1、2022-4-232 例1-2：某人2003年1月1日从银行借款1000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算：（1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？（2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？（3）几年后需还款1500元？解： （1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数为139天，单利：( )1000(1)A tit1391000(10.12)1045.70365（元）复利：( )1000(1)tA ti1393651000(1 0.12)1044.10（元）2022-4-233 例1-3 有以下两种5 年期的投资选择：A 年利率7%，每半年计息一次；
2、B 年利率7.05%， 每年计息一次。试比较两种选择的收益。解方法一：比较等价的年实利率已知(2)7%,Ai27%112Ai7.1225% =7.05% Bi方法二：比较实际收益结论：A收益高107%(5)11.41062Aa5(5)17.05%1.4058Ba(5)(5)ABaa2022-4-234 例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并约定一年到期时还10500元（即利率i = 5% ）。如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？解贴现因子11vi0.9524div贴现率0.04762从而借款人在期初实际可得10
3、000(1)d10000v9524（元）2022-4-235解 从贴现的角度看，零息债券的贴现率 d =5% ，债券投资优于储蓄。从年利率的角度看，4.988%5%,5%15%5.26%5.25%,债券投资优于储蓄。 例1-5 若现有面额为100 元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95 元，同时短期一年储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？1idi蓄的贴现率而储1did零息债券2022-4-23612()12%111112.68%12mmiim 4()10%11119.63%4mmddm ()( )11111mnmnidimdn （2）212(2)12%11122d6(2)12%2 111
4、1.59%12d例1-6（1）求每月结算的年利率为12的实际利率；（2）求每季结算的年贴现率为10的实际贴现率；（3）求相当于每月结算的年利率为12的半年结算的年贴现率。解：（3）（1）2022-4-237例：某资金帐户现金流如下：在时刻0有100元资金支出，在时刻5有200元资金支出，在时刻10有最后一笔资金支出；作为回报，在时刻8有资金收回600元。假定半年结算年名义利率为8，试计算时刻10的支出金额大小。解：设时刻10的支出金额为X，则整个业务的现金流程图如下：012345678910100200X6002022-4-2381依复利方式计算：半年结算年名义利率8半年期实际利率4半年期积累
5、因子半年期贴现因子选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：1）t0100012345678910200X600114%v 1(14%)v102016100200600vXvv161020600100200vvXv186.752022-4-2392）t5100012345678910200X60010106100200600vXvv61010600100200vvXv186.753）t10100012345678910200X60020104100200600vvXv186.7542010600100200Xvvv?结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同2022-4-23102依单利方式计算
6、：半年期单利率i4选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：1）t0100012345678910200X6002006001001 101201 16Xiii221.39X 由此可以解得：2022-4-23112）t5100012345678910200X600600100(1 10 )2001 1016Xiii3）t10100012345678910200X600100(120 )200(1 10 )600(14 )iiXi?结论：不同比较日的价值方程的计算结果不同201.42X 由此可以解得：236X 由此可以解得：2022-4-2312方法2：用代数方法求解例：已知两年后的2000元和
7、四年后的3000元的现值之和为4000元，试计算年利率。解：比较日为初始时刻，则价值方程为24400020003000vv可化简为v2的二次方程：423240vv由此可得222243 ( 4)0.86851723v 或1.535184（舍去）故0.0730i 或7.302022-4-2313方法3：求数值解例：如果现在投入1000元，三年底投入2000元，在第十年底的全部收入为5000元。计算半年计息一次的年名义利率。解： 令(2)2ij ，比较日为第十年年底，则价值方程为20141000(1)2000(1)5000jj此方程可转化为2014(1)2(1)50jj，无法直接求解记1xj ，20
