1、MATLABMATLAB应用（三）应用（三） Matlab Matlab在电路中的应用在电路中的应用 MAMATLTLAB AB 中的变量与常量都是矩阵中的变量与常量都是矩阵( (标量可看做标量可看做1 11 1阶的矩阵阶的矩阵，向量可看做向量可看做n n1 1或或1 1n n阶的矩阵阶的矩阵) )，其元素可其元素可以是复数和任意形式的表达式以是复数和任意形式的表达式，它具有元素群运算能力。它具有元素群运算能力。 MATLAB MATLAB的的这些优于其他语言的特色这些优于其他语言的特色，有利于分析有利于分析计算电路的各种问题计算电路的各种问题，并且使编程更简便并且使编程更简便，运算效运算效率
2、率更高。更高。 学习目的：学习目的： 通过介绍通过介绍计算电路问题的编程方法和技巧计算电路问题的编程方法和技巧，逐步熟悉逐步熟悉 MATLABMATLAB语言的语言的使使用。用。 例题的解法本身例题的解法本身，不一定最佳不一定最佳。内容内容: : 电阻电路的求解电阻电路的求解 ( ( 例例1-3 )1-3 ) 动态电路的求解动态电路的求解 ( ( 例例4-7 )4-7 )例题分析过程：例题分析过程： 例题说明例题说明 求解过程：求解过程： 建模建模 Matlab Matlab程序说明程序说明 Matlab Matlab程序运行、结果演示程序运行、结果演示l 电阻电路的求解电阻电路的求解(1)(
3、1) 如如u us s=10=10V V, , 求求i i3 3，u u4 4，u u7 7；( (2)2) 如已知如已知u u4 4=6=6V V， 求求u us s, i , i3 3, , u u7 7。图图1 1 例例1 1的电阻的电阻电路电路 如如图图1 1所示的电路所示的电路，己知己知：R R1 1=2=2，R R2 2=4=4，R R3 3=12=12, , R R4 4=4=4, , R R5 5=12=12, , R R6 6=4=4, , R R7 7=2=2。 对对图示电路图示电路，用网孔电流法，用网孔电流法列写网孔电流方程如下：列写网孔电流方程如下：A)A) 建模建模0
4、)(00)(0)(7655554333321cbacbascbaiRRRiRiiRiRRRiRuiiRiRRR0)(00)(0)(7655554333321cbacbascbaiRRRiRiiRiRRRiRuiiRiRRR写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：scbauiiiRRRRRRRRRRRRR001007655554333321也可直接列写数字方程为：也可直接列写数字方程为：scbauiii00124121201212412120121242R R1 1=2=2， R R2 2=4=4， R R3 3=12=12，R R4 4=4=4R R5 5=12=12，R R6 6=4=4， R R7
5、 7=2=2scbauiii00124121201212412120121242 矩阵方程简写为：矩阵方程简写为：suBAI 令令u us s=10=10V V，求解矩阵方程得到，求解矩阵方程得到i ia a、i ib b、i ic c 。 再由再由i i3 3=i=ia a-i -ib b ，u u4 4=R=R4 4i ib b ，u u7 7=R=R7 7i ic c 即可得即可得到问题到问题(1)(1)的解的解 根据电路的线性性质，可令根据电路的线性性质，可令i i3 3=k=k1 1u us s ， u u4 4=k=k2 2u us s , u , u7 7=k=k3 3u us
6、s , , 由问题由问题(1)(1)的解的解 求得比例系数，进一步使问题求得比例系数，进一步使问题(2)(2)得得 到解答。到解答。 具体根据问题具体根据问题(1)(1)的结果可列出以下的表达式：的结果可列出以下的表达式：sssuukuukuik734231,因此，通过下列表达式即可求得问题因此，通过下列表达式即可求得问题(2)(2)的解：的解：423374211324,ukkukuukkukikuusssB)B) MatlabMatlab程序程序( Ex01.m )( Ex01.m )c clear,lear, c close alose allll, , format compactfor
