1、高三理数第三次高考适应性联考试卷高三理数第三次高考适应性联考试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2已知复数 z 满足，则复数 z 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知等差数列满足，则（ ） A0 B1 C2 D2023 4某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班 15 名学生，调查得到这 15 名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是 8，18，15，20，16，21，19，18，19，10，6，20，20，23，25，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A18，20 B18.5，20 C19，
2、20 D19.5，20 5数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A B （0，1） C D 6新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语 3 门必考科目，“1”由考生在物理、历史 2 门科目中选考 1 门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理 4 门科目中选考 2 门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是（ ） A B C D 7已知 A 是函数图象的一个最高点，B，C 为直线与函数图象的两个相邻的交点，若
3、存在 B，C，使得是等边三角形，则（ ） A B2 C D 8在高为 3 的直三棱柱中，ABC是以 C 为直角的等腰三角形，且，其中 D 为棱的中点，M 为线段 BC 上的动点，则 AM+MD 的最小值为（ ） A B C D5 9折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图 2 的扇形 AOB，其中AOB120，OA2OC2，点 E 在弧 CD 上，则的最小值是（ ） A1 B1 C3 D3 10设，则（ ） A B C D 11已知双曲线 E：的左焦点为 F，过点 F 的直线 l 垂直于双曲线 E 的一条渐近线，垂足为 M，直线
4、l 与双曲线 E 交于点 N，且，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 12若存在正实数 x，y，使得等式成立，其中 e 为自然对数的底数，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知函数是定义在上的奇函数，则 . 14的展开式中项的系数是 .（用数字作答） 15已知数列的前 n 项和为，且，若，则 m 的最小值是 . 16数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体 ABCD 的棱长为 4，则该勒洛四面体内切球的半径是
5、 . 三、解答题三、解答题 17在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC的面积. （1）求角 A 的值； （2）延长 AC 至点 D，使得 CDAC，且 BD2BC，若 c6，求ABC的周长. 18如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，O 分别是上、下底面圆的圆心，EF 是底面圆的一条直径，DEDF. （1）证明：EFAB； （2）若，求平面 BCF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值. 19为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排 4 名干部和三个部门（A，B，C）的 16 名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者
6、，其中 16 名职工分别是 A 部门 8 人，B 部门 4 人，C 部门 4 人. （1）若从这 16 名职工中选出 4 人作为组长，求至少有 2 个组长来自 A 部门的概率； （2）若将这 4 名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的） ，记安排到第一个高速路口的干部人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 20已知椭圆 C：的左、右焦点分别为，椭圆 C 的离心率小于.点P 在椭圆 C 上，且面积的最大值为. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）点 M（1，1） ，A，B 是椭圆 C 上不同的两点，点 N 在直线 l：上，且
7、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21已知函数. （1）当 m1 时，求 f（x）在1，e上的值域； （2）设函数 f（x）的导函数为，讨论零点的个数. 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是. （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知 P，Q 分别是曲线 C 和直线 l 上的动点，求的最小值. 23已知函数. （1）当 a1 时，求不等式的解集； （2）若关于 x 的不等式恒成立，求 a 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分
8、 【解析】【解答】 所以， 故答案为：A 【分析】先分别求出集合 A，B，再根据集合交集的定义求交集即可. 【解析】【解答】依题意， 对应坐标为，在第四象限. 故答案为：D 【分析】根据复数除法及加法运算法进行计算即可. 【解析】【解答】设等差数列的公差为， 则， 所以. 故答案为：B 【分析】结合等差数列的性质求得，再根据等差数列的通项公式，即可求解. 【解析】【解答】将这 15 名学生寒假期间做家务劳动的天数由小到大排列可得： 6，8，10，15，16，18，18，19， 19， 20，20，20， 21， 23，25 其中第 8 位数是：19，由中位数的定义可得这组数据的中位数为 19
9、其中出现的最多的数据为 20，故众数为 20 故答案为：C 【分析】将数据从小到大排列，由中位数和众数的定义分析即得解. 【解析】【解答】依题意在抛物线上， 所以， 所以， 故，且抛物线开口向下， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：A 【分析】根据点求得 a，由此求得抛物线的焦点坐标. 【解析】【解答】根据题意，从物理、历史中选择 1 门，从化学、生物、政治、地理选择 2 门， 所有的可能有如下 12 种； 物理，化学，生物；物理，化学，政治；物理，化学，地理；物理，生物，政治； 物理，生物，地理；物理，政治，地理； 历史，化学，生物；历史，化学，政治；历史，化学，地理；历史，生物，政治；
10、历史，生物，地理；历史，政治，地理； 学生甲选择科目中包含物理和生物，则有如下 3 种； 物理，化学，生物；物理，生物，政治；物理，生物，地理. 故满足题意的概率. 故答案为：B. 【分析】根据题意求得所有可能选考的可能性，再求满足题意的可能性，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【解析】【解答】解：由题知，点到直线的距离为， 因为是等边三角形，所以 因为函数与的相邻的交点中，最大值点到其距离相等点之间的距离为， 所以 B，C 为直线与函数图象的两个相邻的交点，且到 B，C 的距离相等，所以 故答案为：C 【分析】由题知，进而结合三角函数的图像性质得，故. 【解析】【解答】将等腰直角三角
11、形翻折到与矩形共面，如图所示， 的最小值为， 由于， 所以. 故答案为：B 【分析】将等腰直角三角形翻折到与矩形共面，则的最小值为，通过平面化的方法能求出的最小值. 【解析】【解答】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系， 则，设， ， 所以当时，取得最小值. 故答案为：C 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案. 【解析】【解答】设，可得，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，即， 则，所以最小， 又由，因为，所以，所以， 综上可得：. 故答案为：D. 【分析】设，利用导数求得函数单调性，得到，得出，进而求得，再由，求得，得到，即可求解.
