1、高三下学期理数二模试卷高三下学期理数二模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合,则( ) A B C D 2复数的虚部是( ) A B1 C D-1 3已知命题,则为( ) A, B, C, D, 4若满足约束条件,则的最小值为( ) A5 B1 C-3 D-5 5在正方体分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为( ) A B C D 6函数的最小值为( ) A1 B-1 C D 7已知函数为定义在 R 上的奇函数,且,当时,则( ) A2021 B1 C-1 D0 8某单位决定从 4 名男党员干部和 3 名女党员干部中选取 3 人赴外地考察学习,若选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部
2、,则不同的选取方案共有( ) A60 种 B34 种 C31 种 D30 种 9魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图) ,通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为 3:2.若在该正方体的外接球内任取一点,此点取自“牟合方盖”内的概率为( ) A B C D 10已知,且,则( ) A-2 B C D 11已知,则函数的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 12已知 AB 是椭圆()长轴的两端点,PQ 是椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AP,BQ 的斜率分别为,() ,若椭圆的离心率为,则的最小值为(
3、) A2 B C1 D 二、填空题二、填空题 13在中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若则边 . 14已知平面向量,则 . 15给出以下命题: “”是“,”的充分不必要条件; 垂直于同一个平面的两个平面平行; 若随机变量 XN(3,) ,且,则; 已知点 P(2,0)和圆 O:上两个不同的点 M,N,满足MPN=90,Q 是弦 MN的中点,则点 Q 的轨迹是一个圆. 其中正确命题的序号是 . 16已知双曲线 C: (,)的左焦点为 F,过 F 且与双曲线 C 的一条渐近线垂直的直线 l与另一条渐近线交于点 P,交 y 轴于点 A,若 A 为 PF 的中点,则双曲线 C 的离心率为
4、. 三、解答题三、解答题 17已知函数,数列满足.数列为等差数列,满足,. (1)求数列、的通项公式; (2)求数列的前项和. 18某地区 2015 年至 2021 年居民家庭人均存款 y(单位:万元)数据如下表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均存款 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 变量 t,y 具有线性相关关系.现有甲乙丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为:甲;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. (1)试判断谁的计算结果正确? (2)若由线性回归方程得到
5、的估计数据与检测数据的误差大于 0.1,则称该数据为“不可靠数据”,若误差为 0,则称该检测数据是“完美数据”,这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据,从剩余数据中随机抽取 2 个,求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望. 19如图,四边形与均为菱形,且. (1)求证:平面; (2)求二面角 的余弦值. 20已知抛物线 C:() ,过焦点 F 作 x 轴的垂线与抛物线 C 相交于 MN 两点,SMON=2. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)点 A 是抛物线 C 上异于点 O 的一点,连接 AO 交抛物线的准线于点 D,过点 D 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B,求
6、证:直线 AB 恒过定点. 21已知函数. (1)若恒成立,求实数 k 的取值范围; (2)证明:(,). 22已知曲线 的参数方程为 ( 为参数) ,曲线 的参数方程为 ( 为参数) ,以坐标原点 为极点, 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求曲线 与曲线 公共点的极坐标; (2)若点 的极坐标为 ,设曲线 与 轴相交于点 ,点 在曲线 上,满足 ,求出点 的直角坐标. 23已知关于 x 的不等式有解. (1)求实数 m 的取值范围; (2)设是 m 的最大值,若,且,求证:. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】 所以 函数要有意义,则,所以 所以 所以 故答案为:C 【分析
7、】化简集合 A,B,再根据交集的运算可得答案。 【解析】【解答】解:复数 z=i, z 的虚部是1 故答案为:D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算可得答案。 【解析】【解答】由全称命题的否定知:,. 故答案为:C. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案。 【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示, 由得:, 则当取最小值时,在轴截距取得最大值, 由图象可知:当直线过时,轴截距最大, 由得:,即,. 故答案为:C. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案。 【解析】【解答】连接、易知,即为异面直线与
