1、高三理数第一次诊断性考试试卷高三理数第一次诊断性考试试卷 一、单选题一、单选题 1设集合 ， 则 等于（ ） A B C D 2i 为虚数单位，若 是实数，则实数 b 的值为（ ） A3 B C D-3 3某高中学校学生人数和近视情况分别如图和图所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36 人，则抽取到的高三学生数为（ ） A32 B45 C64 D90 4下列函数中为奇函数且在 单调递增的是（ ） A B C D 5在 的展开式中，x 的系数为（ ） A160 B80 C-80 D-160 6执行如图所示的
2、程序框图，输出（ ） A19 B24 C26 D33 7若，则的值为（ ） A B C0 D 8已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为 120的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 9当某种药物的浓度大于 100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过 1000mg/L（安全水平） 从实验知道该药物浓度以每小时按现有量 14%的速度衰减若治疗时首次服用后的药物浓度约为 600mg/L，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（ ） （参考数据： ， ， ） A4 小时
3、B6 小时 C8 小时 D12 小时 10如图，在正方体 中，点 P 是线段 上的一个动点，有下列三个结论： 面 ； ；面 面 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 11已知 F 是抛物线 C： 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点，直线 l 与抛物线的准线 交于点 M，若 ，则 （ ） A B C D3 12已知函数 ，若函数 与 的图象恰有 5 个不同公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知实数，满足约束条件则的最小值为 . 14早在公元前 1100 年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在ABC中，
4、 ， ， ，点 D 是 CB 延长线上任意一点，则 的值为 15定义运算“”： 设函数 ，给出下列四个结论： 是 的最小正周期； 在 有 2 个零点； 在 上是单调递增函数； 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到其中所有正确结论的序号是 16如图，AB 是 的直径，PA 垂直于 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点， ，三棱锥 P-ABC 体积的最大值为 ，则当PBC的面积最大时，线段 AC 的长度为 三、解答题三、解答题 17第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查某地区通过摸底了解到，某小区户数有 1000 户，在选择自主填报或人户登记的
5、户数与户主年龄段（45 岁以上和45 岁及以下）分布如下 22 列联表所示： 入户登记 自主填报 合计 户主 45 岁以上 200 户主 45 岁及以下 240 640 合计 1000 （1）将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有 95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？ （2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6 户若从这 6 户中随机抽取 3 户进行进一步复核，记所抽取的 3 户中“户主 45 岁及以下”的户数为 ，求 的分布列和数学期望 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3
6、.841 5.024 6.635 其中， 18如图，已知，点是以为圆心，5 为半径的半圆上一动点. （1）当时，求线段的值； （2）若为正三角形，求四边形面积的最大值. 19设 ，有以下三个条件： 是 2 与 的等差中项； ， ； 为正项等比数列， ， 在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 若数列 的前 n 项和为 ，且 （1）求数列 的通项公式； （2）若 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，求数列 的前 n 项和 20如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形， ，且 ， 作 交 AD 于
7、点 H，连结AC，BD 交于点 F （1）设 G 是线段 PH 上的点，试探究：当 G 在什么位置时，有 平面 PAB； （2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的正弦值 21已知函数 （1）讨论 的零点个数； （2）若 ，求证： 22平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 的极坐标方程为 ，将射线 绕极点逆时针旋转 后得到射线 .设 与曲线 相交于点 ， 与曲线 交于点 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若 ，求 的值. 23已知函数. （1）解不等式； （2）设的最小值为，正实数，满足，求证：. 答案解析部
8、分答案解析部分 【解析】【解答】因为 ， 又因为 ， 故可得 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法求出集合 M，再利用交集的运算法则， 从而求出集合 M 和集合 N 的交集。 【解析】【解答】因为 ， 又因为其为实数，故可得 ，解得 。 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 ，再利用复数为实数的判断方法，从而求出实数 b 的值。 【解析】【解答】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为 180 人，320 人，450 人， 由于抽取到的高一学生 36 人，则抽取到的近视学生中高三人数为 90 人. 故答案为：D. 【分析
9、】根据题意由频率分布直方图中的数据，结合已知条件计算出结果即可。 【解析】【解答】A. 函数 为偶函数，故不满足题意. B. 由 当 时， ，函数单调递减，不满足题意. C. 函数 为奇函数，且 在 上恒成立， 所以函数 在 上单调递增，满足题意. D. ,当 时， ，故函数不为奇函数，不满足题意. 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而判断出既是奇函数且在 单调递增的函数。 【解析】【解答】 的展开式的通项为 ， 令 ，解得 ， 所以 的展开式中，x 的系数为 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式
