1、 数学教学质量统一检测试卷数学教学质量统一检测试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2已知，其中 m，i 是虚数单位，若复数，则复数 z 为（ ） A B C D 3某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为 X，Y，已知 X，Y 均服从正态分布，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 4“”是“”的必要不充分条件，则 a
2、的取值范围为（ ） A B C D 5已知，则（ ） A2 B C3 D 6的展开式中的常数项为（ ） A10 B-20 C-30 D-50 7周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有 19 位老人与 1 位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工年龄不满 24 岁，老人的年龄依次相差 1 岁，则义工的年龄为（ ） A18 岁 B19 岁 C20 岁 D21 岁 8已知 为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线 C
3、 的渐近线交于 A、B 两点，其中 M 为线段 OB 的中点O、A、F、M 四点共圆，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 二、多选题二、多选题 9甲罐中有 5 个红球，5 个白球，乙罐中有 3 个红球，7 个白球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”则下列结论正确的是（ ） A、为对立事件 B C D 10设是给定的平面，是不在内的任意不同的两点，则（ ） A在内存在直线与直线 AB 平行 B在内存在直线与直线 AB 垂直 C存在过直线 AB 的平面与平行 D存
4、在过直线 AB 的平面与垂直 11若是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A B是函数图象的一条对称轴 C点是函数图象的一个对称中心 D函数在上单调递减 12设函数的定义域为 R，如果存在常数，对于任意，都有，则称函数是“类周期函数”，T 为函数的“类周期”现有下面四个命题，正确的是（ ） A函数是“类周期函数” B函数是“类周期函数” C如果函数是“类周期函数”，那么“，” D如果“类周期函数”的“类周期”为-1，那么它是周期为 2 的周期函数 三、填空题三、填空题 13如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是 ，且 与水平夹角均为 ， ，则
5、物体的重力大小为 N. 14已知、是椭圆的两个焦点，M 为椭圆上一点，若为直角三角形，则 15若函数恰有两个零点，则 a 的值为 16已知三棱锥的各棱长均为 1，且其四个顶点都在球 O 的球面上若过球心 的一个截面如图所示，则该截面中三角形（阴影部分）的面积为 四、解答题四、解答题 17已知数列为等比数列，其前 n 项和为，且 （1）求数列的公比 q 和的值； （2）求证：，成等差数列 18如图，在四边形 ABCD 中，且, （1）求的长； （2）若_，求的面积 从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 19、是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验每个试验组由
6、4 只小白鼠组成，其中 2 只服用，另 2 只服用，然后观察疗效若在一个试验组中，服用有效的小白鼠的只数比服用有效的多，就称该试验组为优类组设每只小白鼠服用有效的概率为，服用有效的概率为 （1）求一个试验组为优类组的概率； （2）观察 3 个试验组，用表示这 3 个试验组中优类组的个数，求的分布列和数学期望 20如图所示，四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，E、F、G 分别为棱 AB、BC、PD 的中点设三点 A、E、G 所确定的平面为， （1）求证：点 M 是棱 PC 的中点； （2）若底面 ABCD，且二面角的大小为 45 求直线 EF 与平面所成角的大小； 求线段 PN 的长度 21在平