7、mat compactR1=2;R2=4;R3=12;R4=4;R5=12;R6=4;R7=2;R1=2;R2=4;R3=12;R4=4;R5=12;R6=4;R7=2; % % 为给定元件赋值为给定元件赋值displaydisplay( ( 解问题解问题 (1)(1) % % 解问题解问题 (1)(1)a11=R1+R2+R3;a11=R1+R2+R3; a12=-R3;a12=-R3; a13=0;a13=0; % % 将系数矩阵各元素赋值将系数矩阵各元素赋值a21=-R3;a21=-R3; a22=R3+R4+R5;a22=R3+R4+R5; a23=-R5; a23=-R5; a31=
8、0;a31=0; a32=-R5;a32=-R5; a33=R5+R6+R7;a33=R5+R6+R7;b1=1;b2=0;b3=0;b1=1;b2=0;b3=0;us=inputus=input( 给定给定 us=),us=), % % 输入解输入解 (1) (1) 的已知条件的已知条件A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33; ; % % 列出系数矩阵列出系数矩阵A AB=b1;0;0;B=b1;0;0; I=AB I=AB* *us; us; % % I=ia;ib;icI=ia;
9、ib;icia=I(1ia=I(1);); ib=I(2);ib=I(2); ic=I(3);ic=I(3);i3=ia - ib, u4=R4i3=ia - ib, u4=R4* *ib, u7=R7ib, u7=R7* *ic ic % % 解出所需交量解出所需交量display( display( 解问题解问题 (2)(2) % % 利用电路的线性性质及问题利用电路的线性性质及问题 (1) (1) 的解求解问题的解求解问题 (2)(2)u u42=input( 42=input( 给定给定 u42=);u42=);k k1=i3/us;1=i3/us; k2=u4/us;k2=u4/us
10、; k3=u7/us;k3=u7/us; % % 由问题由问题 (1) (1) 得出待求量与得出待求量与 us us 的比例系数的比例系数us2=u42/k2,us2=u42/k2, i32=k1/k2i32=k1/k2* *u42,u42, u72=k3/k2u72=k3/k2* *u42u42 % % 按比例方法求出所需交量按比例方法求出所需交量scbauiii00124121201212412120121242C)C) 程序运行结果程序运行结果解问题解问题 (1) (1) 给定给定 us=10us=10i3 = 0.3704 i3 = 0.3704 ， u4 = 2.2222 u4 =
11、2.2222 ， u7 = 0.7407u7 = 0.7407解问题解问题 (2) (2) 给定给定 u42=6u42=6us2 = 27.0000 us2 = 27.0000 ， i32 = 1.0000 i32 = 1.0000 ，u72 = 2u72 = 2 运行结果：运行结果： 电路的解：电路的解：(1)(1)i i3 3=0.3704A,=0.3704A, u u4 4=2.2222V,=2.2222V, u u7 7=0.7404V=0.7404V(2)(2)us=27V,us=27V, i i3 3=1A,=1A, u u7 7=2V=2VEx01.m补充说明：补充说明： 实际中
12、，实际中，如果熟悉列方程的方法如果熟悉列方程的方法 , , 那么在编写那么在编写MATLABMATLAB程序时可直接写出程序时可直接写出A A和和B B为为：从而可省去给元件和矩阵各元素赋值等语句。从而可省去给元件和矩阵各元素赋值等语句。0012412120;121241212; 0121242BA 对如对如图图2 2所示的电路所示的电路，已知已知R R1 1=R=R2 2=R=R3 3=4=4, R, R4 4=2=2, , 控制常数控制常数 K K1 1=0.5, k=0.5, k2 2=4, i=4, is s=2A, =2A, 求求 i i1 1和和i i2 2。图图2 2 例例2 2
