1、 0.99=1？（有理数、无理数、实数） 一、循环小数化成分数 将 0.72626化成分数 法一： 把 0.2626（循环节）化成分数 设 a=0.2626 则 100a=2626=26+0.2626=26+a 那么 100a=a+26 可推出 99a=26 a=0.2626=99 26 那么将 0.72626=0.7+0.02626两边同时扩大 10 倍 变为 7.2626=7+0.2626 =7+99 26 = 99 719 所以 0.72626=7.262610 = 99 719 10 = 990 719 法二： 将循环小数转换成分数就是在循环的那几位下面除以 9，循环节有几位，就除以几
2、个 9. 0.72626=7.262610 = 99 26 710 = 99 719 10 = 990 719 循环节是 26，两位数，所以用 26 除以 99. 二、那 0.99=1 吗？ 法一： 设 a=0.99 则 10a=9.9=9+0.99=9+a 那么 10a=9+a 可推出 9a=9 a=1 又因为设 a=0.99 所以 0.99=1 该方法证明不严谨，法二证明方法更为严格 法二、戴德金分割（确立了无理数及连续性的纯算术定 义） 第一部分：有理数 有理数实际的含义是比率（ratio）表示两个整数的比， 近代翻译成中文时错误译成了有理数，在数学中，一个整数 a 和一个整数 b 的比
3、就是有理数。 1.定义：Q= n m ，m、n 都是整数，Q 即是有理数。 2.性质 1：任意两个有理数之间都有无穷多个有理数。 0 8 1 4 1 2 1 1 0 和 1 都是有理数，两个数的中点也就是 2 1 ，2 1 可以看成 整数 1 和整数 2 的比，所以 2 1 也是有理数，那么 0 和 2 1 中间 就是 4 1 ，同理它也是有理数，依次可以推出：有无数个有理 数在 0 和 1 之间，所以任意两个有理数之间都有无穷多个有 理数。 性质 2：有理数是不完备的（即不是连续不断的） 0 1 2 2 截取一个边长是 1 的正方形，画出正方形的对角线， 通过勾股定理可以得出对角线为2， 用
4、圆规可以在数轴上找 到该点正好是2， 但我们已知2是无理数， 无法表示为两个 整数之比，所以我们可以得出两个有理数之间不仅有无数个 有理数还有无理数，比如 1 和 2 之间的2，并且我们还可以 进一步得出：不仅仅只有一个无理数，比如 1 和2之间的 2 21 、1 和 2 之间的 1+ 2 2 ，这样依次不断会得出无数多个 无理数，所以有理数之间也有无数多个无理数，因此有理数 是不完备的。 注意：有理数在数轴上表示为无穷多个点，但这些点并 不是一个接一个、连续不断的，而是有一些空隙，这些空隙 也有无穷多个，这些空隙就是无理数。 第二部分：无理数 A：无理数也称无限不循环小数，不能写作两个整数之
5、 比， 常见的有非完全平方数的平方根 （如2） 、 （圆周率） 、 （自然常数）。 无理数最早是由毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现， 一个正方形的对角线与一边的长度是不可度的（有理数都是 可测量可度）。可惜这个发现与该学派“万物皆为数”的哲 理冲突，被其学派杀害无理数的发现还引起了数学第一次危 机，这次危机一直到 19 世纪末数学公理化之后才解决，这 里面德国数学家戴德金用有理数的分割来定义了无理数，并 把实数理论建立在严格的科学基础之上。 B：戴德金分割是将有理数分成两个非空并且不相交的 子集 A、 B,并且使 A 中的每一个数都小于 B 中的任意一个数， A 称为下组，B 称为上组，记成
6、A|B A B 数轴上包含了所有的有理数（无数多个），将它分成了 两部分 A 和 B 满足下面两个条件：AB= AB=Q，即 将有理数 Q 就分成两部分 A 和 B，并且这两部分没有交点。 aA bB，则 a2，。这时 A 中最大的数是 2，B 中最小的数只能确定大于 2，无法知道具体数值。 数轴表示 A (包括 2) B A 中无最大，B 中有最小 （成立） A=x|xQ，x2。这时 A 没有最大值，B 也没有最小值。 A 中有最大，B 中有最小 （不成立） 这种情况会和已知条件矛盾，所以不成立。 设 A 集合有最大值 a，B 集合有最小值 b AB= ab 并且 aQ,bQ 2 ba Q
7、2 ab 也是有理数，而且 2 ab 在数轴是的位置是 a 和 b 的 中间，而 a 和 b 的中间这一位置既不属于 A 集合，也不属于 B 集合，即 2 ab A，且 2 ab B。而 AB=Q 可知有理数只分成 了两部分A和B， 而且A和B包含了所有的有理数， 这与 2 ab Q 相矛盾，古这种情况不成立。 所以通过戴德金分割得出了有理数仅有的三种类型划 分： 1.A 中有最大数，B 中无最小数 2.A 中无最大数，B 中有最小数 3.A 中无最大数，B 中无最小数 前面两种情况是由有理数划分的，例如和中都是 由 2 划分成 A 集合与 B 集合；而第三种情况找不到这样的有 理数划分，也就
8、是说只要是化分成第三种情况的，这个数一 定不是有理数，于是就可以引入相对于有理数的无理数，例 如中的2划分了 A 集合与 B 集合。 第三部分：实数 1：有理数的全体分割构成实数 通过对有理数的戴德金分割我们可以得出一个有理数 （和），也可能得到一个无理数（），那我们把所 有的有理数和无理数加在一起统称为实数。 2：实数是完备的（连续的） 前面我们通过对有理数进行戴德金分割定义了实数，那 我们通过对实数进行戴德金分割可推出一个定理：对实数进 行分割，只有和两种。即对实数进行戴德金分割只会 得到实数，的不出新类型的数，所以实数是完备的：实数在 数轴上一个接一个连续不断没有间隔，需要注意的是，有理
9、 数和实数都是无限多个，但有理数是有空隙、间隔的，而实 数却是连续不断的。 第四部分：证明 0.99=1 证明：将有理数进行戴德金分割，并且分割为两个 QA|B0.99 A=x|xQ,x0.99 B=x|xQ,x0.99 QC|D1 C=x|xQ,x1 D=x|xQ,x1 设 tA 则 t0.99 那么 t1 所以 tC 设 tC 则 t1 t 为有理数，那么 t 可以表示为：t= n m n m 1 mn 1-t=1- n m = n m-n n 1 （m、n 为整数，且 mn q 10 1 q 10 1 t1- q 10 1 1- q 10 1 =0. 个q 999（有限个）0.99（无限
10、个） 即 t0.99 tA 联立和 At Ct CtA t 则 则 A=C A=C A|B=C|D 0.99=1 即由集合 A 和集合 C 相同，可推出将有理数 Q 分割后的 A|B 和 C|D 是完全一样的，两个分割一样即表示 0.99和 1 也一样。 备注：北京大学教材数学分析新讲（张筑生著）： 所有实数都可以写为无限小数的形式：a0.a1a 2an 并规定无尽小数的等同关系为 E1和 E2 E1：-0.000=+0.000 E 2： 999bb.bb p210 =0001bb.bb p210 ）（ （bpq） 如同 E1和 E 2两式中等号左边那样的无尽小数被称为非 规范小数，其他的无尽小数都称为规范小数，所规定的等同 关系将每一个非规范小数等同与一个与它相对应的规范小 数。
