1、 高三下学期数学第三次教学质量检测试卷高三下学期数学第三次教学质量检测试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，集合，则（ ） A B C D 2已知，则的虚部是（ ） A B C D 3已知，则（ ） A B C D 4下列函数是奇函数，且函数值恒小于 1 的是（ ） A B C D 5下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为 2cm底面边长为 1cm 的正三棱锥，后段是高为 0.6cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ） A B C D 6为提高新农村的教育水平，某地选派 4 名优秀的教师到甲乙丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方
2、，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A18 种 B12 种 C72 种 D36 种 7意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（ ） A B C D 8已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 二、多选题二、多选题 9若，则下列不等式中正确的有（ ） A B C D 10某市为了研究该市空气中的 PM2.5 浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了 1
3、00 天空气中的 PM2.5 浓度和浓度（单位：） ，得到如下所示的22 列联表： PM2.5 64 16 10 10 经计算，则可以推断出（ ） 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64 B若 22 列联表中的天数都扩大到原来的 10 倍，的观测值不会发生变化 C有超过 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与浓度有关 D在犯错的概率不超过 1%的条件下，认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与浓度有关 11已知正方体的棱长为 1，点 P 是线段上（不含端点）的任意一点
4、，点 E是线段的中点，点 F 是平面内一点，则下面结论中正确的有（ ） A平面 B以为球心为半径的球面与该正方体侧面的交线长是 C的最小值是 D的最小值是 12已知 F 是抛物线的焦点，过点 F 作两条互相垂直的直线，与 C 相交于 A，B两点，与 C 相交于 E，D 两点，M 为 A，B 中点，N 为 E，D 中点，直线 l 为抛物线 C 的准线，则（ ） A点 M 到直线 l 的距离为定值 B以为直径的圆与 l 相切 C的最小值为 32 D当最小时， 三、填空题三、填空题 13已知向量，若，则 . 14已知函数，用表示 m，n 中的最小值，设函数，若恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围
5、是 . 15已知椭圆的左焦点为 F，过原点 O 的直线 l 交椭圆 C 于点 A，B，且，若，则椭圆 C 的离心率是 . 16已知函数，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为 . 四、解答题四、解答题 17已知数列是等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 n 项和，并证明：. 18已知在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，. （1）求角 A 的大小； （2）若，求周长的最大值. 19如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 20中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访
6、时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热咳嗽乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021 年 12 月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有 6 位症状相同的确诊患者，平均分成 A，B 两组，A 组服用甲种中药，B 组服用乙种中药.服药一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为，B 组 3 人康复的概率分别为，. （1）设事件 C 表示 A 组中恰好有 1 人康复，事件 D 表示 B 组中恰好有 1 人康复，求； （2）若服药一个疗程后，每康复 1 人积 2 分，假设认定：积分期望值越高药性
7、越好，请问甲乙两种中药哪种药性更好？ 21已知双曲线的离心率是，实轴长是 8. （1）求双曲线 C 的方程； （2）过点的直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A 和 B，若直线 l 上存在不同于点 P的点 D 满足成立，证明：点 D 的纵坐标为定值，并求出该定值. 22已知函数，. （1）当时，证明：当时，； （2）若对，都，使恒成立，求实数 a 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为集合，集合，所以. 故答案为：C. 【分析】 用列举法表示 U ,再由补集运算得答案. 【解析】【解答】解：因为，所以，所以的虚部是， 故答案为：B. 【分析】 把已知等式变形，再
8、由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解析】【解答】由，得， 所以 ， 故答案为：B. 【分析】 根据同角关系进行求出 sina，利用两角和差的正弦公式进行求解即可. 【解析】【解答】因为，所以函数为奇函数； 因为 ，又 ，所以 ， A 符合题意； 因为 ，故 是非奇非偶函数， B 不符合题意； 函数 满足 为偶函数，C 不符合题意； 因为 ，D 不符合题意， 故答案为：A. 【分析】 分别判断函数的奇偶性和函数值是否满足条件，进行判断即可. 【解析】【解答】因为正三棱锥的底面边长为 1，设其内切圆半径为 r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为. 由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：
9、 . 故答案为：D. 【分析】先求出正三棱棱的底面正三角形内切圆半径为 r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积. 【解析】【解答】解：4 名教师分为 3 组，有种方法，然后再分别派到甲乙丙三地， 共有 种方案，所以共有 36 种选派方案. 故答案为：D. 【分析】 先将 4 名教师分为 3 组，然后再分别派到甲、乙、丙三地，即可得解. 【解析】【解答】由，得 . 故答案为：C. 【分析】根据斐波契数列的性质进行求解即可得答案. 【解析】【解答】由题设，当时，令， 则 ，所以当 时， ，则 单调递增； 当 时， ，则 单调递减.又 ， ， 所以当 时，直线 与 的图象有两个交点，
