1、1思考思考1 1数量数量积的性质积的性质思考思考2数量数量积的运算律积的运算律引入引入数量积运数量积运算定义算定义课堂练习课堂练习/ /2S FW= |F| |s| cos 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的数量积运算数量积运算.一旦定义出来一旦定义出来,我们我们发现这种运发现这种运算非常有用算非常有用,它能解决有关它能解决有关长度和角度长度和角度问题问题.空间向量数量积空间向量数量积/ /31)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义: :O OA AB Ba a b b / /42 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注: :两个向量的数量积是数
2、量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.abA1 1B1 1BA/ /5运算律是否成立运算律是否成立(3)(3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质注：注：性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据；/ /6练习运算练习运算(4)(4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注意：注意： 数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即)()a bcab c （/ /7课堂练习课堂练习222222)()()
3、( )3)()( )4)( )a bcab cpqp qpqpqpq 135 / /8ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 课堂练习课堂练习: 3.课本第课本第99页第页第1题、题、 4.课本第课本第99页第页第2题题/ /92答案答案4答案答案ABCD3.(课本第课本第92页第页第3题题)已知线段已知线段AB、BD在平面在平面 内内,BDAB,线段线段AC ,如果如果AB
4、a,BDb,ACc,求求C、D间的距离间的距离. 222abc 第第3题题:12第第4题题:/ /10综合综合分析分析数形结合数形结合妙妙!/ /11/ /12逆命题成立吗逆命题成立吗? 另外另外, ,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, ,证两直线证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. . P O A la 解答解答/ /13证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA 射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA
5、 ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即P PA A. .为为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗?/ /14 P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析./ /15解答解答分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例例3:(试用试用向量方法证明直线与平
6、面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: . lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理共面向量定理, ,有了有了!ye!ye!/ /16lmngn g m l
7、,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. . .解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y例例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .lll / /17 小小 结：结： 通过学习通过
8、学习, ,体会到我们可以利用向量数量积解决立体体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：几何中的以下问题： 1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直; ; 2 2、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度; ; 3 3、证明线面垂直、证明线面垂直; ; 4 4、求两直线所成角的余弦值等等、求两直线所成角的余弦值等等. . / / ； http:/ http:/ 冯矿伟冯矿伟 jch36kcf jch36kcf 爷爷，苏小横。蝶宵华敛袂深深施礼。七王爷拍马向前。居然也持礼甚恭：爷爷，苏小横。蝶宵华敛袂深深施礼。七王爷拍马向前。居然也持礼甚恭：“劳上人仙驾来此，晚生竟未能远
