1、高三数学联合考试试卷高三数学联合考试试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C或 D或 2已知复数，则（ ） A B C D 3已知甲、乙、丙、丁 4 名志愿者参加 2022 年冬奥会的 3 个项目的培训，每名志愿者只能参加 1个项目的培训，则甲、乙参加同 1 个项目培训的概率为（ ） A B C D 4已知，则下列判断正确的是（ ） A B C D 5设是等差数列的前项和，当取得最小值时，（ ） A10 B9 C8 D7 6已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为 4 和 2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（ ） A B C D 7已知直线与圆交于 A
2、，B 两点，若，则（ ） A2 B1 C2 或-1 D1 或-2 8已知函数，则不等式的解集为（ ） A B C D 二、多选题二、多选题 9如图是国家统计局发布的 2020 年 12 月至 2021 年 12 月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比，环比 则下列说法正确的是（ ） A2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格环比的极差为 1.5% B2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格同比的中位数为 0.9% C这 13 个月中，2021 年 6 月全国居民消费价格最低 D2021 年比 2020 年全国居民消费平均价格增长大于 1.0% 10
3、古代典籍周易中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ） A与能构成一组基底 B C D 11在菱形中，将沿对角线 BD 折起，使点 A 至点（在平面外）的位置，则（ ） A在折叠过程中，总有 BDPC B存在点 P，使得 C当时，三棱锥的外接球的表面积为 D当三棱锥的体积最大时， 12已知抛物线的准线 l 的方程为，过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B两点，以 A，B 为切点分别作的两条切线，且两切线交于点 M，则下列结论正确的是（ ） AC 的方程为 B CM 恒在 上 D 三、填空题三、填空题 13已知双
4、曲线的右焦点到直线的距离为，则 C 的离心率为 . 14写出一个同时具有下列性质的函数解析式 . 的最大值为 2；，；是周期函数 15已知的展开式中常数项为，则展开式中的系数为 . 16已知实数，满足（其中） ，则的最小值为 . 四、解答题四、解答题 17在中，内角，所对的边分别为，. （1）求； （2）若，面积为，求的周长 18受新冠肺炎疫情的影响，各地推出务工人员就地过年的鼓励政策某市随机抽选了 100 名男务工人员和 100 名女务工人员，调查他们是否有就地过年的意愿，结果如下： 有就地过年的意愿 无就地过年的意愿 男务工人员 80 20 女务工人员 60 40 （1）能否有 99.9%
5、的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关? （2）若用频率估计概率，从该市所有女务工人员中随机抽取 3 人进行深入调查，表示抽取的女务工人员无就地过年的意愿的人数，求的分布列与数学期望 附：，其中 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19如图，直三棱柱的底面为直角三角形，E，F 分别为AB，的中点 （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值 20已知为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）从下面两个条件中选择一个，求数列的前项和 ；. 21已知为椭圆的下顶点，分别为的左、右焦点，且的短轴长为 （1）求 C 的方程； （2）设 O 为坐标原点
6、，M，为上轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关于直线对称，直线与轴交于点，求的面积的最大值 22已知函数，. （1）当时，求在区间上的极值之和； （2）若对任意实数 x 恒成立，求实数的取值范围 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为，所以，所以或。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合并集和补集的运算法则，从而求出集合 。 【解析】【解答】因为， 所以 。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数 z,再利用复数与共轭复数的关系式得出复数 z 的共轭复数。 【解析】【解答】甲、乙、丙、丁 4 名志愿者参加 2022 年冬奥会的 3 个项目的培训，有种安排方
7、法； 而甲、乙参加同一个项目培训，有 种安排方法， 所以甲、乙参加同 1 个项目培训的概率 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出甲、乙参加同 1 个项目培训的概率。 【解析】【解答】因为， 所以 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，进而比较出 a,b,c 的大小。 【解析】【解答】设的公差为 d，由题知，解得 , 所以 ， 则 ， 因为函数 的零点为 0 和 ，所以 的最小值是靠近零点处的函数值， 又因为 ， ， ， 所以当 n=8 时， 取得最小值为 4。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前 n 项和公式，
8、得出等差数列的首项和公差，再结合等差数列的通项公式得出等差数列 的通项公式，再结合等差数列前 n 项和公式得出 等差数列的前项和，再利用函数零点求解方法得出函数的零点，进而得出函数的最小值是靠近零点处的函数值，再利用，的值，从而得出取得最小值时的 n 的值。 【解析】【解答】如图，将圆台补成圆锥 CO，则， 所以 ， ，由圆锥的结构特征可知 ， 所以该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长为 ，而扇形所对外圆弧的长为 ， 所以侧面展开成的扇环所对的圆心角为 。 故答案为：A 【分析】将圆台补成圆锥，再结合勾股定理和圆锥的结构特征以及圆的周长公式得出该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长，再利用弧长公
