1、 高三理数第二次质量检测试卷高三理数第二次质量检测试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B CM DN 2若复数，则（ ） A B C D10 3若等差数列和等比数列满足，则（ ） A4 B1 C1 D4 4已知，则（ ） A B12 C12 D 5已知函数，若，则（ ） A B C D 6“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中 R 为球的半径，为球冠的高） ，设球冠底的半径为 r，周长为 C，球冠的面积为 S，则当，时，（ ） A B C D 7甲乙丙三人参加 2022 年
2、冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的记 X 为三人选中的赛区个数，Y 为三人没有选中的赛区个数，则（ ） A， B， C， D， 8如图，已知 AB 是圆柱底面圆的一条直径，OP 是圆柱的一条母线，C 为底面圆上一点，且，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为（ ） A B C D 9已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C 三点，则的面积是（ ） A2 B C D4 10已知函数恰有两个极值点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 11过双曲线的下焦点作圆的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线于点 P，O 为
3、坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知向量，满足，且，则在上的投影为 14在的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为 0，则含的项的系数为 （用数字作答） 15已知 P 是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若 M 是的角平分线上一点，且，则的取值范围是 16设为数列的前 n 项和，满足，数列的前 n 项和为，满足，则 三、解答题三、解答题 17在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知， （1）求角 A； （2）若
4、点 D 在边 AC 上，且，求BCD面积的最大值 18为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y（单位：万台）关于 x（年份）的线性回归方程为，且销量 y 的方差为，年份 x 的方差为 附： （i）线性回归方程：，其中，； （ii）相关系数：，相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱 （iii） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中 （1）求 y 与 x 的相关系数 r，并据此判断电动汽车销量 y 与年份 x 的相关性强弱； （2）该
5、机构还调查了该地区 100 位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 能否有 99.5%的把握认为购买电动汽车与性别有关？ 19如图，在三棱锥 DABC 中，G 是ABC的重心，E，F 分别在 BC，CD 上，且， （1）证明：平面平面 ABD； （2）若平面 ABC，P 是线段 EF 上一点，当线段 GP长度取最小值时，求二面角的余弦值 20如图，圆与抛物线相交于点 A、B、C、D，且 （1）若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，求抛物线的方程； （2）设与 BD 相
6、交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值 21设函数 （1）当时，求在上的单调区间； （2）记，讨论函数在上的零点个数 22在直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）写出直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，PQ 中点为 M，A（1，0） ，求的值 23已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若，使，求实数 a 的取值范围 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解：， 因为当 时， ， 所以函数 过点 ，
7、 所以 ， 所以 . 故答案为：D. 【分析】化简集合 M，确定两集合关系，即可求解。 【解析】【解答】由于 ， ， ， ； 故答案为：B. 【分析】化简复数 z,即可得共轭，由模长公式即可求解。 【解析】【解答】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 d 和 ，则 ， 求得 ， ，那么 。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而解方程组求出公差和公比的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出 的值。 【解析】【解答】因为 ， ， ， 解得： ，所以 ， 所以 ， 所以 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关
8、系式得出 的值，再结合二倍角的正切公式得出 的值。 【解析】【解答】 定义域为 R，且 ，又因为 ，所以 ，所以 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合定义域求解方法和求和法得出 ，再利用 和代入法得出 与 a 的关系式。 【解析】【解答】如示意图，根据题意 ， ，由勾股定理可得 ，联立方程解得 ， 于是 。 故答案为：B. 【分析】根据题意结合球冠的周长公式得出 r 的值，再利用球冠的面积公式得出 Rh 的值，由勾股定理可得出 h,R 的值，进而得出 的值。 【解析】【解答】解：由题意得的可能取值为 1，2，3， 则 ， ， ， 所以 ， ， 的可能取值为 0，1，2， 则 ， ， ，
9、， ； ， 故答案为：D 【分析】由古典概型概率计算公式计算 X，Y，取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望，方差计算公式得出结果，即可判断。 【解析】【解答】解：因为 AB 是圆柱底面圆的一条直径， 所以 ， 又 OP 是圆柱的一条母线， 如图，以 为原点建立空间直角坐标系， 因为 ，所以 ， ， 又因 ，所以 ， 所以 ，即 ， 设 ，则 ， 则 ， 则 ， 设平面 PAB 的法向量为 ， 则有 ，可取 ， 则 ， 所以直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 . 故答案为：A. 【分析】如图建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量计算公式即可求解。 【解析】【解答】 ，则 ，令 ，即