7、面直角坐标系中，已知定点，动点 M 满足：以 MF 为直径的圆与 y 轴相切，记动点M 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）过定点作两条互相垂直的直线、，直线、与曲线 E 分别交于两点 A、C 与两点 B、D，求四边形 ABCD 面积的最小值 22设函数 （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明： 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解：，A 不符合题意； ，B 不符合题意； ，C 不符合题意； ，D 符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据交集和并集的定义，逐一进行判断，可得答案。 【解析】【解答】由得： ， 则 ，故 ， 故答案为：A. 【分析】根据复数的运算法则，
8、将化简整理，根据复数相等，可求得 m,n 的值，进而求出答案。 【解析】【解答】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性. 故答案为：A 【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得答案。 【解析】【解答】由题意得，是的真子集，故. 故答案为：B 【分析】 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解，即可得答案. 【解析】【解答】因为，则，故， 所以， 故，因此，. 故答案为：C. 【分析】 由题可知，所以，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，再采用拼凑角的方法，并结合正弦的
9、两角和公式求出其值，再一次利用平方关系，求出 cos的值，最后利用商数关系即可求出答案. 【解析】【解答】， 展开式通项为， 令，得， 因此，二项式展开式中的常数项为， 故答案为：D. 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r，k 的值，即可求得展开式中的常数项的值. 【解析】【解答】设 19 位老人的年龄由小到大依次为、（单位：岁） ，设义工的年龄为岁， 由已知可得，则， 且，则， 而在内能被 19 整除的正整数为 1501，则，解得. 故答案为：B. 【分析】设 19 位老人的年龄由小到大依次为、（单位：岁） ，设义工的年龄为岁，可得出，可知您被 19
10、整除，求出的取值范围，可得出的值，由此求出 x 的值，即可求出答案。 【解析】【解答】由题意得：， 因为 M 为线段 OB 的中点， 又为 AB 的中点，即四边形为梯形， 又 O、A、F、M 四点共圆，即四边形为圆内接四边形， 而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形， ，即，整理得， 所以， 故答案为：A 【分析】由题意得：，再根据 O、A、F、M 四点共圆，可得四边形为圆内接四边形，利用列出等式，解出 a,b 的关系，即可得出答案。 【解析】【解答】因为甲罐中只有红球和白球，所以 A 符合题意；当发生时，乙罐中有 4 个红球，7 个白球，此时 B 发生的概率为，B 符合题意；当发生时
11、，乙罐中有 3 个红球，8 个白球，此时 B 发生的概率为，D 不正确；，故 C 不正确. 故答案为：AB 【分析】 根据事件 B 是在事件或发生之后求解，逐项进行分析，可得答案. 【解析】【解答】是不在内的任意两点，则直线 AB 与平面相交或平行 如果 AB 与平面相交，设交点为，则在内存在不过交点的直线与 AB 异面，但没有直线与AB 平行的直线，A 选项错误；显然当直线 AB 与平面相交时，过 AB 的任意平面都与相交，不平行，C 选项错误；当，不妨把 AB 平移到平面内得到直线，显然在同一平面内易找到直线，满足，此时，当 AB 和斜交时，设 AB 在平面的投影是 EF，即，此时只要，就
12、有，因为，则，又，于是平面 AEFB，当 AB 和垂直时，在内任意直线都与直线 AB 垂直，B 选项正确；不论 AB 与平面是平行还是相交，过作平面的垂线，则这条垂线与直线 AB 所确定的平面与垂直， （如果垂线与 AB 重合，则过 AB 的任意平面都与垂直） ，D 选项正确. 故答案为：BD. 【分析】 根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断选项中的命题真假性即可得答案. 【解析】【解答】对于 A，因为是函数图象的一条对称轴，所以，所以，得，所以 A 符合题意， 对于 B，由 A 选项可知，则，所以是函数图象的一条对称轴，所以 B 符合题意， 对于 C，因为，所以点是函数图象