13、的的电路电路 对对图示电路图示电路，用节点电压法列写方程得：，用节点电压法列写方程得：312214322212211111111RikikuRRRuRikiuRuRRbasbaA)A) 建模建模uaub 根据根据图示电路图示电路，控制变量，控制变量i i1 1、i i2 2与节点电与节点电压压u ua a、u ub b的关系为：的关系为：4221,RuiRuuibba 整理以上整理以上两式，两式，将将i i1 1、i i2 2也作为未知量也作为未知量，和前面的节点电压共同组成，和前面的节点电压共同组成方程方程 , , 并写成矩阵形式并写成矩阵形式有：有：sbaiiiuuRRRkRkRRRRkR
14、RR000110100111111101112142213243221221 令令 i is s=2A=2A，求，求解上式即解上式即可可得得到到i i1 1和和i i2 2 。uaubB)B) MatlabMatlab程序程序( Ex02.m )( Ex02.m )c clear,lear, format compactformat compactR R1 1=4=4; ; R2=4R2=4; ; R3=4R3=4; ; R4=2R4=2; % ; % 设置元件参数设置元件参数is=2is=2; ; k k1 1=0.5=0.5; ; k2=4k2=4; ; % % 按按A A* *X=BX=
15、B* *isis列写电路的矩阵方程列写电路的矩阵方程，其中其中X=uaX=ua; u; ub b; ; i i1; 1; i2i2。a a1111= =1 1/R/R1 1+ +1 1/R2/R2; ; a a1 12=-2=-1 1/R2/R2; ; a a1 13=03=0; ; a a1 14=-k4=-k1; % 1; % 设置系数设置系数A Aa2a21 1=-=-1 1/R2/R2; ; a22=a22=1 1/R2+/R2+1 1/R3+/R3+1 1/R4/R4; ; a23=-k2/R3a23=-k2/R3; ; a24=ka24=k1; 1; a3a31 1= =1 1/R
16、2/R2; ; a32=-a32=-1 1/R2/R2; ; a33=-a33=-1; 1; a34a34= =0 0; ;a4a41 1=0=0; ; a42=a42=1 1/R4/R4; ; a43=0a43=0; ; a44=-a44=-1;1;A=a1A=a11 1,a,a1 12,a2,a1 13,a3,a1 14 4; ; a2a21 1,a22,a23,a24,a22,a23,a24; ; a3a31 1,a32,a33,a34,a32,a33,a34; ; a4a41 1,a42,a43,a44,a42,a43,a44; ;B=B=1; 1; 0 0; ; 0 0; ; 00;
17、 % ; % 设置系数设置系数B BX=ABX=AB* *is;is;i1=X(3), i2=X(4) % i1=X(3), i2=X(4) % 显示显示要求的分量要求的分量sbaiiiuuRRRkRkRRRRkRRR000110100111111101112142213243221221Ex02.mC)C) 程序运行结果程序运行结果( (电路的解电路的解) )i i1 1 = 1 = 1 ，i i2 2 = 1 = 1sbaiiiuuRRRkRkRRRRkRRR000110100111111101112142213243221221 对如对如图图3 3所示的电路所示的电路，已知已知R R1
18、1=4=4, R, R2 2=2=2, R, R3 3=4=4，R R4 4=8=8；i is1 s1=2A=2A，i is2s2=0.5A=0.5A。图图3 3 例例3 3的的电路电路( 1 ) ( 1 ) 负载负载R RL L为何值时能获得最为何值时能获得最 大功率大功率 ? ?( ( 2 2 ) ) 研究研究R RL L在在 001010范围内变范围内变 化时化时 , , 其吸收功率的情况。其吸收功率的情况。 用戴维南等效电路来求解。对图用戴维南等效电路来求解。对图3(a)3(a)电电路路，断开断开aoao, , 并在并在aoao端接入外电流源端接入外电流源i ia a, , 如图如图3
19、 3(b)(b)所示。所示。以以o o为参考点列节点方程为参考点列节点方程得：得：A)A) 建模建模asaassaiiuRRuRuRuRuRRRuRiiuRuRuRR243231432321112142114111110111111111图图3 3 例例3 3的的电路电路前面的方程写成矩阵形式为：前面的方程写成矩阵形式为：43343321141411111111111111RRRRRRRRRRRRRAassaiiiuuu2121110000011A其中：其中：asaassaiiuRRuRuRuRuRRRuRiiuRuRuRR14323143232111214211411111011111111
