1、 高三理数第一次高考诊断考试试卷高三理数第一次高考诊断考试试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2复数( 为虚数单位)的共轭复数（ ） A B C D 32021 年 7 月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款 5000 万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐下图为该品牌服饰某分店 18 月的销量（单位：件）情况以下描述不正确的是（ ） A这 8 个月销量的极差为 4132 B这 8 个月销量的中位数 2499 C这 8 个月中 2 月份的销量最低 D这 8 个月中销量比前一个月增长最多的是 7 月份 4如图，AB 是的直径，点 C，D
2、 是半圆弧上的两个三等分点，则（ ） A B C D 5“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 6函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A的最小正周期是 B直线是图象的一条对称轴 C点是图象的一个对称中心 D的单调递减区间是 7定义在 R 上的奇函数，满足，且当时，则（ ） A-8 B-2 C2 D8 8直线与椭圆相交于 A，B 两点，若将 x 轴下方半平面沿着 x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则的取值范围是（ ） A B C D 9在直角ABC中，且，分别以 BC，AC，AB 所在直线为轴，将ABC旋转一周，形成三个几何体
3、，其表面积和体积分别记为，和，则它们的关系为（ ） A， B， C， D， 10已知以圆 ： 的圆心为焦点的抛物线 与圆在第一象限交于 点， 点是抛物线 ： 上任意一点， 与直线 垂直，垂足为 ，则 的最大值为（ ） A1 B2 C-1 D8 11线段 AB 上任取一点 C，若，则点 C 是线段 AB 的“黄金分割点”，以 AC，BC 为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”现在线段 AB 上任取一点 C，若以 AC，BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（ ） A B C D 12设函数函数若存在唯一的，使得的最小值为，则实数的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题
4、二、填空题 13若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 14已知等差数列满足，则 15曲线的一条切线的方程为，则实数 16在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且若角 C 的平分线交 AB 于 D 点，且，则的最小值为 三、解答题三、解答题 17已知数列满足，数列满足， （1）求数列及的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 182021 年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了 150 个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下： 增长率分组 企业数 15 30 50 38 17
5、 （1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示） ；估计这 150 个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率，则调研价值为 1；被调查的企业同期增长率，则调研价值为2；被调查的企业同期增长率，则调研价值为 3以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，三角形 ABC 是边长为 3 的等边三角形，E，F 分别在边 AB，AC 上，且，M 为 BC 边的中点，AM 交 EF 于
6、点 O，沿 EF 将三角形 AEF 折到 DEF 的位置，使 （1）证明：平面 EFCB； （2）若平面 EFCB 内的直线平面 DOC，且与边 BC 交于点 N，问在线段 DM 上是否存在点P，使二面角 PENB 的大小为 60？若存在，则求出点 P；若不存在，请说明理由 20已知动点 P 到点的距离与它到直线的距离之比为 （1）求动点 P 的轨迹所形成曲线 C 的方程； （2），分别过，作斜率为 k的直线与曲线 C 交于 x 轴上方 A，B 两点，若四边形的面积为，求 k 的值 21已知函数， （1）判断函数的单调性； （2）当时，关于 x 的不等式恒成立，求实数 b 的取值范围 22如图
7、，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为 1 （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标； （2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为 x 轴，经过极点且垂直于极轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t 为参数） 若曲线与曲线相交于除极点外的 M，N 两点，求线段 MN 的长度 23已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若，且，求证： 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由题设，而， 所以 . 故答案为：B 【分析】根据题意由对数函数的单调性即可求出 x 的取值范围，然后由交集
8、的定义结合不等式即可得出答案。 【解析】【解答】， ， 故答案为：B 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。 【解析】【解答】由折线图可知极差为，A 符合题意； 销量由小到大排列为 ，所以中位数为 ，B 不符合题意； 由折线图可知 2 月份销量最低，C 符合题意； 由折线图可知，7 月份销量比 6 月份销量增长 件，最大，D 符合题意. 故答案为：B 【分析】由已知条件结合折线图中的数据，由中位数以及极差公式代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】画出图象如下图所示， 由于 是半圆弧 上的两个三等分点， 所以 是等边三角形，
9、所以 ， 所以四边形 是菱形，四边形 是菱形， 所以 . 故答案为：C 【分析】根据题意由圆和菱形的几何性质，结合向量的加减运算性质整理化简计算出结果即可。 【解析】【解答】易得当时,.当时,. 故“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故答案为：A 【分析】由正余弦函数的定义，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。 【解析】【解答】由图象可知，即，A 不符合题意； 由 可得 ，又因为函数图象过点 ， 所以 ，由五点法作图可知， , 即 ，又 ，故 ， 所以 ， 当 时， , B 不符合题意； 因为 ，所以点 是 图象的一个对称中心，C 符合题意； 令 ，解得 ， 即函数的单调递减区间为 ，D 不符
