1、利用导数判断函数的单调性(4)对数函数的导数:(5)指数函数的导数: (3)三角函数 ： 一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式 1).;fxg xfxgx 2).;fxg xfx g xfx gx导数运算法则导数运算法则 23).0 .fxfxgxfxgxgxgxgx函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2
2、 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区
3、间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1) 1，)(，1cosx增增单调性单调性与导数导数有什么关系？. .2. . . . . .yx0. .观察函数观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象：的图象：总结总结:该函数在区间该函数在区间（，2 2）上单减）上单减, ,切线斜率小于切线斜率小于0,0,即其即其导数为负导数为负, ,在区间（在区间（2 2，+）上单增）上单增, ,切线
4、斜切线斜率大于率大于0,0,即其导数为即其导数为正正. .而当而当x=2x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,0,即导数为即导数为0.0.函数在该点单调性发函数在该点单调性发生改变生改变. . 设函数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这在某个区间内有导数，如果在这个区间内个区间内y 0，那么，那么y=f(x)为这个区间内的为这个区间内的增函数增函数；如果在这个区间内如果在这个区间内y 0增函数增函数y 0(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间（3 3）求解不等式求解不等式f f (x)0(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写
5、出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间注：注：单调区间不以单调区间不以“并集并集”出现。出现。 2 2、导数的应用：、导数的应用：判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间练习题2x221e1e1e1e22x x注：注：求单调区间先求函数的求单调区间先求函数的定义域定义域。 练习：如图练习：如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对请分别找出与各容器对应的水的高度应的水的高度h与时间与时间t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(B)(C)(D)h
6、tOhtOhtOhtO1),(2)( ),(3)(),(4)( )BADC解：（） （ 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的的绝对值绝对值较大较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平缓平缓”. .通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可通过函数图像
7、，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。释变化快慢的情况。f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)f(x)= 在在(0，+)上是减函数上是减函数.x1x1例例4 证明函数证明函数f(x)= 在在(0，+)上是减函数上是减函数.证法一：证法一：(用以前学的方法证用以前学的方法证)任取任取两个数两个数x1，x2(0，+)设设x1x2.21122111xxxxxxf(x1)f(x2)=2112xxxx x10，x20，x1x20 x1x2，x2x10， 0点评：点评：比较一下两种方法，用求导证明是不比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性的优越性.证法二：证法二：(用导数方法证用导数方法证)x121xf(x)=( )=(1)x2= ，x0，21xx20， 0. f(x)0，1xf(x)= 在在(0，+)上是减函数上是减函数.总结：求函数yf(x)单调区间的步骤：
