1、第一节第一节 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质三、小结三、小结 思考题思考题返回返回上页上页下页下页一一、特征值和特征向量的概念、特征值和特征向量的概念则称：则称： 是矩阵是矩阵 A 的的特征值特征值；定义定义 1 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果存在数阶矩阵，如果存在数 和非零向量和非零向量 x,使得使得xAx x 是是 A 的对应于的对应于(或属于或属于)特征值特征值 的的特征向量特征向量.返回返回上页上页下页下页(2) 由于由于 亦可写成齐次线性方程组亦可写
2、成齐次线性方程组 xAx OxEA )( 说明说明(1) 特征向量特征向量 x O；特征值问题是对方阵而言的；特征值问题是对方阵而言的；因此，因此，使得使得 有非零解的有非零解的 值都是矩值都是矩阵阵 A 的特征值的特征值.OxEA )( 即，即，使得使得 的的 值都是矩阵值都是矩阵 A 的特征值的特征值.0 EA 返回返回上页上页下页下页定义定义 2 设设 n 阶矩阵阶矩阵 ，记，记)(ijaA )(Af 212222111211nnnnnnaaaaaaaaa E 则，则， 称为称为 A 的的特征多项式特征多项式；称为称为 A 的的特征矩阵特征矩阵.称为称为 A 的的特征方程特征方程； AE
3、 EA 0 EA 上页上页下页下页返回返回说明说明 )(Af 212222111211nnnnnnaaaaaaaaa E ( n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征多项式的特征多项式)(1) 是是 的的 n 次多项式，若设其一般形式为次多项式，若设其一般形式为EA 0111)(ccccfnnnn 则，则， 的系数的系数 ；nnc)1( n 的系数的系数 ；)()1(221111nnnnaaac 1 n 常数项常数项 .Afc )0(0返回返回上页上页下页下页(2) 求特征值求特征值 ，就是求特征方程，就是求特征方程 的根；的根；0 EA (3) 有有 n 个根个根 (其中有些根可能相同其中有些根可能相同
4、)，0 EA 其中的其中的 k 重根也称为重根也称为 k 重特征值重特征值.(4) 需要需要注意注意，即使是，即使是 n 阶实矩阵，但其特征方程可阶实矩阵，但其特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量.nKx 特征向量特征向量( 是全体是全体 n 维复向量构成的向量空间维复向量构成的向量空间)即，一般而言，即，一般而言，nKK 特征值特征值 (复数域复数域)返回返回上页上页下页下页例例 1 1 求矩阵求矩阵 201034011 A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多项式为的特征多项式为2)(1(2 201034011 E
5、A令令 ，得，得 A 的的 3 个特征值个特征值：(单重特征值单重特征值)21 (二重特征值二重特征值)132 0 EA 返回返回上页上页下页下页将特征值分别代入将特征值分别代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )2(21 0010140132EA 000010001 r得基础解系得基础解系.1001 则，对应于则，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 .)0( 111 kk 21 返回返回上页上页下页下页 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )(132 101022012EA 000210101 r得基础解系得基础解系.
6、1212 于是，对应于于是，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为132 )0( 222 kk 如果如果 A 是是 n 阶对角阵或上阶对角阵或上(下下)三角阵，三角阵，证证返回返回上页上页下页下页设对角矩阵设对角矩阵 A 的主对角元为的主对角元为 ，nnaaa , , ,2211)()(2211 nnaaa上式亦为上上式亦为上(下下)三角阵的特征多项式，故有同样结论三角阵的特征多项式，故有同样结论. 2211 nnaaaEA则，特征多项式为则，特征多项式为那么，那么，A 的特征值就是其的特征值就是其 n 个主对角元个主对角元.令令 ，可得对角阵的特征值就是其主对角元，可得对角阵的特征值就是其