10、合题意. 故答案为：C 【分析】根据题意结合周期的公式即可求出 的值，再由特殊点法代入计算出的取值，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出 x 的取值范围 ，由此即可得出函数的单调区间，由此对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】是定义在 R 上的奇函数，且， ，的周期为 8， 时， ； . 故答案为：D 【分析】由已知条件结合奇函数的定义整理化简计算出函数的周期值，结合周期的定义代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】由可知，椭圆的短轴长，长轴长， 又直线 与椭圆 相交于 A，B 两点， 所以 的最大值为 ， 将 x 轴下方半平面沿着 x 轴翻折，使之与上
11、半平面成直二面角，此时 的最大值仍然是长轴长 ，而短轴两个端点间的距离为 ，由于 A,B 不能在短轴端点处， 所以 ， 故答案为：C 【分析】根据题意由椭圆的定义结合已知条件即可求出 的最大值，然后由折叠的性质以及二面角平面角的定义结合距离的定义计算出最小值，由此即可求出的取值范围。 【解析】【解答】不妨设直角三角形的三边长分别为， 当直角三角形绕 边旋转时，其表面是两个圆锥的表面，所以其表面积为 ，体积 ； 当直角三角形绕 边旋转时, ,体积 ； 当直角三角绕 边旋转时， ,体积 . ； 故答案为：B 【分析】首先由旋转体的体积公式计算出结果，然后把特殊情况下的边的大小代入到表面积和体积公式
12、由此计算出结果，由此即可比较出大小从而得出答案。 【解析】【解答】因为 的圆心 ， 所以以 为焦点的抛物线方程为 ， 由 ，解得 ， 抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，如图， 即有 ， 当且仅当 在 之间）三点共线，可得 的最大值为 1， 故答案为：A。 【分析】利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再利用以圆 ： 的圆心为焦点的抛物线 ，从而求出焦点坐标，进而求出抛物线标准方程，再利用抛物线与圆相交，联立二者方程求出交点 A 的坐标， 再利用点 是抛物线 ： 上任意一点，设出点 B 的坐标，再利用 与直线 垂直，垂足为 ， 从而设出点 M 的坐标，再利用当且仅当 在 之间）三点共线，从而求出
13、的最大值 。 【解析】【解答】设，则由解得. 此时“黄金矩形”的面积为 . 在线段 AB 上任取一点 C，并设 ,则以 AC，BC 为邻边组成矩形的面积为 ，由该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积可得 ，解得 或 ，故所求概率为 . 故答案为：A 【分析】根据题意由已知条件结合“黄金矩形” 的定义即可求出满足题意的面积的大小，再由概率的定义代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】作出函数的图象， 可得 的最小值为 0，最大值为 2； ， 当且仅当 取得最小值 ，由存在唯一的 ，使得 的值 为 ，可得 ，解得 ，故答案为：A 【分析】首先由诱导公式整理化简函数的解析式，结合余弦函数和二次还是的图
14、象以及性质即可求出函数 f(x)的图象，利用数形结合法即可求出函数的最值，再由已知条件代入数值计算出 a 的取值范围即可。 【解析】【解答】双曲线的离心率为，则， 所以 ， ，则渐近线方程为 故答案为：x3y=0. 【分析】由双曲线的简单性质即可求出离心率的取值，然后由双曲线里 a、b、c 的关系，整理化简计算出 a 与 b 的取值，从而即可得出渐近线的方程。 【解析】【解答】由等差中项可知， 故答案为：6 【分析】由等差数列的项性质，代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】设切点为， 因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 . 故答案为：9 【分析】首先根据题意对函数求导，
15、然后把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，由此计算出零点的取值结合已知条件计算出 a 的值即可。 【解析】【解答】因为， 所以由正弦定理得 , 因为 ，所以 ， 显然 ，所以 , 因为 ，所以 ， 因为角 的平分线交 AB 于 D 点， 所以 ， 因为 ，且 ， 所以 ， 即 ， 所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 4， 故答案为：4 【分析】根据题意首先由正弦定理整理化简计算出角之间的关系，再由三角形的面积公式以及基本不等式计算出最小值即可。 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件的数列的递推公式即可得出数列为等比数列，再把数值代
16、入到通项公式计算出等比数列的通项公式，结合题意由等差数列的定义即可求出等差数列的公差的取值，从而得出等差数列的通项公式。 (2)由(1)的结论以及等比数列的前 n 项和公式，代入数值计算出结果即可。 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件图表中的数据，代入到平均值公式计算出结果即可。 (2)由概率的定义代入数值计算出结果，然后由已知条件即可求出满足题意的 X 的取值，结合已知条件计算出对应的各个 X 的概率，由此即可得出 X 的分布列，再把数值代入到期望公式计算出结果即可。 【解析】【分析】(1)由已知条件结合中点的性质即可得出边之间的关系，再由勾股定理计算出垂直关系，然后由线面垂直的判定定
17、理即可得证出结论。 (2)据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合已知条件代入整理化简计算出的取值，由此得到答案。 【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，然后距离公式结合已知条件即可得出曲线的方程。 (2)首先由椭圆的简单性质以及定义即可得出边之间的干系，然后设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消元后的到关于 x 的方程，由韦达定理即可取出两根之和与两根之积的关于 k 的代数式，再把结果代入到正弦公式，结合三角形面积公以及点到直线的距离公式代入整理化简计
18、算出 k 的取值即可。 【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域，然后再对函数求导，结合 a 的取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数的单调性。 (2)首先整理化简已知条件利用分离参数法即可得出不等式 恒成立，构造函数结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此结合题意即可得出 b 的取值范围。 【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)根据题意把数值代入计算出角的大小，结合极坐标方程计算出点的坐标，然后由距离公式代入计算出结果即可。 【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，再由不等式的解法求解出各个区间内不等式的解集，最后把各个结果并起来即可得到不等式的解集。 (2)根据题意由分析法整理化简原式，再结合基本不等式即可得证出结论。