10、即函数 的图象与函数 的图象有且只有两个交点. 故答案为：A. 【分析】将两个函数的解析式联立，消去 y，得到等式，问题转化为方程有两个不同的正式根，即可求出实数 k 的取值范围 。 【解析】【解答】对于 A 选项，因为，所以，A 符合题意； 对于 B 选项，因为函数 在 R 上单调递增，所以 ，B 符合题意； 对于 C 选项，当 时， 不成立，C 不正确； 对于 D 选项，当 ， 时， ，D 不正确, 故答案为：AB. 【分析】根据不等式的基本性质判断 A、C；根据指数函数的单调性判断 B；代入特殊值判断 D. 【解析】【解答】补充完整列联表如下： PM2.5 合计 64 16 80 10
11、10 20 合计 74 26 100 对于 A 选项，该市一天中，空气中 PM2.5 浓度不超过 ，且 浓度不超过 的概率估计值为 ，A 符合题意； 对于 B 选项， ，B 不正确； 因为 7.48446.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过 1%的条件下，即有超过 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 浓度有关，C，D 均正确. 故答案为：ACD. 【分析】 根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，即可求解. 【解析】【解答】对于 A 选项： 因为平面 即为平面 ，又因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，A 符合题意； 对于 B 选项： 该球面与侧
12、面 的交线为弧 ，是以 为圆心，圆心角为 的弧，所以弧长为 ，B 符合题意； 对于 C，D 选项： 将 沿 翻折到与 在同一平面且点 ，D 在直线 的异侧，作 于点 G，交 于 P.由两点之间，直线最短.可得 G、F 重合时， 最小.此时，设 ，则 , 所以 . 在 中， ,所以 ，则 的最小值是 ，C 不正确，D 符合题意. 故答案为：ABD. 【分析】利用线线平行可得线面平行可判断 A；求出球面与面 DCC1D1的交线长可判断 B；求出|EP| + |PF|的最小值可判断 C, D. 【解析】【解答】设， ， 直线 的方程为 ，则直线 的方程为 , 将直线 的方程 代入 ，化简整理得 ，
13、则 ， ， 故 , 所以 ， , 因为点 A 到直线 l 的距离 ，点 B 到直线 l 的距离 ， 点 M 到直线 l 的距离 ， 又 ，所以 ，A 不符合题意； 因为 ， 所以以 为直径的圆的圆心 M 到 l 的距离为 ， 即以 为直径的圆与 l 相切，B 符合题意； 同理， ，所以 ， ， ， 则 ，当且仅当 时等号成立，C 符合题意； . 设 ，则 ， ， . 当 时，即 时， 最小，这时 ，D 符合题意, 故答案为：BCD. 【分析】对于 A，设直线方程，并联立抛物线，再结合韦达定义，以及抛物线的定义，即可求解；对于 B，利用抛物线的定义可得， ，即可求解；对于 C，结合基本不等式的公
14、式，即可求解；对 D，求出|MN|的表达式，采用换元法，以及二次函数的性质，即可求解. 【解析】【解答】因为，所以，解得. 故答案为： . 【分析】 根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解出 x 的值. 【解析】【解答】函数恒过点 ，且其图象开口向上， 的零点为 1， 当 的零点至少有一个大于或等于 1 时，如图示： 函数 的零点至多有两个，不符合题意， 故要使 恰有 3 个零点，则函数 在区间 上存在两个零点，如图示， 故 解得 ， 故答案为： 【分析】 分析函数 的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，求解可得实数 a 的取值范围 . 【解析】【解答】设右焦点为，连接，.
15、因为 ，即 ，可得四边形 为矩形. 在 中， ， . 由椭圆的定义可得 ，所以 ，所以离心率 . 故答案为： . 【分析】由椭圆的对称性，取椭圆的右焦点 F，由题意可得四边形 AFBF为矩形，求出|AF|，| AF|用 2c 表示的代数式，由椭圆的定义可得 2a 与 2c 的关系，由 ，进而求出离心率. 【解析】【解答】由题意知，,，则,， 其中 ， , 当 时， ， ， ；当 时， ， ， . 又 在区间 上有且只有一个极大值点，所以 ， 得 ，即 ，所以 . 当 时， ， ，此时 ，此时有 2 个极大值点，舍去； 当 时， ， ，此时 ，此时有 1 个极大值点，成立， 所以 的最大值为 ，
16、 故答案为： 【分析】直接利用 ,，求出和的表达式，进一步利用在区间上有且只有一个极大值点，再利用分类讨论思想的应用求出的值，最后求出的最大值. 【解析】【分析】(1)先设等比数列的公比是 q，然后根据已知条件计算出首项 a1与公比 q 的值，即可计算出 数列的通项公式； (2)先根据第(1)题的结果计算出数列 的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前 n 项和的表达式，再根据不等式的性质即可证明结论成立. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理求得 cosA 的值，从而求得角 A 的大小； (2)由正弦定理求出 b、c 的表达式，再利用三角函数求 a+b 十 c 的最大值. 【解析】【分
17、析】(1)先通过面面垂直得线面垂直得 A1O平面 ABC，再由线面垂直得线线垂直可证A1OBC，由 ，可证 ，结合 ，再通过线线垂直得线面垂直证明 平面； (2)如图，连接 BO，可证 平面， 设 ， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，求平面 与平面 的一个法向量，利用向量法求二面角 的余弦值. 【解析】【分析】(1)分别计算出示 A 组中恰好有 1 人康复，B 组中恰好有 1 人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案； (2)根据二项分布的期望公式求得 A 组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出 B 组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案. 【解析】【分析】 (1)根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可得双曲线 C 的方程； (2)设出直线的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可. 【解析】【分析】(1)通过构造函数利用导数证明， ，再利用放缩法进行证明即可; (2)构造函数 ，利用二次求导法得到 ，再通过构造函数，利用导数的性质结合条件求出 a 的取值范围即可.