7、主对角元.0 EA 返回返回上页上页下页下页前面指出，在特征多项式前面指出，在特征多项式 中，中，EA 的系数的系数 ；的系数的系数 ；)()1(22111nnnaaa n)1( n 1 n 常数项常数项 .A 二二、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质n 阶矩阵阶矩阵 A 的主对角元之和，称为的主对角元之和，称为 A 的迹的迹记作记作 tr(A).证证定理定理 1 设设 n 阶矩阵阶矩阵 的的 n 个特征值为个特征值为 ,)(ijaA 则，则，n ,21)(tr221121Aaaannn An 21返回返回上页上页下页下页另外，另外， 是特征方程的根，是特征方程的根，n ,21 的
8、系数和特征多项式相同，因此的系数和特征多项式相同，因此 的系数和常的系数和常数项也与特征多项式必相同，即数项也与特征多项式必相同，即n 1 n nnnaaa 221121 An 21证毕证毕0)()(21 n0 EA 即，即， 的系数的系数 ；; )()1(211nn n)1( n 1 n 常数项常数项 . n 21返回返回上页上页下页下页说明说明 ，故，故，nA 21 若若 ，则，则 A 的特征值全为非零数；的特征值全为非零数；若若 ，则，则 A 至少有一个特征值等于零至少有一个特征值等于零.0 A0 A返回返回上页上页下页下页例例 2 2 已知已知 11 yxA的的 2 个特征值为个特征值
9、为 ，解解4 , 221 求求 (1) x, y；(2) ；(3) 的秩的秩.EA2 EA3 (1) 816)tr(2121 xyAyxA 33yx(2) 2 是一个特征值，故是一个特征值，故02 EA(3) 3 不是特征值，即不是特征值，即 ，03 EA2)3( EAR故是故是 满秩矩阵，满秩矩阵， .EA3 返回返回上页上页下页下页定理定理 2 设设 都是都是 A 的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，21, 证证0 则则2211 kk 也是也是 A 的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量.0 (其中其中 k1, k2 为任意常数，但为任意常数，但 )Okk 2211
10、说明说明 A 的属于特征值的属于特征值 0 的全体特征向量是：的全体特征向量是： 的解集中除零向量外的全体解向的解集中除零向量外的全体解向量量.OxEA )(0 由于由于 都是都是 的解，的解，OxEA )(0 21, 因此，因此， 也是也是 的解的解.OxEA )(0 2211 kk 故，当故，当 时，是时，是 A 的属于特征值的属于特征值 的的特征向量特征向量.0 证毕证毕Okk 2211 返回返回上页上页下页下页例例 3 3 求矩阵求矩阵 314020112 A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多项式为的特征多项式为2)(2(1 314020112 EA(单重根单重根
11、)11 (二重根二重根)232 令令 ，得，得 A 的的 3 个特征值个特征值：0 EA 返回返回上页上页下页下页将特征值分别代入将特征值分别代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )(11 414030111EA 000010101 r得基础解系得基础解系.1011 则，对应于则，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 .)0( 111 kk 11 返回返回上页上页下页下页 当当 时，解方程组时，解方程组 .OxEA )2(232 1140001142EA 000000114 r得基础解系得基础解系.401 ,11032 则，对应于
12、则，对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为)0 ,( 323322不同时为不同时为kkkk 232 返回返回上页上页下页下页性质性质 1 设设 0 是矩阵是矩阵 A 的特征值，的特征值， 是是 A 的属于的属于 0 的的特征向量，则特征向量，则 k 0 是是 kA 的特征值的特征值 (k 是任意常数是任意常数)； 是是 的特征值的特征值 (m 是正整数是正整数)；m0 mA 设一个设一个 k 次多项式次多项式 ，011)(axaxaxkkkk 则，则， 是矩阵是矩阵 A 的的 k 次多项式次多项式 的特征值；的特征值；)(0 )(A 若若 A 可逆，则可逆，则 是是 的特征值；的特征值；10
13、 1 A并且，并且， 仍然是以上仍然是以上中中这些矩阵的分别属于这些矩阵的分别属于特征值特征值 的特征向量的特征向量. 10000 ),( , , fkm返回返回上页上页下页下页这里只证明性质这里只证明性质，其余留作练习，其余留作练习.证证 0 A继续进行以上步骤继续进行以上步骤 m3 次，得次，得 mmA0 因此，因此， 是是 的特征值的特征值 ，m0 mA 是是 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量. mAm0 证毕证毕)(0 A 20 )(02 AA 两端同时左乘两端同时左乘 A 3020203)()( AAA两端同时左乘两端同时左乘 A特征向量总是相对于特征值而言的，特征