10、 或 或 ，解得： ， ， ，不妨设 ， ， ，则 为等腰三角形， 。 故答案为：A 【分析】利用 x 的取值范围结合两函数求交点的方法，令 ，从而得出交点的坐标，再结合两点求距离公式结合等腰三角形的定义，进而判断出三角形 为等腰三角形，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积 。 【解析】【解答】解：函数， ， 由于函数 的两个极值点为 ， ， 即 ， 是方程 的两不等实根， 即方程 ，且 ， ； 设 ， ， 因为 恒过定点 ，设函数 上点 的切线恰过点 ，因为 ，则 ，即 ，解得 ，即 ，切线的斜率 ， 在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示： 要使这两个函数有 2 个不同的交点，应
11、满足 ， 解得 ， 所以 的取值范围是 故答案为：D 【分析】由函数 的两个极值点为，转化成，是方程的两不等实根，进而转化成，由有两个交点，在同一坐标系画出两函数图像，如图，即可求解。 【解析】【解答】设双曲线的上焦点为 ，则 ， 抛物线为 ， 为抛物线的焦点，O 为 的中点， ，则 为 FP 的中点，又 为 的中点，则 为 的中位线， ， ， 切圆 O 于 E， ， 设 ，则 ， ， 由点 在抛物线 上，则 ， 在直角 中， ， 即 ，整理得 ， 即 ，又因为 ，所以 。 故答案为：D 【分析】设双曲线的上焦点为 ，则 ，从而设出抛物线标准方程，所以 为抛物线的焦点，O 为 的中点，再结合平
12、行四边形法则和中点的性质，则 为 FP 的中点，再利用 为 的中点，则 为 的中位线，再结合中位线的性质，所以 ，再利用 ，得出 ，再利用 切圆 O 于 E，得出 ，进而得出 ，设 ，再利用两点距离公式得出 ，由点 在抛物线 上结合代入法得出 ，在直角 中结合勾股定理和中点的性质，得出 ，再利用双曲线的离心率变形和双曲线的取值范围，进而得出双曲线的离心率的值。 【解析】【解答】记 ，则 ， 令 ，解得： ； ，解得： ； 所以 在 单减，在 单增. 所以 ，即 . 当 时，有 ，即 ； 记 ，则 . 令 ，解得： ； ，解得： ； 所以 在 单增，在 单减. 所以 ，即 ， 当 时，有 ，即
13、， 所以 。 故答案为：A 【分析】记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而比较出 a,b 的大小，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而比较出 a,c 的大小，进而比较出 a,b,c 的大小。 【解析】【解答】解：因为，所以， 因为 ，所以 ，即， 所以 在 上的投影为 故答案为：-1 【分析】由 ，求出 ，再由投影计算公式即可求解。 【解析】【解答】解：依题意，因为只有第 6 项的二项式系数最大，所以，即，令，则，所以，所以二项式展开式的通项为，令，解得，则，即展开式中项的系数为 45； 故答案为：45 【分析】由二项式系数的最大项可确
14、定 n=10，进而令 x=1,可求 a,再由通项公式即可求解。 【解析】【解答】由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限， 延长 交 的延长线于点 ，连接 ， 由于 在 的角平分线上，可知 ， 所以 与 全等，则 ， 再由 ，知 ， ， （其中 为 的横坐标） ， ，由 可知 ，由椭圆的方程知 ， 的取值范围是（0,2） 。 故答案为： （0,2） 。 【分析】由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，由于 在 的角平分线上，可知 ，所以 与 全等，再利用两三角形全等对应边相等，则 ，再由 ，知 ，再结合作差法和椭圆的定义和勾股定理得出 （其中 为 的横坐标） ，
15、由 可知 的取值范围，再由椭圆的方程得出 c 的值，进而得出 的取值范围。 【解析】【解答】由，得， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 满足上式，则 ， 当 时， ， 满足上式， 所以 ， 所以 ， 所以 故答案为： 【分析】通过累乘可求得 ，进而作差可得，再由裂项相消法即可求解。 【解析】【分析】 （1）由正弦定理边化角，化简即可求 A; (2)由 ，可得 ，进而求得 ABC面积最大值即可，由余弦定理，结合 b2+c2,可求 bc 最大值，即可求解。 【解析】【分析】 （1）由相关系数计算公式求出相关系数，即可说明问题； （2）由公式计算 ，比对表格即可求解。 【解析】【分析】 （1）易证平面
16、ABD， 和平面 ABD ，即可证 平面平面ABD； （2）如图建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由二面角的向量计算公式即可求解。 【解析】【分析】 （1） 利用抛物线 求出焦点的坐标，即焦点为 ，设点 ，再结合向量的坐标表示结合数量积的坐标表示得出 p 的值，进而得出抛物线的标准方程。 （2） 根据圆与抛物线的对称性，四边形 是以 轴为对称轴的等腰梯形，不妨设 ，A、D 在第一象限，设点 、 ，再结合点与点关于 y 轴对称，则 、 ， ，再利用圆与抛物线相交，联立二者方程可得 ，则关于 的二次方程 有两个不等的正根，再利用判别式法和韦达定理和 p 的取值范围，进而结合交集的运算法则，从
17、而得出实数 p 的取值范围，依据对称性，点 在 轴上，可设点 ，由 结合两点求斜率公式得出 m 的值，从而得出点 G 的坐标，再结合三角形的面积公式和 ，再利用均值不等式求最值的方法得出 与 组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积 S 的最大值。 【解析】【分析】 （1）求出导函数，由和求解即可； （2）易知 x=0 满足，当 ，可得恒成立，无零点，由 g(x)=0,可得，构造函数，求出导函数，在构造，通过求导确定在上单调递减 ，进而说明的符号，确定 h(x)的单调性，进而解决问题。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，得出直线
18、 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程。 （2） 利用直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，联立二者方程得出交点 P,Q 的坐标，再结合中点的坐标表示得出点 M 的坐标，再结合点 A 的坐标结合两点距离公式得出 的值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合零点分段法得出绝对值不等式 的解集。 （2） ，使 ，则函数 的图象与直线 有公共点，利用直线 恒过点 ，再结合绝对值的定义得出分段函数 f(x)的解析式，再利用分段函数 f(x)的解析式画出分段函数 f(x)图像,进而得出分段函数 f(x)的图象的最低点的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线 PA 的斜率，由分段函数的图象和直线 的图像可知函数 的图象与直线 有公共点时的实数 a 的取值范围。