20、1戴维南等效电路如图戴维南等效电路如图3(c)3(c)所示，其方程为：所示，其方程为：ocaeqauiRu图图3 3 例例3 3的等效的等效电路电路方法方法： 令令 i ia a=0,=0, i is1 s1=2A,=2A, i is2s2=0.5A,=0.5A, 由由矩阵方程求得矩阵方程求得u u11 11，u u2121，u ua1a1。因。因i ia a=0, =0, 由由戴维南等效电路方程得：戴维南等效电路方程得：u uococ=u=ua1a1。 再令再令i is1 s1=i=is2s2=0=0，i ia a=1A=1A, , 仍由仍由矩阵方程可求得另一组矩阵方程可求得另一组u u12
21、12，u u2222，u ua2a2。由于。由于内部电源内部电源i is1 s1=i=is s2 2=0 0，故故u uococ=0=0。从而。从而由由戴维南戴维南等效电路方程有：等效电路方程有：22aaaequiuRocaeqauiRuocaeqauiRu 于是，原电路戴维南等效电路于是，原电路戴维南等效电路如图如图3(d)3(d)所示，负载所示，负载R RL L获得最大功获得最大功率时有率时有: :eqocLeqLRuPRR42max图图3 3 例例3 3的等效的等效电路电路 至于至于问题问题( (2), 2), 由图由图3 3( (d d) )可得可得R RL L吸收功率为：吸收功率为：
22、22)(LeqocLLRRuRP再再令令 R RL L=l=l，2 2，3 3，1O1O，即可由上式分别，即可由上式分别求求得得P PL L, , 并画图。并画图。 可可设设ia ia为一个序列为一个序列( (如如ia=0.1ia=0.1，0.20.2，2)2)，计算相计算相应的应的u ua a序列序列，再，再用线性拟合用线性拟合，得出得出如下的如下的直线方程直线方程：方法方法：)1()2(cicuaa 从而求得：从而求得：)2(,)1(cRcueqocB)B) MatlabMatlab程序程序 ( Ex03-1.m )( Ex03-1.m )c clear,lear, format comp
23、actformat compactR R1 1=4;=4; R2=2;R2=2; R3=4;R3=4; R4=8;R4=8; % % 设置元件参数设置元件参数isis1=2; is2=0.5; 1=2; is2=0.5; % % 按按A A* *X=BX=B* *isis列写此电路的矩阵方程列写此电路的矩阵方程, ,其中其中X=u1; u2; ua; is=is1; is2; iaX=u1; u2; ua; is=is1; is2; iaa11=1/R1+1/R4; a12=-1/R1; a13=-1/R4; % a11=1/R1+1/R4; a12=-1/R1; a13=-1/R4; % 设
24、置系数矩阵设置系数矩阵a21=-1/R1; a22=1/R1+1/R2+1/R3; a23=-1/R3; a21=-1/R1; a22=1/R1+1/R2+1/R3; a23=-1/R3; a31=-1/R4; a32=-1/R3; a33=1/R3+1/R4;a31=-1/R4; a32=-1/R3; a33=1/R3+1/R4;A=a11,a12,a13; a21,a22,a23; a31,a32,a33;A=a11,a12,a13; a21,a22,a23; a31,a32,a33;B=1,1,0; 0,0,0; 0,-1,1; % B=1,1,0; 0,0,0; 0,-1,1; % 设
25、置系数矩阵设置系数矩阵B B% % 方法方法: : 令令 ia=0, ia=0, 求求uoc=x1(3); uoc=x1(3); 再令再令is1=is2=0, is1=is2=0, 设设ia=1, ia=1, 求求Req=ua/ia=x2(3).Req=ua/ia=x2(3).Xl=ABXl=AB* *is1; is2; 0; uoc=X1(3)is1; is2; 0; uoc=X1(3)X2=ABX2=AB* *0; 0; 1; Req=X2(3)0; 0; 1; Req=X2(3)RL=Req; P=uoc2RL=Req; P=uoc2* *RL/(Req+RL)2 % RL/(Req+R