14、向量总是相对于特征值而言的，一个特征向量一个特征向量不能同时属于不同的特征值不能同时属于不同的特征值. 说明说明两式相减两式相减O )(21由于由于 ，则有，则有 .021 O 这是不可能的这是不可能的 (与与“特征向量是非零向量特征向量是非零向量”矛盾矛盾) 21AA即即假设假设 同时是属于特征值同时是属于特征值 1, 2 ( 1 2) 的特征向量的特征向量,返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页例例 4 4 设设 是可逆矩阵是可逆矩阵 A 的一个特征值，的一个特征值，求求 的一个特征值的一个特征值.解解20 EA 1323 根据特征值的性质，根据特征值的性质，的特征值是的特征值是
15、 ;3A30 323A的特征值是的特征值是 ;3023 1323 A的特征值是的特征值是 ;13023 EA 1323 的特征值是的特征值是123 130 45 返回返回上页上页下页下页性质性质 2 A 和和 AT 的特征值相同的特征值相同 (即特征多项式相同即特征多项式相同).证证TEA)( 因此，因此， A 和和 AT 有完全相同的特征多项式有完全相同的特征多项式. 证毕证毕EAEAT 说明说明 A 和和 AT 的特征向量不一定相同的特征向量不一定相同.EAEATT )(例如，例如， 皆有二重特征值皆有二重特征值 ， 1101 ,1011121 10 ,01kk但它们相应的特征向量分别为但
16、它们相应的特征向量分别为)0( kTTEA)( EAT 返回返回上页上页下页下页定理定理 3 矩阵矩阵 A 属于不同特征值的特征向量是线性无属于不同特征值的特征向量是线性无 关的关的.证证令令Okkkmm 2211设设 是是 A 的的 m 个互异的特征值，个互异的特征值，m , , ,21是属于各特征值的特征向量是属于各特征值的特征向量.m , , ,21若记若记iiik ) , , 2 , 1(mi 下面将证明：只有当线性组合系数下面将证明：只有当线性组合系数 ki 全部为零时才全部为零时才能使上式成立，即，能使上式成立，即， 线性无关线性无关.m , , ,21Om 21上式变为上式变为返
17、回返回上页上页下页下页Om 21其中的其中的 有两种可能性：有两种可能性：(ii) 属于特征值属于特征值 的特征向量的特征向量(如果如果 )iiik (i) 零向量零向量 (如果如果 )0 ik0 iki 不论哪种情况，皆有不论哪种情况，皆有iiiA 对对式两端同时左乘式两端同时左乘 A，得，得Om 21AAA即即Om 211 2 m 对对再左乘再左乘 A，如此重复下去，共，如此重复下去，共 m1 次，最后有次，最后有Om 21Om 211 2 m 返回返回上页上页下页下页Om 2111 m 12 m 1 mm Om 2121 22 2m ) , , ,( ) , , ,(21OOOm 112
18、2111111mmmmm 以上以上 m 个等式可合写成矩阵等式：个等式可合写成矩阵等式：返回返回上页上页下页下页 1122111111mmmmm 因此，因此， 是可逆矩阵是可逆矩阵.行列式行列式 mjiji1)( 由于特征值由于特征值 各不相同，所以行列式的值不等于零各不相同，所以行列式的值不等于零.i （范德蒙行列式的转置（范德蒙行列式的转置)1122111111 mmmmm 返回返回上页上页下页下页) , , ,( ) , , ,(21OOOm 1122111111mmmmm (可逆矩阵可逆矩阵) , , ,() , , ,(21OOOm 两端右乘该两端右乘该可逆矩阵可逆矩阵其中特征向量其
19、中特征向量 ，所以必有，所以必有 .Oi 0 ik即，即， .Okiii ) , , 2 , 1(mi 因此，若因此，若 成立，线性组成立，线性组合系数必全为零合系数必全为零( 即即 线性无关线性无关). 证毕证毕Okkkmm 2211m , , ,21返回返回上页上页下页下页定理定理 5* 设设 A 有有 m 个不同的特征值个不同的特征值: ，属，属于于 的线性无关的特征向量有的线性无关的特征向量有 ri 个个 .m , , ,21i ) , , 2 , 1(mi 那么，所有这些向量那么，所有这些向量 (共共 个个) 构成的向量构成的向量组是线性无关的组是线性无关的.mrrr 21定理定理
20、4* 矩阵矩阵 A 的属于的属于 k 重特征值的线性无关的特征重特征值的线性无关的特征向量的最大个数不超过向量的最大个数不超过 k .证明参见证明参见证明参见证明参见即，如果即，如果 是矩阵是矩阵 A 的一个的一个 k 重特征值，属于重特征值，属于 的的线性无关的特征向量的最大个数为线性无关的特征向量的最大个数为 l，则，则 l k .0 0 附录附录 1附录附录 2返回返回上页上页下页下页四四、小结、小结1. 求求 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值和特征向量的步骤的特征值和特征向量的步骤：(1) 求求矩阵矩阵A 的特征多项式的特征多项式 ；EA (2) 求特征方程求特征方程 的的 n 个根，个