9、式得出扇形所对外圆弧的长，进而得出侧面展开成的扇环所对的圆心角。 【解析】【解答】因为MBA=MAB，所以 4MAB+2MAB=180，所以MAB=30 由圆 知圆心 ，半径为 ， 则点 M 到直线 的距离 ， 由题知 ，即 ，解得 。 故答案为：B 【分析】利用MBA=MAB结合两角互补的关系得出MAB的值，再利用圆 得出圆心 M 的坐标和半径 r 的长，再结合点到直线的距离公式得出点M 到直线的距离 d，再结合已知条件结合，从而得出 a 的值。 【解析】【解答】，设， 因为 ，所以 为奇函数， 则 ，即 ， 又 ， 在 R 上均为减函数，所以 在 R 上为减函数， 由 得 ，即 ， 所以
10、，解得 或 。 故答案为：D 【分析】利用奇函数的定义判断出函数 为奇函数，再利用减函数的定义判断出在 R 上为减函数，再利用奇函数的定义结合减函数的性质得出不等式的解集。 【解析】【解答】2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格环比的最大值为 1.0%，最小值为-0.5%， 所以其极差为 1.5%，A 项正确； 2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格同比（单位：%）从小到大依次为 -0.3、-0.2、0.2、0.4、0.7、0.8、0.9、1.0、1.1、1.3、1.5、1.5、2.3， 其中位数为 0.9%，B 项正确； 从环比来看，从 2
11、021 年 3 至 6 月环比涨幅均为负值，所以全国居民消费价格一直在下降， 所以 6 月全国居民消费价格最低，C 项正确； 2021 年比 2020 年全国居民消费价格平均增长为 ，D 项错误 故答案为：ABC. 【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合极差的定义、中位数的定义、平均数的公式和统计的方法，从而找出说法正确的选项。 【解析】【解答】连接 BG，CF，由正八边形的性质可知， 所以 ，所以 AH 与 CF 是共线向量，所以 与 不能构成一组基底，A 项错误； 又 ，所以 所以 ，B 项正确； 由上过程可知 ，连结 交 于点 M, 在直角三角形 中， 为 的中点，则 , 又 ，
12、所以 ，C 项错误； 又正八边形的每一个内角为： ， 延长 ,相交于点 ，则 所以 ，故 ， 所以 ，D 项正确 故答案为：BD. 【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法、数量积为 0 两向量垂直的等价关系、平面向量基本定理和数量积的定义，从而找出正确的选项。 【解析】【解答】如图所示，取 PC 的中点 E，连接 BE，DE，则 BEPC，DEPC， 因为 ，BD， 平面 BDE， 所以 PC平面 BDE，又 平面 BDE， 所以 ，A 项正确； 在菱形 ABCD 中，AB=1，ABC=120，所以 ， 当ABD沿对角线 BD 折起时， ，所以不存在点 P，使得 PC=2，B 项错误；
13、 当 PC=1 时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知， 三棱锥 P-BCD 的外接球就是该正方体的外接球, 因为正方体的各面的对角线长为 1， 所以正方体的棱长为 ， 设外接球的半径为 R，则 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积 ，C 项正确； 当三棱锥 P-BCD 的体积最大时，平面 平面 BCD， 取 BD 的中点 O，连接 PO，OC， 易知 平面 BCD，则 ， 又 ， 所以 ，D 项错误 故答案为：AC 【分析】取 PC 的中点 E，连接 BE，DE，则 BEPC，DEPC，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 PC平面 BDE，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ；在菱形
14、ABCD 中，AB=1，ABC=120，进而得出 AC 的长，当ABD沿对角线 BD 折起时，进而得出 PC 的长的取值范围，所以不存在点 P，使得 PC=2；当 PC=1 时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，三棱锥 P-BCD 的外接球就是该正方体的外接球,再利用正方体的各面的对角线长为 1 结合勾股定理得出正方体的棱长，再利用勾股定理得出外接球的半径，再结合球的表面积公式得出三棱锥的外接球的表面积；当三棱锥 P-BCD 的体积最大时，平面平面 BCD，取 BD 的中点 O，连接 PO，OC，易知平面 BCD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，再结合勾股定理得出此时对应的 P
15、C 的长，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】由题得，所以 p=2，因此 C 的方程为，A 项错误； 由题意可知 AB 的斜率存在， ，设 AB 的方程为 ， ， ， 由 得 ，所以 ， 由 得 ，所以 AM 的斜率为 ， 所以 AM 的方程为 ，即 ， 同理 BM 的斜率为 ，所以 BM 的方程为 ， 所以 即 ，所以AMB=90，B 项正确； 由得 ，因为 ，所以 将 代入得 ，所以点 的坐标为 ， 又知 C 的准线 l 的方程为 ，所以 M 恒在 l 上，C 项正确； 当 AB 的斜率 k 不为零时，则 ，所以 ，所以 ， 当 AB 的斜率 k=0 时，点 的坐标为 ，显然 ， 在 R
16、tABM中，由 与 相似，得 ， 所以 ，D 项正确 故答案为：BCD 【分析】由题意结合抛物线的准线方程得出 p 的值，进而得出抛物线的标准方程；由题意可知 AB的斜率存在，再结合抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点 F 的坐标，再利用点斜式得出直线 AB 的方程，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由 结合导数的几何意义得出直线 AM 的斜率，再结合点斜式设出直线 AM 的方程为 ，同理得出直线 BM 的斜率，再结合点斜式设出直线 BM 的方程为，再结合求积法和两直线垂直斜率之积等于-1，得出AMB=90；由得，再利用，得出 M 的纵坐标，再结合代入法得出点
