1、 数学模拟试卷数学模拟试卷 一、单选题一、单选题 1已知 aR，复数，若为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A1 Bi C D0 2已知集合，集合，则（ ） A B C D 3已知扇形的圆心角为 120，半径为 3，则这个扇形的面积为（ ） A3 B2 C D 4下列有关命题的说法不正确的是（ ） A命题“若，则”的逆否命题为：若，则 B是的充分不必要条件 C若为假命题，则，均为假命题 D对于命题：，使得，则：，均有 5已知等差数列前 15 项和为 45，若，则（ ） A16 B55 C-16 D35 6一个盒子里有 20 个大小形状相同的小球，其中 5 个红的，5 个黄的，10 个绿的，从盒子中
2、任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( ) A B C D 7已知函数是定义在上的奇函数，当时，有成立，则不等式的解集是（ ） A B C D 8已知直线：(t 为参数)与圆：交于、两点，当最小时，的取值为（ ） A4 B2 C1 D-1 二、多选题二、多选题 9设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A B C D 10在中，下列命题为真命题的有（ ） A若，则 B若，则为锐角三角形 C若，则为直角三角形 D若，则为直角三角形 11对于函数，下列说法正确的有（ ） A在处取得极大值 B只有一个零点 C D若在上恒成立，则 12为评估一种农作物的种植效果，选了块地作
3、试验田这块地的亩产量 单位：分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A，的平均数 B，的标准差 C，的方差 D，的中位数 三、填空题三、填空题 13设函数，取，则，的大小关系为 .（用“”连接） 14方程的实根个数是 15双曲线的焦点坐标是 ；渐近线方程是 . 16如图，在矩形 中， ， 为 中点，沿直线 将 翻折成 ，使平面 平面 .点 分别在线段 上，若沿直线 将四边形 向上翻折，使 与 重合，则 ，四棱锥 的体积为 . 四、解答题四、解答题 17在 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且满足 . （1）求角 B 大小； （2）若 为锐角三角形，
4、且 ，求 周长 的取值范围. 18知数列 满足： ， . （1）求证： ； （2）求证： 19某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组：0，10） ，10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. （1）写出 a 的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足 10 个小时的
5、样本学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中初中生的人数，求X 的分布列和数学期望. 20正三棱柱的底边长为 2，分别为的中点. （1）已知为线段上的点，且，求证：面； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 21已知椭圆 C：的短轴长为 2，离心率为设点是轴上的定点，直线 l：，设过点的直线与椭圆相交于 A、B 两点，A、B 在 上的射影分别为、 （1）求椭圆的方程； （2）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 22已知函数 （1）求函数单调区间； （2）若时，函数恒成立，求实数的取值范围 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】依题意可知为纯虚数，故，故虚部为. 故
6、答案为：A 【分析】先化简，利用为纯虚数，实部为零，可求得 a 的值，进而求得的虚部. 【解析】【解答】解：集合，集合， 故答案为：A 【分析】利用并集定义直接求解即可. 【解析】【解答】由扇形面积公式可得 这个扇形的面积为 故答案为：A 【分析】根据扇形面积公式即可求解 【解析】【解答】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确； 对于 B：因为 解得 或 ，故 是 的充分不必要条件，B 符合题意； 对于 C：因为 为假命题，则 、 中至少有一个为假命题，C 不符合题意. 对于 ：对于命题 ： ，使得 ，则 ： ，均有 满足特称命题的否定是全称命题，故 正确 故答案为：C 【分析】利用
7、四种命题的逆否关系判断 A 的正误；充分条件、必要条件判断 B 的正误；复合命题的真假判断 C 的正误；特称命题的否定判断 D 的正误. 【解析】【解答】依题意，所以，所以. 故答案为：A. 【分析】由等差数列的性质知，进而可得答案. 【解析】【解答】记：取的球不是红球，：取的球是绿球则， ， . 故答案为：C 【分析】先记事件 A,B，再利用古典概型、条件概率公式计算即可. 【解析】【解答】成立设， 则 ，即 时 是增函数， 当 时， ，此时 ； 时， ，此时 又 是奇函数，所以 时， ； 时 则不等式 等价为 或 ， 可得 或 ， 则不等式 的解集是 ， 故答案为：A 【分析】构造函数，求
8、函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化即可 【解析】【解答】解：圆：化为直角坐标方程为： 把直线 ： ，化为普通方程为： ， 由于直线 过定点 在圆的内部， 因此当 时， 取得最小值 ， ， 解得 故答案为：D 【分析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，由于直线过定点在圆的内部，当时，取得最小值利用，即可得出 【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知 AD 是正确的； 而 运算后是实数， 没有这种运算，B 不正确； ，C 不正确. 故答案为：AD. 【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】解：A：若