26、L)2 % 求最大负载功率求最大负载功率% % 也可设也可设RLRL为一数组为一数组, ,求出的负载功率也为一数组求出的负载功率也为一数组, , 画出曲线找极大值画出曲线找极大值RL=0:10, p=(RLRL=0:10, p=(RL* *uoc./(Req+RL).uoc./(Req+RL).* *uoc./(Req+RL),% uoc./(Req+RL),% 设设RLRL序列序列, ,求其功率求其功率figure(1), plot(RL,p), gridfigure(1), plot(RL,p), grid % % 画出功耗随画出功耗随RLRL变化的曲线变化的曲线xlabel(RL),yl
27、abel(p)xlabel(RL),ylabel(p)MatlabMatlab程序程序 ( Ex03-2.m ) ( Ex03-2.m )c clear,lear, format compactformat compactR R1 1=4;=4; R2=2;R2=2; R3=4;R3=4; R4=8;R4=8; % % 设置元件参数设置元件参数isis1=2; is2=0.5; 1=2; is2=0.5; % % 按按A A* *X=BX=B* *isis列写此电路的矩阵方程列写此电路的矩阵方程, ,其中其中X=u1; u2; ua; is=is1; is2; iaX=u1; u2; ua;
28、is=is1; is2; iaa11=1/R1+1/R4; a12=-1/R1; a13=-1/R4; % a11=1/R1+1/R4; a12=-1/R1; a13=-1/R4; % 设置系数矩阵设置系数矩阵a21=-1/R1; a22=1/R1+1/R2+1/R3; a23=-1/R3; a21=-1/R1; a22=1/R1+1/R2+1/R3; a23=-1/R3; a31=-1/R4; a32=-1/R3; a33=1/R3+1/R4;a31=-1/R4; a32=-1/R3; a33=1/R3+1/R4;A=a11,a12,a13; a21,a22,a23; a31,a32,a33
29、;A=a11,a12,a13; a21,a22,a23; a31,a32,a33;B=1,1,0; 0,0,0; 0,-1,1; % B=1,1,0; 0,0,0; 0,-1,1; % 设置系数矩阵设置系数矩阵B B% %方法方法: : 设一个设一个iaia序列序列, , 计算一个计算一个uaua序列序列, , 用线性拟合求出其等效开路电压和等效内用线性拟合求出其等效开路电压和等效内阻阻for k=1:21for k=1:21 ia(k)=(k-1) ia(k)=(k-1)* *0.1;0.1; X=AB X=AB* *is1; is2; ia(k); % is1; is2; ia(k); %
30、 定义定义 X=u1; u2; uaX=u1; u2; ua u(k)=X(3); u(k)=X(3);endendfigure(2), plot (ia,u,x), grid % figure(2), plot (ia,u,x), grid % 线性拟合线性拟合xlabel(ia),ylabel(ua)xlabel(ia),ylabel(ua)c=polyfit(ia,u,1); % ua=c(2)c=polyfit(ia,u,1); % ua=c(2)* *ia+c(1), ia+c(1), 用拟合函数求用拟合函数求c(1),c(2)c(1),c(2)uoc=c(1), Req=c(2)u
31、oc=c(1), Req=c(2)C)C) 程序运行结果程序运行结果u uococ=5=5V V, , Req=5Req=5 , , Pmax=1.25 Pmax=1.25W W. .(a) (a) 功率随负载的变化曲线功率随负载的变化曲线Ex03_1.MC)C) 程序运行结果程序运行结果(b) (b) 电路对负载的输出特性电路对负载的输出特性Ex03_2.M)1()2(cicuaa52.056)1()2(5)1(aaeqocicucRVcul 动态电路的求解动态电路的求解一阶动态电路如图一阶动态电路如图4 4所示所示，己知己知: : R Rl l=3=3, R, R2 2=2 2, , R