8、14( )25F xxx1913( )2028F xxx则根据Newton-Raphson法，构造迭代公式2022-4-23141()()nnnnF xxxF x20141913252028nnnnnxxxxx取x11.05 ，代入迭代方程，可得21.034389347x 31.032214623x 41.032177681x 51.032177671x 故0.032177671j ，(2)0.064355341i2022-4-2315 例：预定在第2、3、8年末分别付款$100、$200和$500。假设实际利率为年率5，试确定一个一次付款$800的时刻，使它(1)按等时间方法， (2)按精确
9、方法为等价。解：（1）等时间法给出的近似解为1002005002386800800800t （2）1(15%)0.9524v精确解为238100200500ln800lnvvvtv5.8318?注：可以证明近似解总比精确解偏大2022-4-2316例：在给定利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔解：设所求时间间隔为t，则基本价值方程为(1)2ti解之，可得ln2ln(1)ti2022-4-2317 问题1 为了在第4年末得到2000元及在第10年末得到5000元，投资者愿意立即投资3000元，并在第3年末追加一笔投资。如果 ，试确定追加投资的数额。(4)0.06i 问题2 按某一利率以下两种付款
10、方式的现值相等： （1）第5年末付200元，再加第10年末付500元， （2）第5年末付400.94元。 现若以同样利率投资100元并加上在第5年末投资120元，将在第10年末积累到P。试计算P。2022-4-2318问题1设追加投资的数额为x，依题意：4 104 74 60.060.060.063000 112000 15000444x2440280.060.060.062000 150003000 11444x1593.012022-4-2319问题2设利率为i，依题意：5200500(1)400.94i5500(1)200.94i105100(1)120(1)Pii25005001001
11、20200.94200.94917.762022-4-2320例 一项年金在20年内每半年末付500元，设年名义利率为每半年转换9，求此项年金的现时值。解：40 4.5%500PVa500 18.40169200.80注? 年金的要求是定期支付，间隔相等，但却不一定是“年度”的。具体计算可利用年金表或直接做数值计算。依题意，半年实际利率为4.5，计息40次2022-4-2321例 若某人以季度转换年利率8投资1000元，问他每季度之未能取回多少使这笔钱在第10年末正好用完?解：季度实际利率2， 从而有解出40 2%1000Ra36.5640 2%1000Ra100027.3555设所求金额为R
12、，依题意2022-4-2322例：现有十年期50万元贷款，年利率8，试比较以下三种还贷方式的应付利息情况：A在第十年底一次付清B每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清C每年底偿还固定的金额，十年还清解： 方式A：在第十年底的一次还款为其中的利息为应付利息约为五十八万元10500000(1.08)1079462.501079462.50500000579462.502022-4-2323方式B：每年所付利息为总的利息付出为应付利息为四十万元方式C： 设每年的还款额为R，价值方程解出十年的付款总额为其中的利息总额为应付利息约为二十五万元500000 8%40000745147.650000010
13、8%500000Ra40000 10400000245147.674514.76 10745147.610 8%500000Ra5000006.7100874514.762022-4-2324（三）标准年金的现值与终值之间的一些关系1、,nnnnasas 的等价表达式1nniav经济意义：0时刻一个货币单位的价值上每次（利息）收入i的现金流价值+ n时刻一个货币单位的现值()nia()nv(0, n2022-4-232511nnaa经济意义： 0时刻一个货币单位的价值上对应的n期期末年金现金流1na(0, n11nnss经济意义： n时刻一个货币单位的价值上对应的n期期末年金现金流1ns(0,
14、 n2022-4-2326例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到1000000元的回报，如果年利率为7，试计算每年投入的金额。解： 设每年的投入额为R，第十二年底的价值方程为从而有故每年初投入52245元，到十二年底将累积为1000000元121000000Rs121000000Rs52245100000019.140642022-4-2327例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到1000000元的回报，如果年利率为7，试计算每年投入的金额。解： 设每年的投入额为R，第十二年底的价值
15、方程为从而有故每年初投入52245元，到十二年底将累积为1000000元121000000Rs121000000Rs52245100000019.140642022-4-232849165例：某人留下遗产十万元。第一个十年将每年的利息付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，以上支付均发生在年底。若年利率为7，试计算三个受益人的相对收益比例。解：甲的受益现值为：乙的受益相当于七千份延期十年的十年定期标准期末年金，现值为：10100000 7% a7000 7.0235810107000|a20107000()aa7000(10.59401
