1、第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题一、问题的引入一、问题的引入1：背景：背景：大量、独立、随机大量、独立、随机因素的因素的综合影响综合影响P121例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差.偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和总和, 这些因素包括这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面弹制造过程方面 的误差、以及射击时武器的振的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用动、气象因素的作用, 所有这些不同因
2、素所引起所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对并且它们中每一个对总和产生的影响不大总和产生的影响不大.2: 随即变量的标准化变量。教材随即变量的标准化变量。教材P101例例1。1D(Z)0,E(Z) ,)()(XDXEXZ则称nX服从中心极限定理。3、“随机变量之和的标准化变量随机变量之和的标准化变量”“服从中心极限定理服从中心极限定理”近似近似N(0,1)二、基本定理二、基本定理定理定理1（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 Lindeberg-Levy）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期
3、望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1近似近似N(0,1)定理定理1 1表明表明:Xn N(0,1/n如 充分大: 近似)1( )lim( )limnnkknnnF xxXnF xPxnnY的分布函数对于任意 满足 xtxte).(d2122 李雅普诺夫资料李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 June 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov 1
4、918 in Odessa, Russia, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量定理定理2( (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理 Lyapunov) )则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)(lim)(lim11xBXPxFnnkknkknnn xtxte).(d
5、2122 近似近似N(0,1)定理定理2 2 表明表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn ( (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布) )德莫佛资料德莫佛资料Abraham de MoivreBorn: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon Lapl
6、aceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(d21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量TH1 推论推论( (De De MoivreMoivreLaplaceLaplace 定理定理3 3) )近似近似N(0,1)证明证明设设 ., 2 , 1, 1, 0kAkAkXk发生发生次试验中次试验中若在第若在第
7、不发生不发生次试验中次试验中若在第若在第12n,., 01XXX独立同（ ， ）分布,1 nkknX ,)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk 由由TH1得证得证应用：应用：)()(npqnpanpqnpbnpqnpbnpqnpnpqnpaPbaPnn( , )nB n p设，三、题型三、题型1总结总结P126 2,5,6,7, 12,14iii()(0,1)()3ENDni=1nni=i=11X由定理：近X似服从X、i4ni=1求PX=X、L1 1、题目背景中都有题目背景中都有：“总和总和”、“总总额额”、“平均平均”2 2、设设独立同分布独立同分布的的X X1 1,X,X
8、2 2,X,X3 3, , ,XnXn, ,求求E(XE(Xi i) )，D(XD(Xi i) ).105,)10, 0(,),20, 2 , 1(20201的近似值求记上服从均匀分布且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到VPVVkVkkk解解, 5)( kVE).20, 2 , 1(12100)( kVDk由定理由定理1例例12、1、2012100520201 kkVZ2012100520 V近似服从近似服从N(0,1)3、 105VP20121005201052012100520 VP387. 02012100520 VP387. 020121001001 VP)3
9、87. 0(1 .348. 0 4、 对于一个学生而言对于一个学生而言, 来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量. 设一个学生设一个学生无家长、无家长、1名名家长、家长、 2名家长名家长来参加会议的概率分别为来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生, 设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立, 且服从同一分布且服从同一分布. 求求参加会议的家长数参加会议的家长数X超过超过450的概率。的概率。 解解, )400 , 2 , 1( )1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第
10、记记以以kkXk 例例2 的分布律为的分布律为则则kX15. 08 . 005. 0210kkpX1、2、15. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易知易知)400, 2 , 1(,19. 0)( kXDk , 4001 kkXX而而根据根据TH1独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 19. 04001 . 1400 4001 kkX随机变量随机变量 19. 04001 . 1400 X),1, 0( N近似服从正态分布近似服从正态分布2、3、 19. 04001 . 140045019. 04001 . 1400 XP450 XP于是于是 147. 1
11、19. 04001 . 14001 XP;1357. 0)147. 1(1 4、（题型（题型2总结）总结）(0,1)(13)XnpNnpp由定理：近似服从、1 1、题目背景中有题目背景中有n n重伯努利试验重伯努利试验2 2、设设A A发生的次数发生的次数XbXb（n,pn,p）, , 求出求出p p，E(X)=E(X)=npnp，D(X)=D(X)=npqnpqb)()4(anpnpnpP abPnpqnpqnpqbnpanpnpqXqXnp 、 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若
12、船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500次纵次纵摇角大于摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,1 (90000, )3Xb则例例31、n重重Bernouli2、3、.(,)Nnp npq,31,90000 pn所求概率为所求概率为3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP
13、4、 225225 .9995. 0 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每年每人每年交交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元. 设设老老年人死亡率为年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率亏本的概率.解解 设设 X 为一年中投保人死亡数为一年中投保人死亡数,),(pnBX则则,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例42001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpn
14、pXP 321. 2)1(pnpnpXP.01. 0)321. 2(1 公司亏本的概率公司亏本的概率:四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理 Lindeberg-Levy中心极限定理中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理.,1,), 2, 1()1, 1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nininiXnZnniXXXX证证), 2 , 1(,2niXYii 记记)()(2iiXEY
15、E )(iXD ,31 22)()()(iiiYEYEYD 24)()(iiYEXE 例例5 1144d21)( iiixxXE因为因为,51 23151)( iYD所以所以,454 , 21相互独立相互独立因为因为nXXX ., 21相互独立相互独立所以所以nYYY根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故例例6某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。解： ，数为记某时在工作着的车床X .B(200,0.6)X 则设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：)4 . 06 . 02006 . 0200()4 . 06 . 02006 . 0200()4 . 0()6 . 0(0200200rCrXPrkkkk141.r 1 . 348120-r ,999. 0)48120()32.17()48120(所以查表得rr即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
