1、高三理数第一次模拟试卷高三理数第一次模拟试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合 ，则 （ ） A B C D 2复数 的共轭复数为（ ） A B C D 3已知向量，且，若，均为正数，则的最小值是（ ） A24 B8 C D 4下列说法错误的是（ ） A命题“若则”的逆否命题是“若则” B命题，使得则均有 C“”是“”的充分不必要条件 D若为假命题，则均为假命题 5袋中有红黄绿，蓝颜色的球各一个，每次随机取一个后放回袋中，连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率为（ ） A B C D 6已知在 中，角 的对边分别为 则 边上的高为（ ） A1 B C D2 7“干支纪年法”是我国历法的一种
2、传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙寅、丙戌、癸已；共得到 60 个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020 年是“干支纪年法”中的庚子年，那么 2082 年出生的孩子属相为（ ） A猴 B马 C羊 D虎 8关于函数的图象或性质的说法中，正确的个数为（ ） 函数的图
3、象关于直线对称；将函数的图象向右平移个单位所得图象的函数为；函数在区间上单调递增；若，则. A1 B2 C3 D4 9设函数 f(x)=若，则实数的取值范围是（ ） A B C D 10已知函数 的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则 2a-b 的取值范围是（ ） A B C D 11设 分别为双曲线 的左右焦点，双曲线上存在一点 使得 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B3 C D 12已知定义域为的函数满足，且，e 为自然对数的底数，若关于 x 的不等式恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知是第二象限角，且，则 . 14 的展开式中
4、， 的系数为 . 15已知抛物线 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，则直线 ( 为坐标原点)的斜率之积为 . 16在四面体 PABC 中，平面平面 ABC，则该四面体的外接球的体积为 . 三、解答题三、解答题 17已知数列的前项和为，且满足，设 （1）分别求和的通项公式； （2）求数列的前项和 182021 年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆 8 省市将迎来“3+1+2”新高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500 名学生的选科倾
5、向，随机抽取了 100 人，统计选考科目人数如下表： 选考物理 选考历史 总计 男生 40 50 女生 总计 30 参考公式：，其中 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）补全 22 列联表，并根据表中数据判断是否有 95%的把握认为“选考物理与性别有关”； （2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校 3 名学生，设这 3 人中选考历史的人数为X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，在多面体 中，四边形 是边长为 2 的正方形，四边形 是直角梯形，其中 ， ，且 .
6、 （1）证明：平面 平面 . （2）求二面角 的余弦值. 20如图，椭圆：的一个顶点为，离心率为.，是过点且互相垂直的两条直线，其中，交圆：于，两点，交椭圆于另一点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程. 21已知函数 （）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （）已知 ， ， .当 时， 有两个极值点 ，且 ，求 的最小值 22已知圆 的方程为 ，直线 的参数方程为 ， （ 为参数， ） 以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 的极坐标方程； （2）设 与 交于 ， 两点，当 时，求 的极坐标方程. 23 （1）设 ，证明 ； （2）求满足方程
7、 的实数 的值. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， 于是有 ， 所以 . 故答案为：B 【分析】先化简集合 A,B，再根据交集的定义进行运算，即可得出答案。 【解析】【解答】 ， 故 故答案为：B 【分析】 首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，要求复数的共轭复数只要把复数的虚部变化为相反数. 【解析】【解答】， ， 化简得 ， ， 当且仅当 时，等号成立； 的最小值是 8。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合两向量共线的坐标表示得出 x,y 的值，再利用均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值 。 【解析】【解答】对于 A:根据
8、逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确; 对于 B:命题 “ ，使得 ”，则 ：“ ，均有 ”，故错误; 对于 C: 或 ，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，故正确; 对于 D:若 为假命题，则 都是假命题，故正确 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合原命题与逆否命题的关系得出命题“若 则”的逆否命题；利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系得出命题 p 的否定；利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法推出 “”是“”的充分不必要条件；利用已知条件结合复合命题真假性判断方法，从而判断出命题 p,q 的真假性，进而找出说法错误的选项。 【解析】【解答】解：
9、依题意基本事件总数为 ，取出的球颜色完全不相同，即将红黄绿，蓝四个球全排列，则满足条件的基本事件数为 故连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率 故答案为：C 【分析】依题意基本事件总数为 ，取出的球颜色完全不相同，即将红黄绿，蓝四个球全排列，则满足条件的基本事件数为 ，根据古典概率即可求出答案。 【解析】【解答】因为 所以 ，即 ，解得 ， 所以 ，又 ，所以 ， 所以 边上的高为 ， 故答案为：D. 【分析】先根据余弦定理求得 a，再由余弦定理求得 cosB，进而求得 sinB，从而可得答案。 【解析】【解答】由题意，2080 年也是庚子年，2081 年是辛丑年，2082 年是壬寅年，寅
10、属虎， （或属于是 12 年一个周期，2080 年属鼠，2081 年属牛，2082 年属虎） 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合函数的周期性，从而得出 2082 年出生的孩子属相。 【解析】【解答】令，解得，当时，则，故正确； 将函数 的图像向右平移 个单位得： ，故错误； 令 ，解得 ，故错误； 若 ，即 ， 则 ，故错误。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图像判断出函数的对称性、再结合正弦型函数的图像变换，则由函数 的图像得出；再利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数在区间上的单调性；再利用已知条件结合代入法和诱导公式得出的值，进而找出正确的个数。 【解析】【解答】
