1、 高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知复数，其中 是虚数单位，则（ ） A2 B3 C4 D5 2若向量，满足，则（ ） A B2 C2 D4 3已知为锐角，且，则（ ） A B C D 4为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量 A，B 两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点 A，前轮上与点 A 接触的地方标记为点 C，然后推着自行车沿 AB 直线前进（车身始终保持与地面垂直） ，直到前轮与点 B 接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点 C 与地面接触了 10 次，当前轮与点 B 接触时，标记点 C 在前轮的左上方（以下图为观察视角） ，且到
2、地面的垂直高度为 0.45m.已知前轮的半径为 0.3m，则 A，B 两点之间的距离约为（ ） （参考数值：） A20.10m B19.94m C19.63m D19.47m 5从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合 A，B，则的概率为（ ） A B C D 6已知函数，则图象如图的函数可能是（ ） A B C D 7已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C3 D4 8已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ） A2 B3 C4 D5 二、多选题二、多选题 9设，为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的
3、是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 10中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是 2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（ ） A2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于 B2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高 C2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数 D2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差 11已知数
4、列满足，则下列结论中正确的是（ ） A B为等比数列 C D 12已知抛物线的焦点为 F，抛物线 C 上存在 n 个点，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ） A时， B时，的最小值为 9 C时， D时，的最小值为 8 三、填空题三、填空题 13二项式展开式中的常数项为 . 14如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点） ，其中，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线： .（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形） 15如图，已知扇形的半径为，以为原点建立平面直角坐标系，则的中点的坐标为 . 16已知直线分别与函数和的图象交于点 A，B，则的最小值为 . 四、解答题
5、四、解答题 17在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：；. 化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明） 18如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. （1）证明：平面 DEF； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 19已知正项数列，其前 n 项和满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式； （2）数列中是否存在连续三项，使得，构成等差数列？请说明理由. 20小王每天 17：0018：00 都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项
6、目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表： 前一天 当天 篮球 羽毛球 游泳 篮球 0.5 0.2 0.3 羽毛球 0.3 0.1 0.6 游泳 0.3 0.6 0.1 （1）已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？ （2）已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示： 运动项目 篮球 羽毛球 游泳 能量消耗/卡 500 400 600 求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望. 21已知，为的导函数. （1）若对任意都有，求的取值范围； （2）若，证明：对任意常数，存在唯一的，使
7、得成立. 22已知椭圆，其右焦点为，点 M 在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解：， 所以. 故答案为：D. 【分析】由复数的乘法运算化简，代入模长公式即可求解。 【解析】【解答】由题意可得. 故答案为：B. 【分析】由即可求解。 【解析】【解答】由为锐角得，所以， . 故答案为：C. 【分析】由即可求解。 【解析】【解答】解：由题意，前轮转动了圈， 所以 A，B 两点之间的距离约为， 故答案为：D. 【分析】由题意可得前轮转动了圈，即可求解。 【
8、解析】【解答】解：集合的非空子集有共 7 个， 从 7 个中选两个不同的集合 A，B，共有种选法， 因为， 当时，则可为共 3 种， 当时，共 1 种， 同理当时，则可为共 3 种， 当时，共 1 种， 则符合的共有种， 所以的概率为. 故答案为：A. 【分析】由列举法，列出所有非空子集，进而得到集合 A，B 的所有可能，再分和讨论即可。 【解析】【解答】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，A、B不符； 当 x0 时，单调递增，与图像不符，C 不符； 为奇函数，当 x时，y的增长速度快于 ylnx 的增长速度，故0 且单调递减，故图像应该在 x 轴上方且无限靠近 x 轴，与图像相符.
