1、一元二次方程一元二次方程的应用的应用1.1.审题审题2.2.设未知数设未知数3.3.找出问题中的等量关系找出问题中的等量关系4.4.列方程列方程5.5.解方程解方程6.6.检验并作答检验并作答运用方程模型解决实际问题的步骤运用方程模型解决实际问题的步骤 （一）增长率问题（一）增长率问题 例例1 1、某市某市20142014年投入教育经费年投入教育经费25002500万元万元，2 2015015年投年投入教育经费入教育经费30253025万元，万元，求这两年求这两年教育投入教育投入年平均增长率年平均增长率. . 25002500（1+1+x）=3025=3025整理，得整理，得 （1+1+x）=
2、1.21=1.21解得解得 x1 1=0.1=10%=0.1=10%， x2 2=-0.1=-0.1答：答：这两年的年平均增长率为这两年的年平均增长率为1 10%.0%.解：解：设这两年的年平均增长率为设这两年的年平均增长率为x，得：，得：（舍去）舍去） 例例1 1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由降价，每瓶零售价由100100元元降为降为8181元元. .求平均每次降价的百分率求平均每次降价的百分率。举举例例 100（1-x）=81解得解得 x1=0.1=10%, x2=1.9答：平均每次降
3、价的百分率为答：平均每次降价的百分率为10%.10%. 解：解：设平均每次降价的百分率为设平均每次降价的百分率为x，得得(不合题意，舍去不合题意，舍去) 变例变例4 4、某超市某超市20162016年三月份的销售额为年三月份的销售额为100100万元万元，二月份下降了二月份下降了20%20%，从四月份起改进经营措施，从四月份起改进经营措施，销售额销售额稳步上升，五月份达到稳步上升，五月份达到135.2万元，万元，求求四五月份四五月份平均平均每月的每月的增长率增长率. . （二）成批商品利润问题（二）成批商品利润问题 例例2 2 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品元的价
4、格购进一批商品.若每件若每件商品的售价商品的售价为为x元，则可卖出（元，则可卖出（350-10 x）件，但物价局限定）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的每件商品的售价不能超过进价的120.若该商店计划从这批若该商店计划从这批商品中获取商品中获取400元利润问需要卖出多少件商品，此时的售价元利润问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？是多少？举举例例 （售价（售价- -进价）进价）销售量销售量= =利润利润. .你能找出你能找出问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系吗？吗？ （x-21)()(350-10 x）=400 整理，得整理，得 x-56x+775=0解得解得 x1=25,
5、x2=31. 注意：注意：21120%=25.2，即售价不能超过，即售价不能超过25.2元，元，所以所以x=31不合题意，不合题意，应当舍去应当舍去.故故x=25.答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元. 你能你能根据等量关系根据等量关系列出方程吗？列出方程吗？从而卖出从而卖出350-10 x=350-1025=100（件）（件） 你认为你认为运用一元二次方程解实际运用一元二次方程解实际问题的关键是什么问题的关键是什么？找出问题中的等量关系找出问题中的等量关系说一说说一说例例3.3.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装2020件，每
6、件可盈利件，每件可盈利4444元若每件降价元若每件降价1 1元，则每天可多售元，则每天可多售出出5 5件若要平均每天盈利件若要平均每天盈利16001600元，则应降价多少元？元，则应降价多少元？解：设应降价解：设应降价x元，则元，则(44-x)(20+5x)=1600整理，得整理，得 x-40 x+144=0解得解得 x1=36, x2=4答：应降价答：应降价3636元或元或4 4元。元。总利润每件利润总利润每件利润件数件数例例4.4.某某商场将进货单价为商场将进货单价为4545元的元的服装服装以每件以每件6565元售出，元售出，平均每天可销售平均每天可销售3 30 0件，件，由于换季，为了尽
7、快减少库存，由于换季，为了尽快减少库存，商场决定降价，商场决定降价，若每件降价若每件降价1 1元，则每天可多售出元，则每天可多售出5 5件若要平均每天盈利件若要平均每天盈利800800元，则应降价多少元？元，则应降价多少元？解：设应降价解：设应降价x元，则元，则(20-x)(30+5x)=800整理，得整理，得 x-14x+40=0解得解得 x1=4, x2=10答：应降价答：应降价3636元或元或4 4元。元。变变. .某某商场将进货单价为商场将进货单价为4545元的元的服装服装以每件以每件6565元售出，元售出，平均每天可销售平均每天可销售3 30 0件，若每件件，若每件涨涨价价1 1元，
8、则每天可元，则每天可少少售售出出5 5件若要平均每天盈利件若要平均每天盈利800800元，则应降价多少元？元，则应降价多少元？解：设应降价解：设应降价x元，则元，则(20+x)(30-5x)=800面积问题面积问题举举例例例例1 如图如图2-2，一块长和宽分别为，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩的矩 形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长求截去的小正方形的边长.底面长底面长宽宽 = = 底面积底面积你能找出你能找出问
9、题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系吗？吗？ 若设截去的小正方形的边长为若设截去的小正方形的边长为xcmcm，则无盖长方，则无盖长方体盒子的底面边长分别为体盒子的底面边长分别为(40-2(40-2x)cm)cm，(28-2(28-2x)cm)cm，根据等量关系根据等量关系你能列出方程吗？你能列出方程吗？解得解得 x1=27，x2=7 3440034 2017 10.2 12x 整理得：整理得： x2- -34x+189=0. a=1，b=- -34，c=189，b2- -4ac =( (- -34) )2- -41189=( (217) )2- -4189 = 4( (172- -189)