17、 M 的横坐标，从而得出点的坐标，又知抛物线 C 的准线 l 的方程，再结合代入法得出点 M 恒在 l 上；利用分类讨论的方法结合两点求斜率公式和斜率之积等于-1 两直线垂直的等价关系，得出，在 RtABM中，由与相似结合两直线相似对应边成比例，得出，从而找出结论正确的选项。 【解析】【解答】由得：c=m，则 C 的右焦点为(m，0)， 由题意知: ，解得 m=2，则 ， 故 的离心率为 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式得出双曲线右焦点的坐标，再利用点到直线的距离公式得出 m 的值，再结合勾股定理得出 a 的值，再利用双曲线的离心率公式得出双曲线的
18、离心率。 【解析】【解答】由于是周期函数，所以考虑为正弦型函数或余弦型函数， 由 ， 可知， 的图象关于直线 x=1 对称， 又因为 的最大值为 2，所以 。 故答案为： （答案不唯一） 。 【分析】利用函数求最值的方法、函数的图像的对称性、周期函数的定义，从而找出满足要求的函数 的解析式。 【解析】【解答】因为， 因为 的通项公式为 ， 所以 的展开式中常数项为 ，则 ，解得 ， 所以 展开式中 的系数为 故答案为：-16。 【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出 的展开式中常数项，从而得出 m 的值，再利用 m 的值结合展开式中的通项公式和作差法得出展
19、开式中的系数。 【解析】【解答】， 设 ， ，所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 恒成立，所以 . 设 ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，故 ， 当且仅当 b=2 且 c= 时取等号。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件得出 ，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而得出的最小值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合三角形内角和为 180 度的性质和诱导公式以及二倍角的正弦公式得出的值，再利用三角形中 的角的取值范围得出角的取值范围， 从而得出的值，进而得出角 B 的值。 （
20、2）利用 结合正弦定理得出，再结合三角形的面积公式和已知条件得出 ac 的值，再利用余弦定理得出的值， 进而得出 b 的值，再结合三角形的周长公式得出三角形ABC的周长。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合列联表和独立性检验的方法判断出没有 99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关。 （2） 由题意得出随机变量 X 服从二项分布，进而得出随机变量 X 的取值范围，再利用二项式定理求出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量 X 的分布列结合数学期望公式得出随机变量 X 的数学期望。 【解析】【分析】 （1） 连接与交于点 M，则 M 为的中点，连接 ME，再利用点E 为 AB
21、的中点，所以 ME 为的中位线，再结合中位线的性质得出且，再利用点 F 为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再结合相等和平行的传递性得出且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。 （2） 由题意可知，ABBC， ，以 B 为坐标原点，以 BC，BA，所在直线分别为，y，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角为锐角，从而得出二面角的平面角的余弦值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合的关系式和分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，判断出数列是以为首项，为公
22、比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出，再结合等差数列的定义判断出数列是以为首项， 为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。 （2） 若选，由（1）得出，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和；若选，由（1）得出数列的通项公式，再利用分类讨论的方法结合裂项相消的方法和递推公式得出数列的前项和。 【解析】【分析】 （1） 由椭圆的定义得出，再利用椭圆中 a,b,c 三者的关系式得出，由椭圆 C 的短轴长定义结合已知条件得出 b 的值，进而得出 c 的值，从而得出 a 的值，进而得出椭圆 C 的标准方程。 （2）设 ，由（1）知，所以直线过点，再利用
23、两条不重合的直线，关于直线对称，得出，且 M，N 不同时为 C 左、右顶点，设直线 MN 的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用直线，关于直线对称，得出 ， 再结合两点求斜率公式和 ，进而得出 n 的值，所以直线 MN 恒过定点 ，再利用两点距离公式得出 的值，当 与 C 的上顶点或下顶点重合，进而得出当 时，OMP的面积取得最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积的最大值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再设方程的根为，则，由正弦函数的图像可知的值，再结合同角三角函数基本关系式得出，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而得出函数在区间上的极值之和。 (2) 由 ，得，设，再利用导数的运算法则得出导函数，则， 设，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出存在，使得，当时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域， 从而得出存在使得，不合题意；再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而得出满足要求的实数 a 的取值范围。
