1、1.2.3空间几何体的直观图第一章1.2空间几何体的三视图和直观图学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点斜二测画法边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与CD有何关系？AD与BC呢？在原图与直观图中，AB与AB相等吗？AD与AD呢？答案思考2正方体ABCDA1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案答案答案 没有都画成正方形.(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则梳理梳理45135水平面 x轴或y轴的线段 保持原长度不变 一半(2)
2、立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度 ，其他同平面图形的画法.不变题型探究例例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.解答类型一平面图形的直观图解解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示.引申探究引申探究例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解答(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便.(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平
3、面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解答解解(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.命题角度命题角度1由直观图还原平面图形由直观图还原平面图形例例2如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.类型二直观图的还原与计算解答 解解画出直角坐标系xO
4、y，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；过B作BDy轴，交x轴于点D，在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；连接AB，BC，得ABC.则ABC即为ABC对应的平面图形，如图所示.由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_.答案解析菱形OAOC，故四边形OABC是菱形.解答解解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截
5、取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S，则S S.反思与感悟 跟踪训练跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是
6、答案解析例例4用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图.(尺寸自定)类型三空间几何体的直观图解答解解如图所示.画轴.画出x轴，y轴，z轴，使 xOy45，xOz90.画底面.画出正六边形的直观图ABCDEF.画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长度相等的线段AA，BB，CC，DD，EE，FF.连线成图.顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理，就得到底面为正六边形，侧面为矩形的正六棱柱.简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面.(3)确定顶点：利用与z轴
7、平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解答解解画法：(1)画出六棱锥PABCDEF的底面.在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使xOy45，xOz90，如图(2)；在图(2)中，以O为中点，在x轴上取ADAD，在y轴上取MNMN，以点N为中点，画出BC平行于x轴，并且等于BC，再以M为中点，画出EF平行于x轴，并且等
8、于EF；连接AB，CD，DE，FA得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.(2)画出正六棱锥PABCDEF的顶点，在z轴正半轴上截取点P，点P异于点O.(3)成图.连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和z轴，便可得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF，如图(3). 当堂训练234511.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的答案解析解析解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.234512.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的答案解析234513.若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图
9、的面积是原三角形面积的答案234514.如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC，已知AC6，BC4，则AB边的实际长度是_.答案解析解析解析在原图中，AC6，BC428，AOB90，105.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)23451解解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图ABC，其中O为ABC的重心，BC2 cm，线段AO与x轴的夹角为45，AO2OD. (2)过O作z轴，使xOz90，在z轴上截取OO 2 c m ， 作 上 底 面 等 边 三 角 形 的 直 观 图ABC，其中BC1 cm，连接AA，BB，CC，得正三棱台的直观图. 解答1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45或135. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.规律与方法
