1、三角形内接矩形型基本图形1探索“三角形内接矩形型”基本图形，发现图形特征，证明基本结论；2能利用提炼的基本模型解决周长、面积等几何问题；3在应用“三角形内接矩形型”基本图形解决问题过程中提高几何直观能力、探索规律能力.问题1：你会给这样的矩形起一个怎样的名字？三角形的内接矩形三角形的内接矩形三角形的内接正方形三角形的内接正方形2.2.四个顶点都在三角形的四个顶点都在三角形的边上边上.1.1.矩形在三角形的矩形在三角形的内部；内部；特征：问题2：请你画一画三种三角形的内接正方形. 分类讨论 问题3：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方
2、形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？ （1）图中相等的线段有哪些？（2）如何建立这些线段的关系？ 解 设加工成的正方形为PNMQ， 如图，边长为xmm.由PN/BC，得APNABC，,PNAEBCAD即 80.12080 xx方法：在平行线截得的三角形相似中，利用相似比等于对应高之比求边长.思路探寻析型用型PN/BCAPNABC解法展示 问题4：如图，锐角ABC中，三边长为a，b，c，记a，b，c三边的高分别为 ， 和 ，你会分别表示三个内接正方形的边长吗？ahbh相似三角形，是在几何线段计算中一种重要的数学工具.方程思想APNABC你能用a
3、 和 表示该正方形边长吗？ah特殊一般 问题5：如图，有一块ABC材料，BC=15，高AD=12，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，若PN=x，矩形PNMQ的周长为y. （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求当矩形PNMQ的周长为28时矩形的面积.解 （1）四边形PNMQ是矩形，PNQM，APNABC.PNAEBCAD，矩形PNMQ在ABC内，0PNBC，即0 x15.即 12.1512xPQ（2）矩形PNMQ的周长为28，求边长、周长问题求面积问题几何问题代数问题求PNMQ周长y=?PQ=? 变式生长 在ABC中
4、，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为ABC的内接矩形，（P在AB上，N在AC上，M、Q在BC上），（1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大（2）在（1）的条件下，若再在APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此下去，操作n次，求PnNn的长（直接写出结果）在问题5基础上考虑，要求面积未知量有哪些？如何表示？设PN=x思路探寻解法展示设PN=x，矩形PNMQ面积为y，做高AD交PN于点E，开口方向向下，解二次函数求最值问题函数思想PNBC， APNABC，变式生长 在ABC中，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为ABC的内接矩形，（P在AB上，N在AC上，M、Q在BC上），（
5、1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大（2）在（1）的条件下，若再在APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此下去，操作n次，求PnNn的长（直接写出结果）在满足（1）的条件下你能总结线段PN与BC的关系吗？若按问题（2）继续内接，规律一样吗？思路探寻解法展示规律探究类比思想解你能与“三角形中位线的性质”联系起来吗？图形提炼三角形内接矩形型基本图形图形应用 讨论面积最值.求矩形边长、周长、面积矩形（包括正方形）在三角形内部思想方法方程思想、转化思想、类比思想、函数思想 几何问题 代数问题四个顶点都在三角形边上cccchxc hbbbbhxb haaaahxah三角形的相似比等于对应高之比
6、的点P1，P2， P100，过这100个点分别作ABC的内接矩形P1Q1R1S1，P2Q2R2S2， P100Q100R100S100 .设第一个内接矩形的周长分别为c1，c2， c100，求c1+c2+c100的值.2.底边BC上的高AD=4，在BC边上有100个不同如图，等腰三角形ABC中AB=AC= ，第2题图1.如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，四边形DEFG为RtABC的内接正方形，则正方形的边长为_.第1题图3.如图，在锐角ABC中，BC=12，ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点(D不与A，B重合)，且保持DE/BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG. (1)如图(2)，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长; (2)设DE=x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.图1图2第2题图第1题图答案解析1.2.提示： ，且BC=AD=4 得 c1 =8，同理可得c2 =c3= =c100 =8，c1+c2+c100 =800.3.(1) DE=4.8.(2)分两种情况：当正方形DEFG在ABC内部时，y=x2 (0 x ); 当正方形DEFG的一部分在ABC内部时，由ADE ABC得，22240522481235xxyxxx第3题图第3题图
