1、 高三下学期数学一模试卷高三下学期数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1集合（ ） AR B C D 2若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A-1 B1 C-2 D2 3已知，则（ ） A B C D 42021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平，叶光富 3 名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强 x（单位：）满足若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火
2、箭发射时的声强级约为（ ） A B C D 5已如函数，则（ ） A B C D 62022 年 2 月 4 日，中国北京第 24 届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ） A192 B240 C120 D288 7设抛物线的焦点为 F，点 P 为 C 上的任意点，若点 A 使得的最小值为4，则下列选项中
3、，符合题意的点 A 可为（ ） A B C D 8在正方体中，点 P 满足，且，若二面角的大小为，O 为的中心，则（ ） A B C D 二、多选题二、多选题 9复数，则下列选项一定正确的是（ ） A B C D 10下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ） A B C D 11已知双曲线的左焦点为 F，过点 F 作 C 的一条渐近线的平行线交 C于点 A，交另一条渐近线于点 B若，则下列说法正确的是（ ） A双曲线 C 的渐近线方程为 B双曲线 C 的离心率为 C点 A 到两渐近线的距离的乘积为 DO 为坐标原点，则 12数列满足，则（ ） A数列可能为常数列 B当时，数列前 10 项之和为
4、-55 C当时，的最小值为 D若数列为递增数列，则 三、填空题三、填空题 13已知，若，则 14已知，则 15已知点，点 P 在圆上，则直线倾斜角的最大值为 16已知函数，写出函数的一个单调递增区间 ；当时，函数的值域为，则 a 的取值范围是 四、解答题四、解答题 17在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求中的最大值； （2）求边上的中线长 18已知数列的前 n 项和为， （1）证明：数列为等比数列； （2）记数列的前 n 项和为，证明： 19如图，正四面体，E 为的中点 （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值 20甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每
5、场比赛采用 5 局 3 胜制(即有一运动员先胜 3 局即获胜，比赛结束)比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以 3：0 或 3：1 取胜的运动员积 3 分，负者积 0 分，以 3：2 取胜的运动员积 2 分，负者积 1 分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为 （1）甲、乙两人比赛 1 场后，求甲的积分的概率分布列和数学期望； （2）甲、乙两人比赛 2 场后，求两人积分相等的概率 21已知椭圆的右焦点为 F，过 F 的直线与椭圆 E 交于点 A，B，当直线的方程为时，直线过椭圆的一个顶点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若，求直线的斜率 22已知函数 （1）若，求在上的单调性；
6、 （2）试确定的所有可能取值，使得存在，对，恒有 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】， 故答案为：B. 【分析】 直接利用正弦函数的性质求出答案. 【解析】【解答】由，显然在曲线上， 所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 因此切线方程为： ， 直线 的斜率为 ， 因为曲线 在点 处的切线与直线 平行， 所以 ， 故答案为：C 【分析】求得 f (x)的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得 a 的值. 【解析】【解答】因为，所以，从而得. 故答案为：A 【分析】由已知利用余弦二倍角公式即可求出答案。 【解析】【解答】当人交谈时的声强级约为， 即人交谈时
7、的声强为 ，因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为 ， 所以火箭发射时的声强为： ， 因此火箭发射时的声强级为 ， 故答案为：B 【分析】运用所给的公式结合对数的运算性质进行求解，即可得出答案。 【解析】【解答】由题，所以是奇函数，所以，A，B 不符合题意， 又因为 ，且 ，即 ，解得 ， 根据单调性的结论可知 为 上的单调递增函数，所有当 ， ，当 ， ； 所以 ，C 不符合题意， ，D 符合题意. 故答案为：D 【分析】 根据题意，判断函数 f (x)的奇偶性和单调性，由此判断各选项即可得答案. 【解析】【解答】由题，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到, 当“立春”和“惊蛰