32、R3 3=6=6，C=1FC=1F；u us s=18V=18V，i is s=3A=3A，在在t t0 0时时，开关开关S S位于位于“1 1”，电路已处于稳定状态。电路已处于稳定状态。图图4 4 动态动态电路电路( 1 ) ( 1 ) t=0t=0时时，开关开关S S闭合到闭合到“2 2”， 求求 u uc c，i iR2R2(t)(t)，并画出波形并画出波形；( 2 ) ( 2 ) 若经若经1010秒秒，开关开关S S又复位到又复位到“1 1”， 求求u uc c(t)(t)，i iR R2 2( (t) t)，并画出波形并画出波形。 对该对该一阶动态电路一阶动态电路可用通用的解可用通用
33、的解决方案决方案 式式(2.33)(2.33)(也称也称三要素三要素法法) )求解。求解。A)A) 建模建模)(00)()(ttffextxxtx(2.33)(1)(1) 首先求首先求初始值初始值u uc c( (O O+ +) )和和i iR2R2( (O O+ +) )。 为此为此，先求先求u uc c( (O O- -) )，在在t=t=0 0- -时，时，开关位于开关位于“1 1”，电路已达到稳定。电路已达到稳定。电容可看做开路电容可看做开路，不难求得不难求得u uc c( (O O- -)=)=- -12V12V。 根据换路根据换路定则定则( (电容电压不变电容电压不变) )，得得电
34、容初始电压电容初始电压u uc c( (O O+ +)=u)=uc c( (O O- -) )=-12V=-12V。Vuucc12)0()0( 在在t t=0 0时时，开关己闭合到开关己闭合到“2 2”，可求得非独立初始值可求得非独立初始值i iR2R2( (O O+ +) )为：为：ARuicR1)0()0(22 其次求其次求稳定值稳定值。 达到稳态时电容可看做开路达到稳态时电容可看做开路，于是可得于是可得：sRsciRRRiiRRRRu32323232)()( 时间常数为：时间常数为：CRRRR32321 因此，解为：因此，解为：0)()0()()(0)()0()()(112222teii
35、ititeuuututRRRRtcccc)(00)()(ttffextxxtx(2.33)(2)(2) 经经1010秒后秒后，开关又闭合到开关又闭合到“1 1”，将将 t= t=1010代入代入前面的电压表达式可前面的电压表达式可得电得电 容电压的初始值为容电压的初始值为：0)()0()()(0)()0()()(112222teiiititeuuututRRRRtcccc 由图可见这时由图可见这时 并保持不变并保持不变。)10()10(ccuu 达到稳定时达到稳定时，这时时间常数为：，这时时间常数为：AiisR3)10(2Vuc12)(CRRRR31312 利用通用公式，得到利用通用公式，得到
36、u uc c(t)(t)、i iR2R2(t)(t)为：为：10,)()10()(100,2412)(21)10(teuuutetutccctc10,3100,21)(12ttetitR)(00)()(ttffextxxtx(2.33)ViRRRRusc123612612)(3232AiRRRisR136126)(3232AiR1)0(2Vuucc12)0()0(B)B) MatlabMatlab程序程序 ( Ex04.m )( Ex04.m )c clear,lear, c close alose allll, , format compactformat compactR1=3;R1=3;
37、 us=18;us=18; is=3;is=3; R2R2=1=12;2; R3=6;R3=6; C=1;C=1; % % 给出原始数据给出原始数据 % % 解问题解问题(1)(1)uc0=-12; ir20=uc0/R2; ir30=uc0/R3; % uc0=-12; ir20=uc0/R2; ir30=uc0/R3; % 算出初值算出初值ir20ir20及及ucOucOi ic0=is-ir20-ir30;c0=is-ir20-ir30;ir2f=isir2f=is* *R3/(R2+R3); % R3/(R2+R3); % 算出终值算出终值ir2fir2f及及ucf ir3f=isuc