9、故答案为：D. 【分析】由图像的可判断此函数为奇函数，再结合 x时的极限，即可求解。 【解析】【解答】解：由题意可得双曲线焦点在 x 轴上,设=2c. 为等腰三角形, 且，=2c， ，可得 P 点的坐标为（c+2ccos，2csin） ，即 P(2c，)， 点在过点且斜率为的直线上，可得，即 e=2， 故答案为：B. 【分析】设=2c.由题意易得=2c，可得 P(2c，)，进一步可得，即可求解。 【解析】【解答】令，两边取对数，有， 令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以时，取到最大值，从而有最大值， 因此，对于，当时，；当时，. 而，因此，当最大时，. 故答案为：
10、B 【分析】构造函数，求导，确定其单调区间，即可确定其最大值。从而解决问题。 【解析】【解答】解：对 A：若，则或与相交或与异面，A 不符合题意； 对 B：若，则，B 符合题意； 对 C：若，则或与相交，C 符合题意； 对 D：若，则，D 符合题意. 故答案为：BD. 【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系，逐项判断即可。 【解析】【解答】对于 A，2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于部，故国产影片数量每年的占比都不低于 50%，A 符合题意； 对于 B，2020 年国产影片占比为 100%，2021 年国产影片占比为 80%，故国产影片数量占
11、比并非逐年提高，B 不符合题意； 对于 C，2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C 符合题意； 对于 D，2017 至 2021 年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为；进口影片数量的方差为，D 符合题意. 故答案为：ACD. 【分析】由条形图数据，逐项计算判断即可。 【解析】【解答】，则 ，又 ， 同理 ，A 符合题意； 而 ，故不是等比数列，B 不符合题意； ，C 不符合题意； ，D 符合题意， 故答案为：AD 【分析】通过赋值可判断 A，B；通过及可判断 C,D. 【解析】【解答】当时，此时不妨取 过焦点垂直于
12、 x 轴， 不妨取 ，则，A 不符合题意； 当时， 此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设, 则 ，则 ， 故 ， 令 ，则， 令 ，则 ， 当时， ， 递增，当时， ， 递减， 故 ， 故当 ，即 时，取到最小值 9，B 符合题意； 当时， 此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设, 则， 即， 故， ， 所以，C 符合题意； 由 C 的分析可知：， 当 时，取到最小值 16， 即最小值为 16，D 不符合题意； 故答案为：BC 【分析】对于 A，当时，不妨取 ，即可判断；对于 B,当时，不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,即可得 ，则 ，从而得到 ，换元 ，得到，再构造函数 ，通过求导，确定单调区
13、间，即可判断 B.当时，不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,可得，由此可判断 C,D. 【解析】【解答】由题意可得： ， 令 ， 故常数项为 ， 故答案为：60 【分析】由二项展开式通项公式即可求解。 【解析】【解答】解：如图所示，连接和,相交于点,连接. 因为, 所以, 所以, 又,所以, 所以, , 所以. 因为, 所以. 又因为平面, 所以平面, 又平面, 所以. 故答案为：AE 和 DF. 【分析】如图所示，连接和,相交于点,连接.易得,即可证，再结合.即可解决问题。 【解析】【解答】由三角函数定义得：， ， ， ， 点坐标为. 故答案为：. 【分析】由三角函数定义可求得，再结合二倍角公
14、式及同角三角函数关系可求得，即可求解。 【解析】【解答】与的交点为， 函数所以在区间上单调递增， 令，对于一个 的值，有唯一的使，所以， 有， 所以， 令，则， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以， 故. 故答案为： 【分析】先求得 A 点坐标，再由 g(x)的单调性确定 B 点的唯一性，及其坐标，从而得到，构造函数，求导，确定其单调性，即可求解。 【解析】【分析】由，结合余弦定理，可得.由 ，结合正弦定理可得 或， 由 ，结合正弦定理化简可得 ，从而解决问题。 【解析】【分析】 （1）如图 连接 AE ，易知，再结合，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，代入
15、夹角公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）由，代入化简可得，从而解决问题； （2）由（1） ，通过做差可得 ，假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列， 得，此方程无解，即可解决问题。 【解析】【分析】 （1） 用 A，B，C 分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用，分别表示第 n 天小王进行 A，B，C 三种运动项目的概率. 由表格即可得 ，.结合和事件概率计算公式即可求解； （2）由列举法，列出所以基本事件，确定能量消耗总数有 1200，1300，1400，1500，1600 共 5 种可能， 计算每一个取值对应概率，即可求解。 【解析】【分析】 （1） ：由得；构造函数，求其导函数，确定单调区间，即可求解； （2）构造 ，可将问题转化为在区间上有唯一的零点，易知 在区间上单调递减，此时在区间上至多有 1 个零点，再结合 （1） ，当 a=-1 时，由 ，可说明 ，从而解决问题。 【解析】【分析】 （1）由题意 不妨设， 代入椭圆方程，即可求解； （2） 设， 求得，此时可得的周长为，此时讨论 PQ 斜率是否存在， 当直线 PQ 的斜率不存在时 ，易求； 当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为， 联立椭圆方程，结合韦达定理，代入周长，可得的周长，结合基本不等式即可求解。