16、 7.02358)249932022-4-2329丙的受益相当于七千份延期二十年的标准永续期末年金，现值为：结论：从现值的角度看，甲、乙、丙的受益比例近似为：49、25和26因为207000|a207000()aa1700010.594017%25842注?20100000v100000 0.25841925842所以丙相当于在二十年后完全继承了十万元2022-4-2330年金的非标准期问题问题的提出：现值为取整的货币量，年金值也为取整的货币量，当两者不能平衡的时候，如何对零碎的部分进行处理？例：原始投入500元，年金为100元，年利率3。若年金为5年期，则上述年金的现值为与原始投入不平衡；4
17、57.97，若年金为6年期，则上述年金的现值为与原始投入不平衡。541.72，2022-4-2331解决方案一： 最后一次付款额度上浮第5次付款额度由原先的100元上浮为解决方案二：最后一次付款额度扣减第6次付款额度由原先的100元扣减为解决方案三：从模型的内在一致性出发，在时刻5与时刻6之间再增加一次付款（额度小于100元），使得所有付款的现值之和恰好等于500元。什么时刻付款、额度多少才能达到上述要求？思考510042.03 (1 3%)148.72610041.72 (1 3%)50.182022-4-2332定义数学形式上的一致性注?对于任意的，形式上定义下面的计算：(01)tt 1n
18、 tn tvai(1)1tn tniavi上式右边的第二项表示：在时刻的不足一个货币单位的金额在0时刻的现值(1)1tiint2022-4-2333例：在上例中，设最后一次付款时间为5+t，则由可解出相应最后一次的付款额度应为5500100ta51100tvi0.5t (1 0.03)11000.03t49.632022-4-2334A不足部分与最后一次正常回报同时收回B不足部分在最后一次正常回报的下一年底收回C不足部分在最后一次正常回报的下一年的某个 等价时间收回例：现有十万元的投资，年利率5。每年底定期收回1万元，试问：这样的定期回报可以进行多少年？对不足1万元的最后一次回报部分，按以下三
19、种情况分别计算回报金额：2022-4-2335解：首先计算最大正常回报的时间n：10000100000,1nan查表可得：14 5%9.89864a15 5%10.37966a从而有n142022-4-2336设XA、XB和XC分别表示三种方式对应的不足部分的金额，则时间流程图分别为：01151413100001000010000010000+XA141410000100000(1 5%)AsX2007AX011514131000010000100000XB10000151410000(1 5%)100000(1 5%)BsX2107BX2022-4-23371000010000100000X
20、C100000115141314+t首先计算t值：1410000100000taABCXXX2027即14110tvi得到0.2067t 从而有(1)110000tCiXi注?2022-4-2338例：某人每年（年底）存入1000元，利率8，希望经过若干年后达到25000元，若最后一次不足1000元的存款将在正常存款的一年后进行。试计算正常存款的年数和最后一次存款的金额。解：设最后一次的存款额为X， 0X10000故在此例中，不足部分不能按题目要求的方式进行存款。思考 对于任意给定的现值，此类问题是否总有解？2022-4-2340例：现有投资方式为：前两年每季度初投入200元，后两年每季度初投
21、入100元；该投资的月收益率为1。试计算四年后总的投资收益。解：首先计算与月收益率1等价的季收益率j从而可得总的投资收益：412(1)(1 1%)j3(1.01)1j 0.030301168200100jjss168(1)1(1)120010011jjjjjj3246.242022-4-2341例：某30万元的贷款计划分季度等量偿还，在五年内完成。如果贷款利率为半年名义利率10，计算每次偿还的金额。解： 半年实际利率为5，设等价的季度实际利率为j记每次的偿还额为R，则有由此可得24(1.05)1j 0.02469520300000jRa30000015.6342R 19188.702022-4
22、-2342例：20年期末比例年金：首次1000元，每年递增4，年利率7。计算现值。解：年金现值为：4%,k 7%i 2014%11 7%10007%4%14459例：某贷款的还款方式为：前五年每半年还2000元；后五年每半年还1000元。如果半年结算的年名义利率为10，分别用未来法和过去法计算第五次还贷后的贷款余额。解：，则半年实际利率为51）未来法2）过去法已知(2)10%i5pB55 5%10 5%20001000aav15 5%5 5%1000()aa14709原始贷款金额为L20 5%10 5%1000()aa20184从而有5rB55 5%20184(1.05)2000s14709例
23、：某三十年期贷款每年还1000元，在第十五年的正常还款之后，借款人在一次性多还2000元，如果将其全部用于扣除贷款余额，剩余的余额分十二年等额还清。若年利率为9，试计算后十二年的年还款额。解：用未来法计算第十五次还款后的贷款余额因为又多还了2000元，故此时实际贷款余额应为6060.70元设后十二年的年还款额为X，则相应的价值方程为：即：X846.38元15pB151000a8060.70126060.70Xa20000元抵押贷款将在20年内每年末分期偿还，年利率为5%。在第五次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第八年底重新开始还贷，为了在20年内还清，计算调整后的每次还款金额。