38、f ir3f=is* *R2/(R2+R3);R2/(R2+R3);ucf=ir2fucf=ir2f* *R2; icf=0;R2; icf=0;% % 注意时间数组的设置注意时间数组的设置, ,在在t=Ot=O及及1010附近设两个点附近设两个点, ,见图见图4(a) 4(a) t=t= -2:0-2:0 -eps, 0:9, 10-eps, 10+eps, 11:20;-eps, 0:9, 10-eps, 10+eps, 11:20;figure(1), plot(t), gridfigure(1), plot(t), grid% % 从图从图(a)(a)中可看出时间与时间数纽下标的关系中
39、可看出时间与时间数纽下标的关系, t=10+eps, t=10+eps对应下标对应下标1515uc(1:3)=-12; ir2(1:3)=3; % t0uc(1:3)=-12; ir2(1:3)=3; % t0 0，表现为过阻尼，其解为：，表现为过阻尼，其解为：tsLctsLcLtsLctsLccessCiusCsessCiusCstiessCiusessCiustu212112121221121122)0()0()0()0()()0()0()0()0()(式中：式中：20222021,ss在此在此 ，5.122LR1010LCtstseAeAti2121220)(:过阻尼解过阻尼解其其初始值
40、为：初始值为：CidtduanduLtcc)0()0(0 对微分方程作拉对微分方程作拉氏氏变换变换，考虑到初始条件考虑到初始条件，可得可得：方法方法：整理可得：整理可得：022022cccudtdudtud0)()0()(2)0()0()(202sUussUdtdususUscccccc2022)0()0(2)0()(ssCiususULccc 对上式求拉氏反变换即可得到时域的表达式，对上式求拉氏反变换即可得到时域的表达式，将等式将等式右右端的多项式分解为部分分式端的多项式分解为部分分式，得得：2211)(ssrssrsUc其中其中n numum和和denden分别为分别为分子、分母多项式系数
41、组成的数组。进而写出分子、分母多项式系数组成的数组。进而写出： s s1 1，s s2 2，r r1 1和和r r2 2可以用代数方法求出可以用代数方法求出, , 在在MATLABMATLAB中有中有residueresidue函数函数, , 专专门门用来求多项式分式的极点和留数用来求多项式分式的极点和留数，其格式为其格式为：),(,dennumresiduekpr)*)2(exp(*)2()*)1(exp(*)1(tsrtsru这样就无需求出其显式这样就无需求出其显式，使得，使得程序特别简明。程序特别简明。2211)(ssrssrsUc 上式上式中中，s sl l和和s s2 2是多项式分式
42、的极点是多项式分式的极点，r r1 1和和r r2 2是是它们对应的留数。它们对应的留数。从而从而有有：tstscerertu2121)(B)B) MatlabMatlab程序程序 ( Ex06.m )( Ex06.m )c clear,lear, c close alose allll, , format compactformat compactL=0.5;L=0.5; R=12.5;R=12.5; C=0.02;C=0.02; % % 输入元件参数输入元件参数ucO=1;ucO=1; iLO=0;iLO=0;alpha=R/2/L;alpha=R/2/L; w w0 0=sqrt(1/(
43、L=sqrt(1/(L* *C);C); % % 输入给定参数输入给定参数s s1=-1=-alpha+sqrt(alpha2-w02alpha+sqrt(alpha2-w02) % ) % 方程的两个根方程的两个根 s2=-alpha-sqrt(alpha2-w02)s2=-alpha-sqrt(alpha2-w02)dt=0.01; t=0:dt:1; % dt=0.01; t=0:dt:1; % 设定时间数组设定时间数组% % 方法方法, ,用公式用公式uc1=(s2uc1=(s2* *ucO-iLO/C)/(s2-sl)ucO-iLO/C)/(s2-sl)* *exp(s1exp(s1
44、* *t); % uct); % uc的第一个分量的第一个分量 uc2=-(s1uc2=-(s1* *ucO-iLO/C)/(s2-s1)ucO-iLO/C)/(s2-s1)* *exp(s2exp(s2* *t); % uct); % uc的第二个分量的第二个分量iL1=s1iL1=s1* *C C* *(s2(s2* *ucO-iLO/C)/(s2-sl)ucO-iLO/C)/(s2-sl)* *exp(s1exp(s1* *t); % iLt); % iL的第一个分量的第一个分量 iL2=-s2iL2=-s2* *C C* *(s1(s1* *ucO-iLO/C)/(s2-s1)ucO-