12、【解析】【解答】如图示，双曲线左焦点 ，双曲线的一条渐近线不妨取 ， 则直线 的方程为：，联立，解得 ， 设, 故由得： ，得 ， 故得， 将代入中， 得：， 化简可得 ，故 ， 所以 ， 故答案为：C 【分析】双曲线的渐近线不妨取，由此可得 的直线方程，联立解得点 M 坐标，根据，可求出点 N 坐标，将 N 点坐标代入双曲线方程，化简可得答案. 【解析】【解答】依题意存在正实数 x，y，使得等式成立， ， 当时，不符合题意，所以 令， 构造函数， ，所以在上递增， ， 所以在区间递减；在区间递增. 所以的最小值为. 要使有解， 则， 当时，成立， 当时，. 所以的取值范围是. 故答案为：D
13、【分析】令，分离参数得，构造函数，利用导数判断其单调性进而求其最小值，从而得到 a 的取值范围. 【解析】【解答】依题意函数是定义在上的奇函数， 所以， ， ， 恒成立，所以， 所以. 故答案为：-4 【分析】根据奇函数的知识求得 a,b，由此求得. 【解析】【解答】的展开式中项的系数为： . 故答案为：220 【分析】求出展开式中含的项，进而可以求解. 【解析】【解答】当时，； 当时， ， 整理得， 又， 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， ， 令，解得 又， 的最小值是 7. 故答案为：7. 【分析】根据通项公式与前 n 项和公式之间的关系求出通项公式，令， 解不等式即可. 【解析】
14、【解答】解：如图所示： 设 O 为底面的中心，为其外接球的球心，半径为 R， 由勒洛四面体和正四面体的对称性知： 为勒洛四面体内切球的球心， 由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去 R， 则， 在中， 解得， 所以该勒洛四面体内切球的半径是 ， 故答案为： 【分析】根据勒洛四面体和正四面体的对称性，由正四面体的外接球的球心为勒洛四面体内切球的球心，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去其外接球的半径求解. 【解析】【分析】 （1）化简即得解； （2）设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解. 【解析】【分析】 （1）证明线面垂直，进而证明线线垂直； （2） 以为
15、原点建立如图所示空间直角坐标系， 求出平面，的法向量，进而求出两平面的夹角. 【解析】【分析】 （1） 至少有 2 个组长来自 A 部门共有 3 种情况：有 2 个组长来自 A 部门，有 3 个来自 A 部门，有 4 个来自 A 部门，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式求解即可； （2） 依题意可知且， 可得分布列及其数学期望. 【解析】【分析】 （1）根据已知条件求得 a,b，由此求得椭圆的标准方程； （2）设出直线 MN 的方程，分别与椭圆以及直线联立，求得三点坐标间的关系，由此计算出为定值. 【解析】【分析】 （1）将代入得函数，求导判断函数的单调性，求出最值，得到结果； （2），通过对 m 分情况讨论，利用导数研究函数的单调性，进而得到的最小值，从而得出零点个数. 【解析】【分析】 （1）通过消参求得曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得直线 的直角坐标方程. （2）利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质求得的最小值. 【解析】【分析】 （1）结合零点分段法来求得不等式的解集. （2）先求得的最小值，由此列不等式，解不等式求得 a 的取值范围.