11、当时， 由 得 ， 所以 ，可得： ， 当 时， ， 由 得 ， 所以 ，即 ，即 ， 综上可知： 或 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合代入法和对数函数的单调性，进而得出实数 a的取值范围。 【解析】【解答】由函数 f（x）x3+2ax2+3bx+c，求导 f（x）3x2+4ax+3b， f（x）的两个极值点分别在区间（1，0）与（0，1）内， 由 3x2+4ax+3b0 的两个根分别在区间（0，1）与（1，0）内， 即 ，令 z2ab， 转化为在约束条件为 时，求 z2ab 的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界） ， 目标函数转化为 z2ab，由图可知，z
12、在 A（ ，0）处取得最大值 ，在（ ，0）处取得最小值 ， 因为可行域不包含边界，z2ab 的取值范围（ ， ） 。 故答案为：B 【分析】利用导数的运算法则，进而求出函数 f(x)的导函数，再利用函数 f（x）的两个极值点分别在区间（1，0）与（0，1）内，则可得 3x2+4ax+3b0 的两个根分别在区间（0，1）与（1，0）内，再利用根与系数的关系，得出二元一次不等式组 ，令 z2ab，再利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再由最优解求出线性目标函数的取值范围。 【解析】【解答】设 P 点在双曲线右支上，由双曲线定义知， ， 则由题知， ， 则 ， 化简得 ，则 ，
13、 则 ，离心率 故答案为：A 【分析】 由双曲线的定义可得， 两边平方，再由条件,即可得到 a, b 的关系，再由双曲线的 a, b, c 的关系式，结合离心率公式，即可求得. 【解析】【解答】由，得 设 ， ， 则 ，从而有 . 又因为 ，所以 ， ， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 . 因为不等式 恒成立，所以 ， 即 ，又因为 ，所以 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性， 从而求出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数 a 的取值范围。 【解析】【解答】。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和同角三角
14、函数基本关系式，从而得出 的值。 【解析】【解答】对于式子 取 的二项展开式中的含 的项， 此项为 ， 对于式子 取 的二项展开式中含 的项， 此项为 ， 所以含 的项为 ， 所以 的系数为 13. 故答案为：13. 【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可得出 的系数 。 【解析】【解答】设点 设 的方程为 ，则 得 ，则 ，所以 ，从而 . 故答案为：-2. 【分析】 设出 AB 坐标，设出直线 l 的方程，利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，转化求解斜率乘积即可 【解析】【解答】如图，设 AB 的中点为 D，连接 PD，DC，因为， ，所以 ， ， 又平面 平面 ABC，所以 平
15、面 ABC， 平面 PAB. 设该四面体外接球的球心为 O， ， 的外接圆圆心分别为 ， ， 易知 ， 分别在直线 DC，PD 上，连接 ， ，则 平面 ABC，所以 ，则四边形 为矩形. 设 ， 的外接圆半径分别为 ， ，外接球的半径为 R， 在 中，由正弦定理得 ，则 . 在 中， ，易得 ，所以 ， 所以 ，得 ，则 ，连接 PO， 在 中， ， 所以该四面体的外接球的体积 。 故答案为： 。 【分析】设 AB 的中点为 D，连接 PD，DC，利用 ，再结合等腰三角形三线合一得出，再利用平面平面 ABC 结合面面垂直的性质定理得出线面垂直，所以平面 ABC，平面 PAB，设该四面体外接球
16、的球心为 O，的外接圆圆心分别为，易知，分别在直线 DC，PD 上，连接，则平面 ABC，所以，则四边形为矩形，设，的外接圆半径分别为，外接球的半径为 R，在中，由正弦定理得出的值，在中结合勾股定理和两角互补的性质和正弦定理的性质，得出的值，再结合作差法得出的长，连接 PO，在中结合勾股定理得出 R 的值，再利用球的表面积公式得出该四面体的外接球的体积。 【解析】【分析】 （1） 由知，当时，再利用两式相减结合的关系式，再结合检验法得出数列的通项公式，再利用得出数列的通项公式。 （2） 由（1）知数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列 的前 项和。 【解析】【分析】 （1） 根据题意补
17、全 22 列联表，再利用 22 列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有的把握认为“选考物理与性别有关” 。 （2）利用已知条件得出随机变量 X 的所有可能取值，再利用随机变量 X 服从二项分布结合二项分布求出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量 X 的分布列结合数学期望公式，进而得出随机变量 X的数学期望。 【解析】【分析】 （1）推出 ， ，根据面面垂直的判定定理可得 平面 平面 ； （2） 以 为坐标原点，以射线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系 ，利用向量法可求出二面角 的余弦值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件椭圆：的一个顶点为，从而得出 b
18、 的值，再结合椭圆的离心率为结合椭圆的离心率公式得出 a,c 的关系式，再利用椭圆中 a,b,c三者的关系式得出 a,c 的值，进而得出椭圆的标准方程。 （2）利用直线 ，且都过点，所以设直线：，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，进而设出直线：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线：的距离，再利用弦长公式得出直线被圆所截的弦的长，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出点 D 的横坐标，再结合弦长公式得出 D,P 两点的距离，再利用三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出取最值时 k 的值，从而得出此时对应的直线的方程 。 【解析】【分析】 （1）利用已知条
19、件结合不等式恒成立问题求解方法和均值不等式求最值的方法，进而得出实数 a 的取值范围。 （2）利用 a 的值得出 ，再利用导数的运算法则得出导函数，即，由已知有两个互异实根，由韦达定理得出，再结合作差法和求导判断函数单调性的方法得出函数的最小值，进而得出的最小值。 【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，即可得出极坐标的方程。 (2)根据题意把直线的参数方程化为普通方程，然后代入到圆的方程消元后结合韦达定理，由弦长公式整理化简结合正弦函数的单调性计算出的取值，并代入到极坐标方程即可。 【解析】【分析】 （1）利用基本不等式可知 ，利用 ，计算可得结论； （2）由 得 ，计算可得满足方程 的实数 的值.