9、迓。劳上人仙驾来此，晚生竟未能远迓。”语调到姿态都透着一派真语调到姿态都透着一派真心。这小子在不犯混的时候，还是顶顶文雅的，不然也枉费太后疼他这么久了。苏小横跪下，行了拜见皇亲的大礼，方启齿道：心。这小子在不犯混的时候，还是顶顶文雅的，不然也枉费太后疼他这么久了。苏小横跪下，行了拜见皇亲的大礼，方启齿道：“贫道冒昧来贫道冒昧来此，犯王爷尊驾，实有个不情之请，望王爷容恕。此，犯王爷尊驾，实有个不情之请，望王爷容恕。”“”“上人请起，请讲！上人请起，请讲！”七王爷道。苏小横是侍奉过先帝的臣子，七王爷对他完全按子侄对七王爷道。苏小横是侍奉过先帝的臣子，七王爷对他完全按子侄对待父执的礼仪。苏小横道：待
10、父执的礼仪。苏小横道：“还请将贫道那不争气的孽孙，还于贫道。还请将贫道那不争气的孽孙，还于贫道。”七王爷一愣，蝶宵华也一愣。七王爷试探着问：七王爷一愣，蝶宵华也一愣。七王爷试探着问：“敢问那位孽孙敢问那位孽孙是是”苏小横道：苏小横道：“贫道那大孙子，明远。贫道那大孙子，明远。”七王爷松口气：叫他交出明远，总比叫他交出明柯好些。可他也交不出明远来。七王爷松口气：叫他交出明远，总比叫他交出明柯好些。可他也交不出明远来。“实不相瞒，实不相瞒，晚生来到锦城，就没见过明远兄当面。晚生来到锦城，就没见过明远兄当面。”七王爷道。苏小横脸上的表情，明显就是：你不当面，你也可以叫人绑了他七王爷道。苏小横脸上的表
11、情，明显就是：你不当面，你也可以叫人绑了他“我要做出那种事，我要做出那种事，”七王爷气坏了，七王爷气坏了，“人神共愤！池影小兄弟找不到，我不也没对谁怎么样！更何况人神共愤！池影小兄弟找不到，我不也没对谁怎么样！更何况呃呃”猛然意识到这话在父辈、先帝之臣的面前，不太猛然意识到这话在父辈、先帝之臣的面前，不太好公然说出来。七王爷还有点儿廉耻好公然说出来。七王爷还有点儿廉耻“王爷，王爷，”苏小横浩叹，坦白道，苏小横浩叹，坦白道，“孽孙明柯大罪！所谓池影，是个姑娘家假扮。孽孙明柯大罪！所谓池影，是个姑娘家假扮。”啊呀？既然是姑啊呀？既然是姑娘假扮的，那七王爷就不感兴趣了。不过，谁家姑娘呀？这胆子也太大
12、了吧？面貌跟明柯也还是相像的，既不是私生子，是哪位私生女娘假扮的，那七王爷就不感兴趣了。不过，谁家姑娘呀？这胆子也太大了吧？面貌跟明柯也还是相像的，既不是私生子，是哪位私生女么？么？看看苏小横老脸，七王爷决定不再继续这个话题了，转问：看看苏小横老脸，七王爷决定不再继续这个话题了，转问：“明远兄是怎么了？明远兄是怎么了？”苏小横道：苏小横道：“今早卯时，忽失踪迹。今早卯时，忽失踪迹。”那正好是七王爷放话那正好是七王爷放话要携蝶宵华启程的时间。苏小横又道：要携蝶宵华启程的时间。苏小横又道：“所以老臣以为所以老臣以为”以为也被七王爷以为也被七王爷“携携”走了。走了。“本王若做出了此事来，死无葬身之地
13、！本王若做出了此事来，死无葬身之地！”七王爷七王爷赌咒发誓。赌咒发誓。“那孽孙明远，到了哪里呢？那孽孙明远，到了哪里呢？”苏小横哀然，苏小横哀然，“叹贫道虽然修道，尘根未净。家门不幸，事事牵心，五孙无故逃走，有辱家声，太叹贫道虽然修道，尘根未净。家门不幸，事事牵心，五孙无故逃走，有辱家声，太守家颇有微词，影响四孙女婚事，大孙却在此时守家颇有微词，影响四孙女婚事，大孙却在此时”说不下去了。一件递一件，都不是什么有脸的事。要一个老人风雪里抖着白胡子，为子说不下去了。一件递一件，都不是什么有脸的事。要一个老人风雪里抖着白胡子，为子孙操心，这也太残忍了。七王爷不忍道：孙操心，这也太残忍了。七王爷不忍道
14、：“谢老，您先回转去，喝杯热茶，歇一歇。明远兄这样大的人了，行事总有他的计较。您孙女的婚事，谢老，您先回转去，喝杯热茶，歇一歇。明远兄这样大的人了，行事总有他的计较。您孙女的婚事，是明年不是？那时本王若在京城，必居中调停，您且宽一宽心。是明年不是？那时本王若在京城，必居中调停，您且宽一宽心。”苏小横唏嘘着，回去了。七王爷看了看蝶宵华，蝶宵华也看了看他。苏小横唏嘘着，回去了。七王爷看了看蝶宵华，蝶宵华也看了看他。“谢老谢老先生说先生说”七王爷斟酌着开口，七王爷斟酌着开口，“明远兄是今早卯时失的踪？明远兄是今早卯时失的踪？”蝶宵华点头，说出了他心中的下一句话：蝶宵华点头，说出了他心中的下一句话：“而今是巳初。苏大少爷真要来找而今是巳初。苏大少爷真要来找我们的话，这些时候，够他找好几次了吧。我们的话，这些时候，够他找好几次了吧。”“”“明远兄谋略非凡。明远兄谋略非凡。”七王爷忧心忡忡道，七王爷忧心忡忡道，“你说他是不是悄悄的布置什么阴谋诡计，我们走着你说他是不是悄悄的布置什么阴谋诡计，我们走着走着，他就鬼打墙，把我走着，他就鬼打墙，把我/ /