8、”和“清明”均相邻时，只有 2 种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即 ， 所以最终满足题意的排法为 240-48=192. 故答案为：A 【分析】利用捆绑法得到只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”不相邻的情况即可得答案。 【解析】【解答】抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：， A：因为 在抛物线内部，而 到准线的距离为： ， 所以 的最小值为 ，不符合题意； B：因为 在抛物线上，所以 的最小值就是 ，不符合题意； C：因为 在抛物线内部， 到准线的距离为： ， 所以 的最小值为 ，符合题意， D：因为 在抛物线外部：所以 的
9、最小值就是 ，不符合题意， 故答案为：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，结合三点共线的问题即可求出答案。 【解析】【解答】设正方体中心为， 因为点 P 满足 ，且 所以 平面 ， 平面 平面 ， 由正方体性质 平面 ，且 平面 ， 所以作 于 Q，连 ， 面 ， 则 即为 的平面角，所以 设正方体棱长为 1， 中， ， 则 在 中， ， 所以 故答案为：D. 【分析】设正方体中心为 ，先根据条件得 P平面 ACD1，作 OQD1P于 Q，连接 QB1,推导出 D1P面 OQB1,从而B1QO是二面角的平面角，由此能求出 sinPD1O. 【解析】【解答】因为，所以. A：因为 ， ，所以 ，
10、因此本选项正确； B：因为 ， ，所以 ，因此本选项不正确； C：因为 ， ，所以 ，因此本选项正确； D：因为 ， 所以 ，因此本选项不正确， 故答案为：AC 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的运算性质及其有关知识即可判断出正误. 【解析】【解答】的解为， 对于 A，因为 为 的真子集，A 不符合； 对于 B，因为 等价于 ，其范围也是 ，B 符合； 对于 C， 即为 ，其解为 ，C 符合； 对于 D， 即 ，其解为 ， 为 的真子集，D 不符合， 故答案为：BC. 【分析】先求出 的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项。 【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为， 不妨设过点 F
11、 的直线与直线 平行，交于 C 于点 A. 对于 A：设双曲线半焦距为 c， 过点 F 与直线 平行的直线的方程为 ，与 联立，解得 ，由 ，设 ，所以 ， 可得 ，依题： ，得 ，故渐近线方程为 ，A 不符合题意； 对于 B：由 可得 ，B 符合题意； 对于 C：A 到两渐近线距离的乘积 ，C 符合题意 对于 D： 故 ， 故 ，所以 D 符合题意 故答案为：BCD 【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程，离心率公式逐一判断即可。 【解析】【解答】A由，得，当时，为常数列； B ，故 为等差数列， 时， 的前 10 项和为 ； C由 B 知， 时， ，故 ，数列 的最小值为 ；
12、D ，故 ，当 递增时，有 故答案为：ABD 【分析】当 a= 1 时可得 a2 = 1，a3 = 1，类比得数列 为常数列，可判断 A；利用构造法可得数列为等差数列，再利用等差数列的前 n 项和公式和通项公式可判断 B, C, D. 【解析】【解答】因为，故，故， 故 ， 故答案为： 【分析】 根据题意，由数量积的坐标计算公式求出 x 的值，即可得 的坐标，再根据向量模的公式计算可得答案. 【解析】【解答】因为，当且仅当时取等号，所以，即，得，所以，即，所以. 故答案为：3 【分析】 利用基本不等式求最值得到 ，利用二次函数求最值得到，即可得到答案. 【解析】【解答】设直线的斜率为，倾斜角为
13、，方程为：， 当直线 是圆 的切线时， 有 或 ，所以有 ，即 ， 直线 倾斜角的最大值 ， 故答案为： 【分析】根据圆的切线性质进行求解即可求出直线 倾斜角的最大值。 【解析】【解答】解：当时， ， 当 时， ， 令 ，则 ， 所以函数 的一个单调递增区间为 ， ， 则函数 在 上递增，在 上递减， 则当 时， ，且 ， 令 ，则 ， 所以函数 在 上递增，此时 令 ，则 ， 所以函数 在 上递减， 当 时，令 ，则 ， 因为当 时，函数 的值域为 ， 所以 . 故答案为： （答案不唯一） ； . 【分析】分 和讨论去绝对值符号，再根据正弦函数的单调性和最值分析结合题即可求出 a 的取值范围
14、 。 【解析】【分析】(1)由题意先判断 sinB 最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值； (2)由 ，平方后即可求解出边上的中线长 【解析】【分析】(1)结合 与构造法，再根据等比数列的概念，得证数列为等比数列； (2)由等比数列的通项公式可得 ，再采用放缩法， ，并结合等比数列的前 n 项和公式，得证 . 【解析】【分析】(1)由已知可证 ECAB, DEAB，可证平面，从而可证平面 ECD平面 ABC； (2) 把此正四面体放于棱长为 正方体中，并建立空间直角坐标系 ，求出平面的一个法向量，利用向量法即可求出与平面所成角的正弦值 【解析】【分析】(1)根据题意知随机变量 X
15、 的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可求出甲的积分的概率分布列和数学期望； (2) 设第 i 场甲、乙两名运动员积分分别为，则， 则，即，则，据此根据(1)中分布列计算概率即可. 【解析】【分析】(1)由题意可得， 可得 a 的值，进而求出椭圆的方程； (2)设直线 AB 的方程，与椭圆的方程联立,求出两根之和及两根之积，再由若|MA|= 2|MB|，可得 ，进而可得 A, B 的纵坐标的关系，与两根之和及两根之积联立求出参数 m 的值，进而求出直线的斜率的值. 【解析】【分析】(1)对函数进行求导，然后构造函数，再求导，根据导数的性质进行求解即可； (2)根据绝对值的性质，结合任意性的定义，通过导数的性质分类讨论求解即可.