10、)=4( (289- -189) )=400，(40-2(40-2x)(28-2)(28-2x)=364)=364接下来请你解出此一元二次方程接下来请你解出此一元二次方程两个根都符合题意吗？两个根都符合题意吗？答：截去的小正方形的边长为答：截去的小正方形的边长为7 cm例例4 4 如图如图2-42-4，一长为，一长为32m32m、宽为、宽为24m24m的矩形地的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化余下部分进行了绿化. .若已知绿化面积为若已知绿化面积为540m540m，求道路的宽求道路的宽. . 举举例例分析分析 虽然“整个矩
11、形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。分析分析 若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系是什么？是什么？矩形面积=矩形的长矩形的宽若设道路宽为若设道路宽为x m m，则新矩形的边长为，则新矩形的边长为(32-(32-x)m)m，宽，宽为为(20-(20-x)m)m，根据等量关系根据等量关系你能列出方程吗？你能列出方程吗？(32-(32-x)(20-)(20-x)=540)=540 整理，得整理，得 x-52x+100=0解得解得 x1=2 , x2=50又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？又要问自己一个问题
12、：两个根都符合题意吗？ x2=5032 ，不符合题意，舍去，不符合题意，舍去,故故 x=2.答：答：道路的宽道路的宽为为2 2米米. .练习练习3. 如图，如图， 在长为在长为100m、宽为、宽为80m 的矩形地面上要修建的矩形地面上要修建两条同样宽两条同样宽且互相垂直且互相垂直的道路，余下部分的道路，余下部分进行绿化进行绿化若若要使绿化要使绿化面积面积为为7644 m2，则路宽应为多，则路宽应为多少少米米？解解设设修建的路宽应为修建的路宽应为x米米，则根据题意得，则根据题意得化简，得化简，得2100 +80=100 80 7644xx x-2180 +356=0 xx- -解得解得12x =
13、2178x =（不合题意，舍去不合题意，舍去）修建的路宽应为修建的路宽应为2m.答：答：100m80m例例5 5 如图如图2-62-6所示，在所示，在ABC中，中，C=90， AC=6cm，BC=8cm. .点点P沿沿AC边从点边从点A向终点向终点C以以1cm/s的速度移动；同时点的速度移动；同时点Q沿沿CB边从点边从点C向终点向终点B以以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动另一点也随之停止移动. .问点问点P，Q出发几秒后可使出发几秒后可使PCQ的面积为的面积为9cm？变：出发多少秒后变：出发多少秒后P、Q两两点之间的距离为点
14、之间的距离为24 问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系是什么？是什么？两直角边的乘积的一半两直角边的乘积的一半 = = 直角三角形的面积直角三角形的面积SPCQ=PCCQ 你能你能根据等量关系根据等量关系列出方程吗？列出方程吗？根据题意得根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 若设点若设点P，Q出发出发xs后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm整理，得整理，得解得解得 x1= x2=3答答：点点P，Q出发出发3s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm.习题习题4 4.如图，在RtABC中，C=90，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿
15、AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为RtABC面积的一半？答：点答：点P，Q同时出发同时出发2s后可使后可使可使可使PCQ的面积为的面积为 RtABC面积的一半面积的一半.整理，整理， 得得.21424 = 0 xx+-. 111686 8222xx（）（）则由则由SPCQ= 可得可得 12PC CQ解得解得.12= 2 =12xx，（不合题意，舍去不合题意，舍去）则根据题意得则根据题意得AP=BQ=xcm，PC=（8- -x）cm，CQ=（6- -x）cm. .解解设点设点P，Q 出发出发x秒
16、后可使秒后可使PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半，面积的一半，例例1 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙（围墙MN最长可利用最长可利用25m），现在已备足可以砌），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，长的墙的材料，（1 1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m（2）矩形花园的面积能否达到矩形花园的面积能否达到500m解解设设AB=xm，则则BC=（502x）m根据题意可得，根据题意可得， x（502x）=300解得：解得： x1=
17、10，x2=15，当当x=10，BC=501010=3025，故故x1=10不不合题合题意舍去意舍去.答：可以围成答：可以围成AB的长为的长为15米，米，BC为为20米的矩形米的矩形 如图，小亮家想用房屋的一面长如图，小亮家想用房屋的一面长5m5m的的墙墙再砌三面墙围成再砌三面墙围成一个矩形猪舍，现在已备足可以砌一个矩形猪舍，现在已备足可以砌10m长的墙的材料长的墙的材料（1 1）如何砌法，使矩形猪舍的面积为）如何砌法，使矩形猪舍的面积为12m（2）矩形猪舍的面积能否达到为矩形猪舍的面积能否达到为14m 建立一元二建立一元二次方程模型次方程模型实际问题实际问题分析数量关系分析数量关系设未知数设未知数实际问题的解实际问题的解解一元二次解一元二次方程方程一元二次方程的根一元二次方程的根检检 验验小结与复习小结与复习