9、，由正弦定理得， ，则 A 符合题意； B：若 ，则 ， ，即 为钝角， 为钝角三角形，故 B 不符合题意； C：若 ，则 ， 为直角三角形，故 C 符合题意； D：若 ，则 ， ， ， 由余弦定理知 ， ，则 ， ， ， 为直角三角形，故 D 符合题意 故答案为：ACD 【分析】利用正弦定理判断选项 A，利用数量积的性质判断选项 B 和 C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项 D 【解析】【解答】对于 A，函数， 令 ，即 ，解得 ， 当 时， ，故 在 上为单调递增函数， 当 时， ，故 在 上为单调递减函数， 在 时取得极大值 ，A 符合题意； 对于 B， 在 上为单调递增函数， ， 函
10、数 在 上有唯一零点， 当 时， 恒成立，即函数 在 上没有零点，故 有唯一零点，B 符合题意； 对于 C， 在 上为单调递减函数， ， ，C不符合题意； 对与 D，由 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 设 ，则 ，令 ，解得： ， 当 时， ，函数 在 上单调递增； 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时，函数 取得最大值，最大值为 ， ，D 不符合题意 故答案为：AB 【分析】对 A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对 B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对 C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对 D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求
11、解. 【解析】【解答】在 A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标， A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 C 中，方差能反映一个数据集的离散程度，C 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”， D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 故答案为：BC 【分析】利用平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义对各选项直接一一判断即可. 【解析】【解答】当时，在区间上递增且恒大于零， 故
12、 当 时， 是一个关于 的对称函数，满足 ， 且其在 上递增，在 上递减， 故 ， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，故 ， 故答案为： 【分析】分别根据三个函数的单调性、对称性，结合裂项相消法，化简求得，并判断的范围，从而可得结论. 【解析】【解答】解：设，则， 令 ，得 或 ， 时 ，即 在 上单调递增； 当 时 ，即 在 上单调递减； 当 时 ，即 在 上单调递增， 所以函数在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ， 由上分析知 的图象如图所示，函数与 轴只有一个公共点， 所以方程 只有一个实根 故答案为：1 【分析】令 利用导数说明函数的单
13、调性与极值，即可得到函数的草图，从而判断即可. 【解析】【解答】，故焦点坐标为（2,0） ，渐近线方程为 故答案为： （2,0） ； 【分析】求出 a,b,c，再求解即可. 【解析】【解答】如图：过 作 ，垂足为 ，连 ，则 ， 因为平面 平面 ，取 的中点 ，连 ，因为 ，则 ， 所以 平面 ，所以 ，所以 三点共线， 在三角形 中， ，所以 ，所以 ， 在 中， ，所以 ， 在 中， ， 设 ，则 ， 在 中 ， 所以 ，解得 ，即 ， 设 ，则 ， 在直角 中， ，即 ，解得 ， 即 ， 在直角 中， ， 所以 ， 过 作 ，垂足为 ，则 ， 在直角 中， ，所以 ，所以 ，所以 ， 所
14、以四边形 的面积为 ， 所以四棱锥 的体积为 ， 故答案为： （1）2 （2） 【分析】过 作 ，垂足为 ，连 ，则 ，因为平面 平面 ，取 的中点 ，连 ，因为 ，则 ，所以 平面 ，所以 ，所以 三点共线，在三角形 中，求出 ，在 中，求出 ，在 中， ，根据余弦定理求出 ，在直角 中，求出 ， ，过 作 ，垂足为 ，在直角 中，求出 ，则 ，从而可得四边形 的面积为 ，最后由四棱锥的体积公式可得体积. 【解析】【分析】 （1）根据条件由降幂公式结合正弦定理可得 ，即 ，再由角 的范围可得出答案.（2）由由正弦定理有 ，再根据（1） ，可得 ，然后由 为锐角三角形求出角 的范围，即可求出答
15、案. 【解析】【分析】 （1）由已知递推式利用作差法来判断 与 的大小关系，即可证明结论； （2）把递推式进行整理重新组合，化成 与 的倒数关系式， 由（）得 ，结合裂项相消法化简，利用放缩法即可证明不等式. 【解析】【分析】 （1）根据频率频率直方图的性质，可求得 a 的值； （2）由分层抽样，求得初中生有 60 名，高中有 40 名，分别求得初高中生阅读时间不小于 30 小时的学生的频率及人数，求和； （3）分别求得初高中生中阅读时间不足 10 个小时的学生人数，写出 X 的取值及概率，写出分布列和数学期望. 【解析】【分析】 （I）取 B1A1中点为 N，连结 BN，推导出 BNA1F，从而 EMBN，进而EMA1F，由此能证明 EM面 A1FC （II）以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AA1=a，利用向量法能求出结果 【解析】【分析】(1)根据题意列方程得出 a,b 的值即可得出椭圆方程； (2)求出当直线 AB 斜率为 0 时的值，再求当直线 AB 斜率不为零或不存在时的值.当直线 AB 斜率不为零或不存在时，设直线 AB 方程为，和椭圆方程联立，根据韦达定理计算.由此即可得出结论 【解析】【分析】 （1）利用导数即可求出单调区间； （2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可.