13、的一个对称中心，所以 C 符合题意， 对于 D，当时，即，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以 D 不符合题意， 故答案为：ABC 【分析】由题意可得，代入化简可得 a,b 的关系，可判断 A 选项的正误；求的值是否能取得最值，可判断 B 选项的正误；判断点是否在函数图像上即可判断 C 选项的正误；分和进行判断即可判断 D 选项的正误。 【解析】【解答】解：对于 A，若函数是“类周期函数”， 则存在非零常数，使， 即， 即，即， 令， 因为，且函数在上连续， 所以函数在上存在零点，即方程在上有解， 即存在常数，对于任意，都有， 所以函数是“类周期函数”，A 符合题意； 对于 B，若
14、函数是“类周期函数”， 则存在非零常数，使， 即，则， 即对任意的恒成立， 则，矛盾，所以不存在常数，对于任意，都有， 所以函数不是“类周期函数”，B 不符合题意. 对于 C，若函数是“类周期函数”， 则存在非零常数，使， 即； 故 T=1 或， 当 T=1 时，由诱导公式得，； 当时，由诱导公式得，； 故“，”，C 符合题意； 对于 D，如果“类周期函数”的“类周期”为， 则，即； 故它是周期为 2 的周期函数；D 符合题意. 故答案为：ACD. 【分析】根据类周期函数的定义，逐项进行分析判断，可得答案。 【解析】【解答】由题意知 . 的夹角为 . 所以 . 所以 . 所以 . 故答案为:2
15、0. 【分析】根据力的平衡有 ,两边平方后可求出 . 【解析】【解答】在椭圆中，则. （1）若为直角，则，该方程组无解，不合乎题意； （2）若为直角，则，解得， ； （3）若为直角，同理可求得. 综上所述，. 故答案为：. 【分析】 对 各个内角分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求出|MF1|, |MF2|的值，进而可以求解出. 【解析】【解答】由恰有两个零点，可得曲线与抛物线恰有 2 个交点， 曲线与抛物线在上有 1 个交点， 当时，令，则， 方程两边取对数得，因为，则， 由题意得该方程只有一个实根，所以直线与曲线只有一个公共点， 所以直线是曲线的切线， 设切点为，由，得，则， 因
16、为切点在切线上， 所以， 解得， 故答案为： 【分析】由函数在内有一个零点，则将问题转化为直线与曲线只有一个公共点，利用导数的几何意分析，求解即可得出 a 的值 。 【解析】【解答】解：根据题意，过该球球心的一个截面经过正三棱锥的一条棱， 由球的对称性可得球心在该正三棱锥的高上， 所以截面是三棱锥的一条棱与高线所在的平面，故截面中三角形即为这条棱和与其相对棱的中点构成的三角形， 如图，在正三棱锥，设截面中的三角形为，其中 F 为棱的中点， 因为三棱锥的各棱长均为 1， 所以， 取 BD 的中点 E，连接 EF，则 EF 为等腰三角形 BDF 底边 BD 上的高， ， 所以， 即该截面中三角形（
17、阴影部分）的面积为. 故答案为：. 【分析】根据题意可知截面中三角形即为这条棱和与其相对棱的中点构成的三角形，在正三棱锥，设截面中的三角形为，其中 F 为棱的中点，求出的面积即可得答案。 【解析】【分析】 （1）根据已知条件，利用等比数列的通项公式进行计算，即可求出数列的公比q 和的值； （2）分别计算， ， 通过证明他们相等，即可证得，成等差数列 【解析】【分析】 (1) 根据二倍角的余弦公式可得 cos2B，进而得出 cosD，利用余弦定理计算即可得出 的长； (2)选，根据两角和的正弦公式可得 sinBAC，利用正弦定理求出 AB，结合三角形面积公式计算即可；选，利用余弦定理求出 AB，
18、结合三角形面积公式计算即可求出 的面积 【解析】【分析】(1)根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到优类组的概率； (2)由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望. 【解析】【分析】 （1）先证明 平面 PCD， 再证明 ， 即可证得点 M 是棱 PC 的中点； （2） 由已知条件得 为二面角的平面角， 证得 ， 以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法即可求出直线 EF
19、 与平面所成角的大小； 设 ，利用向量的坐标表示结合向量数量积的运算可得 ，求解可得的值，进而求出线段 PN 的长度 【解析】【分析】 (1) 设 ，求出 MF 的中点坐标，根据直线与圆的位置关系列出表达式化简，即可求出曲线 E 的方程； (2) 设直线的方程为，根据弦长公式救出|AC|和|BD|，将四边形 ABCD 的面积表达为关于 m 的函数，利用二次函数的性质求出函数的最小值，即可得四边形 ABCD 面积的最小值 【解析】【分析】 （1）求得 ，分 ， 两种情况讨论，分析导数在 上的符号变化，由此得出函数的单调区间； （2）由（1） 可得出 ， 要证，只需证对任意 恒成立， 令 ，利用导数分析函数 在上的单调性，由此可证得 对任意 恒成立，即可证得 。