21、根，0 EA 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值；n , , ,21(3) 对特征值对特征值 ，解非齐次线性方程组，解非齐次线性方程组它的所有非零解都是对应于它的所有非零解都是对应于 的特征向量的特征向量. OxEAi )( i i 2. 特征值和特征向量的特征值和特征向量的 2 个性质，个性质，5 个定理个定理.返回返回上页上页下页下页设设 A 为为 4 阶矩阵，已知：阶矩阵，已知：03 EAEAAT2 思考题思考题求：求：A 的伴随矩阵的伴随矩阵 A* 的一个特征值的一个特征值.0 A返回返回上页上页下页下页思考题解答思考题解答由于由于 ，因此，因此 A 是可逆矩阵是可逆矩阵.0 A1
22、* AAAEAAA *于是，如果于是，如果 A 的一个特征值为的一个特征值为 ，根据特征值的性，根据特征值的性质，质，A* 的一个特征值为的一个特征值为 .0 10 A03 EA30 EAAT2 424422 EA0 A42 EA故，故，A* 的一个特征值为的一个特征值为3410 A返回返回上页上页下页下页证证附录附录 1用反证法，用反证法，假设假设 l k . 定理定理 如果如果 是是 n 阶矩阵阶矩阵 A 的一个的一个 k 重特征值，则，重特征值，则，属于属于 的线性无关的特征向量的最大个数的线性无关的特征向量的最大个数 l k .0 0 设属于设属于 k 重特征值重特征值 的的 l 个线
23、性无关的特征向量为个线性无关的特征向量为0 l , , ,21 0 Ai 即即) , , 2 , 1 (liO ；i i 21ljjjkkkA 返回返回上页上页下页下页 1 新增的新增的 一般不是一般不是 A 的特征向量，但的特征向量，但 A j (是是 n 维向量维向量)可以用上述的这组基线性表示：可以用上述的这组基线性表示： 2 l njjlkk , 1 ) , , 1(nlj j l+1 n将将 扩充为扩充为 n 维复向量空间维复向量空间 Kn 的一组基：的一组基：nll , , ,21 l , , ,21, , , ,21l nll , , ,21 A( )中共中共有有 n 个等式，可
24、合写为一个矩阵等式：个等式，可合写为一个矩阵等式：返回返回上页上页下页下页 , , ,1l nl , ,1 = ( ) 0 0 ,nlkk11, 1 ,nlllkk11, 1 l,nllkk 1, n,nlnkk 1, O , , ,1l nl , ,1 返回返回上页上页下页下页P = ( ) , , ,1l nl , ,1 210KOKEKl 将矩阵等式将矩阵等式记作记作 AP=PK，其中，其中，是是式右端的分块矩阵式右端的分块矩阵P 的列向量组是一组基，故的列向量组是一组基，故 P 可逆，于是可逆，于是子块子块 0El 是主对角元为是主对角元为 0的的 l 阶数量矩阵阶数量矩阵.PKAP
25、1 PKPAEA 1 PEKP EK 1)( PEKP EPKP 1返回返回上页上页下页下页因此，因此，A 的特征多项式的特征多项式(即即 K 的特征多项式的特征多项式)为为表明表明 A 和和 K 有相同的特征多项式有相同的特征多项式.EA EK lnllEOOEKOKEEK 210 lnlEKOKE 210)(lnlEKEEK 20)(lnlEK 20)(由于由于上式表明，上式表明， 至少至少是是 A 的的 l 重特征值重特征值( l k ).0 此结果与此结果与 是是 k 重特征值矛盾，所以重特征值矛盾，所以0 l k . 证毕证毕定理定理 设设 A 有有 m 个不同的特征值：个不同的特征
26、值： ，属于，属于 的线性无关的特征向量有的线性无关的特征向量有 ri 个个 .m , , ,21i ) , , 2 , 1(mi 那么，所有这些向量那么，所有这些向量 (共共 个个) 构成的向量构成的向量组是线性无关的组是线性无关的.mrrr 21返回返回上页上页下页下页附录附录 2证证 设属于设属于 的的 线性无关的特征向量线性无关的特征向量 (ri 个个) 为为i iriii,21 , , , ) , , 2 , 1(mi 令令Okkkmiririiiiiii 1,2211)( 记记)(,2211iiririiiiiikkk Om 21 又，已知又，已知 是线性无关的，于是是线性无关的，于是)(,2211iiririiiiiikkk 返回返回上页上页下页下页有两种可能：有两种可能：零向量零向量; 属于属于 的特征向量的特征向量.i 不是属于不是属于 的特征向量，这是因为：的特征向量，这是因为：i i Om 21属于不同特征值的特征向量线性无关，必有属于不同特征值的特征向量线性无关，必有因此因此 是零向量，即是零向量，即i Okkkiiririiiiii )(,2211 iriii,21 , , , 0,21 iriiikkk) , , 2 , 1(mi i 也就是说，也就是说，式中的系数必全为零，命题成立式中的系数必全为零，命题成立.
