例例5,600粒粒种种子子中中的的良良种种数数表表示示设设 X .6561600 ,61600 DXEX 12100 X-P 设种子的良种率为设种子的良种率为1/6，任选，任选600粒，试用切比晓粒，试用切比晓夫（夫（Chebyshev）不等式估计：这）不等式估计：这600粒种子中良种所粒种子中良种所占比例与占比例与1/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.02的概率。的概率。1 0.026006XP由由切切比比晓晓夫夫不不等等式式有有 020600100.X-P 2121DX 4213. 014465616001 ).61,600( BX则则解：解
16、：22/1| XP2022-4-1930一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质二二、相关系数的意义相关系数的意义第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数2022-4-19311. 问题的提出问题的提出 那么那么相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量,YX).()()(YDXDYXD 不不相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差2022-4-1932).()(),ov(C),Cov(.)(
17、)(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXE 即即记为记为的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量2. 定义定义.)()(),Cov(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY 2022-4-1933)()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 说明说明 .,)1(个无量纲的量个无量纲的量它是一它是一协方差协方差的相
18、关系数又称为标准的相关系数又称为标准和和YX2022-4-19344. 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE 2022-4-1935)()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 2022-4-19365. 性质性
19、质 );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(为常数为常数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 2022-4-1937.),(),(222121相关系数相关系数的的与与试求试求设设YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY例例12022-4-1938.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而
20、而.ddee)(1212112222121)1(212)(21221xyyxxyx ,1111222 xyt令令,11xu 2022-4-1939 ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuutudede22222122 ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有2022-4-1940.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是结论结论;,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态随机
21、变量二维正态随机变量YXYX2022-4-1941.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 设设分分别别服服从从已已知知随随机机变变量量?)3(.)2(.)1(为什么为什么是否相互独立是否相互独立与与问问的相关系数的相关系数与与求求的数学期望和方差的数学期望和方差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例22022-4-1942)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDX
22、DYDXDXY . 3241 2022-4-1943)()(21)(31YDXDXDXY . 033 0Cov(,) ()().XZX ZD XD Z故:,)3(可可知知立立两两者者是是等等价价的的结结论论关关系系数数为为零零和和相相互互独独由由二二维维正正态态随随机机变变量量相相.是是相相互互独独立立的的与与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 2022-4-19441. 问题的提出问题的提出?,衡量衡量接近的程度又应如何来接近的程度又应如何来最接近最接近可使可使应如何选择应如何选择问问YbXaba )(2bXaYEe 设设.的好坏程度的
23、好坏程度近似表达近似表达可用来衡量可用来衡量则则YbXae .,的近似程度越好的近似程度越好与与表示表示的值越小的值越小当当YbXae .,达到最小达到最小使使的值的值确定确定eba二、相关系数的意义二、相关系数的意义2022-4-1945).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并令它们等于零并令它们等于零求偏导数求偏导数分别关于分别关于将将,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 2022-4-19
24、46得得中中代入代入将将,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1(2YDXY 2. 相关系数的意义相关系数的意义.,系系较较紧紧密密的的线线性性关关系系联联表表明明较较小小较较大大时时当当YXeXY.,线性相关的程度较差线性相关的程度较差较小时较小时当当YXXY.,0不相关不相关YXXY和和称称时时当当 )(200XbaYE 2022-4-1947(1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系3. 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相关的充要条件; 0,1o XYYX不相关不相关; 0),Cov(,2o YXYX不相关不相关)
25、.()()(,3oYEXEXYEYX 不相关不相关2022-4-19484. 相关系数的性质相关系数的性质. 1)1( XY. 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是证明证明)(min)1(2,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY2022-4-1949. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存存在在常常数数的的充充要要条条件件是是1, XY事实上事实上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性质知由方差性质知. 100 XbaYP或或0)(2
26、00 XbaYE, 10)(00 XbaYP2022-4-1950使使若存在常数若存在常数反之反之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY, 10)(2 XbaYP, 10)( XbaYP故有故有)(02XbaYE 2022-4-1951一、基本概念一、基本概念二、二、n 维正态变量的性质维正态变量的性质第四节矩、协方差矩阵第四节矩、协方差矩阵2022-4-1952., 2 , 1),(,阶矩阶矩阶原点矩阶原点矩kkXkXEYXk简称简称的的称它为称它为存在存在若若是随机变量是随机变量和和设设 .,
27、3 , 2,)(阶中心矩阶中心矩kXkXEXEk的的称它为称它为存在存在若若 .,2 , 1,),(阶阶混混合合矩矩lkYXlkYXElk 的的和和称称它它为为存存在在若若一、基本概念一、基本概念1.定义定义., 2 , 1, ,)()( 阶阶混混合合中中心心矩矩lkYXlkYEYXEXElk 的的和和称称它它为为存存在在若若2022-4-19532. 说明说明 ;),Cov(,)()2(的的二二阶阶混混合合中中心心矩矩与与是是协协方方差差方方差差为为二二阶阶中中心心矩矩点点矩矩的的一一阶阶原原是是的的数数学学期期望望随随机机变变量量YXYXXXEX; )1(变变量量函函数数的的数数学学期期望
28、望以以上上数数字字特特征征都都是是随随机机.4,)3(阶阶的的矩矩很很少少使使用用高高于于在在实实际际应应用用中中.)(3机变量的分布是否有偏机变量的分布是否有偏主要用来衡量随主要用来衡量随三阶中心矩三阶中心矩XEXE . )( 4近的陡峭程度如何近的陡峭程度如何机变量的分布在均值附机变量的分布在均值附主要用来衡量随主要用来衡量随四阶中心矩四阶中心矩XEXE 2022-4-1954作业：作业：书面：书面：P116: 22,24,29,32,35.理解方差、相关系数（协方差）的含义。理解方差、相关系数（协方差）的含义。 pOXLp7v0djZKylHSJr3WxBmHK6NJ2GhiBeFZ7R
29、4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMes02GshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMes02dLPqafkFGlzcvv2YiRQYHbhR8AI1LKULh3xvjDzkEAMGr8xbwF1bH1oIM30E7xp
