1、一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 恒成立问题恒成立问题 判别式判别式=b2- 4acy=ax2+bx+c(a0)的图象的图象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集0有两相异实有两相异实根根x1, x2 (x1x2)x|xx2x|x1 x x2 =00有两相等实有两相等实根根 x1=x2=x|x x1x2xyOyxOR没有实根没有实根yxOx1ab2ab2表中的表中的 承担几种角色承担几种角色 1、一元二次方程的两根。、一元二次方程的两根。2、二次函数的零点。、二次函数的零点。3、不等式解的端点。、不等式解的端点。2
2、1, xx题型一题型一 简单的分式不等式简单的分式不等式0682x2mx例例2：若关于：若关于x的一元二次不等式的一元二次不等式 的解集为的解集为R，则，则m的取值范围。的取值范围。_m2_ 若不等式若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于对于xR恒恒成立成立,则实数则实数m 的取值范围时的取值范围时 .( 2,22( )(2)2(2)4,f xmxmx令令(2)020mm 或22m 变式变式1：若函数：若函数 的定义域为的定义域为R，则，则m的取值范围是的取值范围是_。mxxxf682)(2._,0682. 22的取值范围是则实数的解集为空集若不等式变式mmxx,02-232Ra
3、xaxx：的解集为的不等式：若关于变式求实数求实数a的取值范围。的取值范围。则问题转化为则问题转化为mg(x)min解：解：m-2x2+9x在区间在区间2，3上恒成立，上恒成立，（1）变量分离法）变量分离法(分离参数分离参数)例例5. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上恒成立上恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m2( )29 ,2,3,g xxx x 记min( )(3)9,gxg 9.m 【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位
4、于不不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题为解关于参数的不等式的问题问题等价于问题等价于f(x)max0,解：构造函数解：构造函数2( )29,2,3,f xxxm x 2981( ) 2(),2,3,48f xxmx max( )(3)90,fxfm 9.m23y.xo（2）转换求函数的最值）转换求函数的最值例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上恒成立上恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9
5、m(2)0(3)0ff 则则10090mm 解：构造函数解：构造函数2( )29,2,3,f xxxm x9.m23y.xo例例5. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上恒成立上恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.2290 xxm9m（）数形结合思想（）数形结合思想 【1】若不等式】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于对于m-1,1恒成立恒成立,则实数则实数x 的取值范围是的取值范围是_.2( )2)2(2)4(g mmxmx22(2 )244xx mxx( 1)0(1)0gg13xx 或或2( )(2)44g axaxx( 1)0(1)0gg 此题若把它看成关于此题若把它看成关于x的二次函数的二次函数,由于由于a, x都要都要变变,则函数的最小值很难求出则函数的最小值很难求出,为主元为主元,则给解题带来转则给解题带来转机机.