8、所成角或其补角,易知等边三角形, 故角为. 故答案为:C. 【分析】 由题可知,平移得到,即为异面直线与所成角或其补角,在中求出即可. 【解析】【解答】 当时,取得最小值. 故答案为:D 【分析】根据三角恒等变换的公式化简函数,再结合正弦函数的性质可得答案。 【解析】【解答】因为, 所以, 所以,所以函数的周期为 4, 所以, 因为函数为定义在 R 上的奇函数,且当时, 所以, 所以1, 故答案为:B 【分析】 由已知条件可得函数的周期为 4,然后利用周期化简结合奇函数的性质和已知的解析式可求得答案. 【解析】【解答】从 7 名党员选 3 名共有种情况,全男或全女的情况共有种情况, 则既有男党
9、员干部又有女党员共有种情况. 故答案为:D 【分析】根据题意求出从 7 名党员选 3 名的数目,再求全男或全女的情况的数目,相加可得答案。 【解析】【解答】设正方体棱长为 1,则正方体体对角线,外接球半径,所以牟合方盖的体积,外接球的体积,所以,所求概率. 故答案为:B 【分析】设正方体棱长,根据体对角线长等于外接球的直径,然后根据体积比可求得答案。 【解析】【解答】因为,由二倍角公式可知, , 即, 因为,等式两边同时除以得, 即, 故答案为:B. 【分析】利用正、余弦二倍角公式化简,再等式两边同时除以,可求出答案。 【解析】【解答】函数定义域为,求导得:, 令,显然在上单调递减,而, 则存
10、在,使得,即,当时,当时, 因此,在上单调递增,在上单调递减, , 而,则存在使得,即在上存在唯一零点, 又,令, 则在上单调递减, 于是得,则存在使得,即在上存在唯一零点, 综上得:函数的零点个数为 2. 故答案为:C 【分析】求出函数 f (x)的导数,利用导数讨论 f (x)单调性,确定其最大值为正,再根据零点存在性定理可得答案. 【解析】【解答】由已知可得, 设点,则,且有,可得, 设点、,则 ,因为在椭圆上,所以所以当时,的最小值为:. 故答案为:D. 【分析】求出的值,推导出,所以当时,求出 的最小值 . 【解析】【解答】由题知:, 因为,所以. 又因为,所以. 所以,. 故答案为
11、:2 【分析】根据正弦定理得出,从而得到,再利用勾股定理计算可得 c 的值。 【解析】【解答】由, 由, 故答案为:7 【分析】 利用向量的模的运算法则,转化求解向量的数量积即可. 【解析】【解答】解:对于:由,得,所以“”是“,”的充分不必要条件,故正确; 对于:垂直于同一个平面的两个平面可能平行,也可能相交,故不正确; 对于:因为随机变量 XN(3,) ,且,所以, 所以,故不正确; 对于:设点,由题意得,则,化简得,所以点 Q 的轨迹是一个圆.故正确, 故答案为:. 【分析】对于:由,得,根据充分必要条件的定义可判断;对于:由垂直于同一个平面的两个平面可能平行,也可能相交,可判断;对于:
12、根据正态分布的性质计算可判断;对于:设点,由题意得代入点坐标,化简根据圆的定义可判断. 【解析】【解答】设与直线 l 垂直的渐近线的方程为:, 因为直线 与该渐近线垂直,所以, 所以的直线方程为, 令,得, 所以点 A 坐标为, 联立 ,得, 所以点 P 坐标为, 又因为 A 为中点,所以, 即, 化简得, 所以双曲线离心率为:, 故答案为:. 【分析】由已知可得 PF 所在直线方程,与联立,可得 P 点坐标,再由 A 为 PF 的中点,得可得,由此可得双曲线的离心率. 【解析】【分析】(1)由题知, , 可得 bn,可得 a1= 2,a3=6,利用等差数列的通项公式可得 an; (2)由(1
13、)知, ,nN* ,利用求和公式即可求出 . 【解析】【分析】 (1)根据线性回归方程 过样本中心,结合代入法进行求解判断即可; (2)根据(1)的结论,结合古典概型的运算公式,数学期望公式进行求解即可。 【解析】【分析】(1) 设与相交于点,连接, 由已知证明 ,可得 平面; (2)连接 DF,由已知证明DBF为正三角形,O 为 BD 的中点,可得 OFBD,又 且 ,则 平面,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系, 分别求出平面 AEF 的一法向量与平面 AFB 的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的余弦值. 【解析】【分析】(1)利用 求出 yM,yN ,即可
14、把 表示程关于 p 的函数,结合解方程求出 p,即可求出抛物线 C 的标准方程; (2) 设, ,分别表示出 ,的坐标,即可利用 ,三点共线求出 的值,再设 AB 方程为 ,联立抛物线方程即可求解得到 ,最后求出c 的值,即可判断直线 AB 所过的定点. 【解析】【分析】(1)由 f(x)0 得 在(0, +)上恒成立,得 在(0, +)上恒成立,然后构造函数 ,求该函数在(0, +)上的最大值即可求出实数 k 的取值范围; (2)由(1)知,当 k= 1 时, 对任意恒成立,令 (,且),结合 可证明此题. 【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系,在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换; (2)直接利用向量垂直的充要条件和三角函数的值的应用求出结果. 【解析】【分析】(1)利用绝对值不等式的性质求得 的最大值为 3,再由 求解绝对值的不等式即可求出实数 m 的取值范围; (2)由(1)知 M=1,代入 ,然后利用柯西不等式证明 .