45、iLO/C)/(s2-s1)* *exp(s2exp(s2* *t); % iLt); % iL的第二个分量的第二个分量uc=uc1+uc2; iL=iL1+iL2; % uc=uc1+uc2; iL=iL1+iL2; % 把两个分量相加把两个分量相加% % 分别画出两种数据曲线分别画出两种数据曲线subplot(2,1,1), plot(t, uc), gridsubplot(2,1,1), plot(t, uc), gridsubplot(2,1,2), plot(t, iL), gridsubplot(2,1,2), plot(t, iL), grid% % 方法方法, ,用拉普拉斯变换
46、及留数法用拉普拉斯变换及留数法num=uc0, R/Lnum=uc0, R/L* *ucO+iLOucO+iLO/C; % /C; % ucuc(s)(s)的分子系数多项式的分子系数多项式den=1, R/L, 1/L/C; % den=1, R/L, 1/L/C; % ucuc(s)(s)的分母系数多项式的分母系数多项式 r r,s,s,k k=residue(=residue(num,dennum,den); ); % % 求极点留数求极点留数% % 求时域函数求时域函数ucnucn, , 对对ucnucn求导得到电流求导得到电流iLniLn ucnucn=r(1)=r(1)* *exp(
47、s(1)exp(s(1)* *t)+r(2)t)+r(2)* *exp(s(2)exp(s(2)* *t); t); iLniLn=C=C* *diff(diff(ucnucn)/)/dtdt; % ; % % % 绘曲线绘曲线, ,注意求导后数据长度减少一个注意求导后数据长度减少一个figure(2), subplot(2,1,1),figure(2), subplot(2,1,1),plot(t, plot(t, ucnucn), grid % ), grid % 绘曲线绘曲线subplot(2,1,2subplot(2,1,2),),plot(t(1:end-1),plot(t(1:en
48、d-1),iLniLn), grid), gridC)C) 程序运行结果程序运行结果电压电压u uc c和电流和电流i iL L的波形的波形Ex06_1.mEx06_2.mEx06.m考察考察二阶二阶欠欠阻尼电路的阻尼电路的固有响应固有响应( (零输入响应零输入响应) )，电，电路同例路同例6 6。如如L=0L=0. .5H5H，C=0.02FC=0.02F。初始值初始值u uc c( (O O)=)=lvlv, , i iL L=0 0, , 试研究试研究R R分分别为别为1 1, ,2 2,3,3,1O,1O时时,u,uc c(t)(t)和和i iL L(t)(t)的的固有固有响应响应,
49、,并画出波形图并画出波形图。电路的微分方程同例电路的微分方程同例6,6, 为：为：A)A) 建模建模022022cccudtdudtud其中其中 , , 谐振角频率谐振角频率 , , 且有且有 。LR2LC10220d 在此在此0 0=10=10，当当R=1R=1,2,2,3,3,1O,1O时时，=1,2,3,=1,2,3, 1010，显然显然=0 0=10=10为临界阻尼为临界阻尼, , 其余为欠阻尼其余为欠阻尼( (衰减振荡衰减振荡) )情况情况, , 这时方程的解为这时方程的解为：)sin()()sin()(0tCAettitAetudtLdtc式中式中)0()0()0(arctan)0
50、()0(arctan)0()0()0(2222cdLLdcLcddcLcuCiCiuCiuuCiuA同样可用拉氏变换及留数法求解，具体见程序。同样可用拉氏变换及留数法求解，具体见程序。B)B) MatlabMatlab程序程序 ( Ex07_1.m )( Ex07_1.m )c clear,lear, c close alose allll, , format compactformat compactL=0.5;L=0.5; C=0.02;C=0.02; % % 输入元件参数输入元件参数ucO=1;ucO=1; iLO=0;iLO=0;for R=1:10for R=1:10 alpha=R