10、中的 x的系数。 【解析】【解答】程序运行第 1 次，；第 2 次，； 第 3 次，； 第 7 次，. 此时，输出，则. 故答案为：D 【分析】根据题意由程序框图的循环代入数值验证，即可得出满足题意的输出值. 【解析】【解答】因为，所以且， 解得，所以. 故答案为：D 【分析】首先由二倍角的正弦公式结合同角三角函数的基本关系式，计算出，然后由二倍角的余弦公式以及同角三角函数的基本关系式整理化简计算出结果即可。 【解析】【解答】如图，设直线 与轴的交点为，由是顶角为 120的等腰三角形，知，. 于是，在中. 而，故. 结合得，即，解得. 故答案为：C. 【分析】根据题意由已知条件结合椭圆的简单性
11、质即可得出 a、b、c 的关系，再由椭圆里 a、b、c 的关系结合离心率公式计算出结果即可。 【解析】【解答】设 小时后药物浓度为 ， 若 小时后药物浓度小于 100mg/L，则需再服药， 由题意可得 ，即 ， 所以 ，则 ， 所以 ， 所以在首次服药后 13 个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间 12 小时最合适。 故答案为：D 【分析】设 小时后药物浓度为 ，若 小时后药物浓度小于 100mg/L，则需再服药，由题意可得 ，再结合指数与对数的互化公式得出 ，再利用对数的运算法则，得出，所以在首次服药后 13 个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间 12 小时最合适，从而找出最合适
12、的选项。 【解析】【解答】对于. 在正方体 连结 可得 ，又 平面 , 平面 , 所以 平面 ,又 平面 , 平面 , 所以 平面 又 ，所以平面 平面 又 平面 ，所以 面 ，故正确. 对于. 连结 在正方体 中， 平面 ，则 又 ,且 ，所以 平面 而 平面 ,所以 又 , 平面 , 平面 ,则 由 ，所以 平面 而 平面 ，所以 ,有 所以 平面 , 平面 ,所以 ，故正确. 对于. 由可知 平面 ，又 平面 所以面 面 ，即面 面 ，故正确. 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面平行的判定定理、线线垂直的判断方法、面面垂直的判定定理，从而找出正确结论的序号
13、。 【解析】【解答】如图，过点 作准线的垂线交于点 ， 由抛物线的定义有 ，过点 作准线的垂线交于点 ，则 ， ， ， 根据 ，可得 ， ，即 ， 。 故答案为：B 【分析】过点 作准线的垂线交于点 ，由抛物线的定义有 ，过点 作准线的垂线交于点 ，则 ，再利用 ，所以 ，根据 ，再结合两三角形相似，对应边成比例，可得 ，所以 则 ，进而得出 ，从而求出 的值。 【解析】【解答】当 时， ， ， 当 时， ，当 时， ， 故 时， ； 当 时， ， 当 时， 有极大值 ，当 时， ， 作出 的大致图象如图： 函数 与 的图象恰有 5 个不同公共点， 即方程 有 5 个不同的根， 令 ，根据其图
14、象，讨论 有解情况如下： 令 , （1 当 在 和 上各有一个解时， 即 ，解得 ， （2）当 在 和 上各有一个解时， ，解得 ， （3）当 有一个根为 6 时，解得 ，此时另一个根为 ，不合题意； （4）当 有一个根为 1 时，解得 ，此时另一个根也为 1，不合题意， 综上可知： 。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最值，再利用特殊点法作出 的大致图象，再利用 函数 与 的图象恰有 5 个不同公共点，再结合两函数的图像的交点的横坐标与方程的根的等价关系，即方程 有 5 个不同的根，令 ，根据其图象，再
15、结合分类讨论的方法结合方程 有解的情况，再利用根与系数的关系结合已知条件，从而求出实数 a 的取值范围。 【解析】【解答】根据约束条件的不等式组，作出可行域是以，三点为顶点的三角形及其内部，如图： 将目标函数转化为， 当直线过点时，取得最小值，最小值为-4. 故答案为：-4 【分析】 根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点时，z 取得最小值然后把坐标代入到目标函数计算出 z 的值即可。 【解析】【解答】因为 。 故答案为：16。 【分析】利用已知条件结合数量积的定义，从而求出数量积的值。 【解析】【解答】 ，故 是 的最小正周期
16、，正确； ， ，故 在 或 时，即 或 时 ，故 在 有 2 个零点，正确； ， ，此时 在 上单调递增，在 上单调递减，故错误； 的图象向右平移 个单位长度得到 ，故错误. 故答案为： 【分析】利用定义运算“”： ，设函数 ， 再结合辅助角公式得出 ，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数 的最小正周期；再利用零点存在性定理得出函数 在 的零点个数；再结合单调函数的定义，从而判断出函数 在 上的单调性；再利用正弦型函数的图像变换，进而找出正确结论的序号。 【解析】【解答】设 ，则 ， ，由 平面 ， ，则当 面积最大时，三棱锥 体积最大 由圆的性质可知当 时， 的面积最大，此时三棱锥 体积
17、的最大值为 ， 所以 ，解得： ， 由 是 的直径知 ，即 ， 而 平面 ， 平面 ,所以 又 ，所以 平面 ， 平面 , 所以 ， 则 ， 故 ， 当且仅当 时等号成立， 此时， 。 故答案为： 。 【分析】设 ，则 ， ，由 平面 ，再利用三棱锥的体积公式得出 ，则当 面积最大时，三棱锥 体积最大，由圆的性质可知当 时， 的面积最大，进而求出三棱锥 体积的最大值，再利用三棱锥的体积公式得出 a 的值，由 是 的直径知 ，再利用直线 平面 结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直 ,所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直， 所以 ，再结合勾股定理得出
18、的值 ，再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法，进而求出三角形 PBC的面积的最大值，再利用勾股定理得出此时对应的线段 AC 的长度。 【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。 (2)根据题意即可得出 X 的取值，再由概率的公式求出对应的 X 的概率由此得到 X 的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合余弦定理，即可得出边的大小即可。 (2)首先由余弦定理计算出边的大小，然后由四边形的面积公式结合三角形的面积公式，代入数值由两角和的正弦公式整理化简面积公式，结合正弦函数的
19、图象和性质即可求出三角形面积的最大值。 【解析】【分析】 （1） 若选择：利用 是 2 与 的等差中项，再结合等差中项公式，所以 ，再利用的关系式结合分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，进而判断出数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式 。 若选择，由 ， ，再利用的关系式结合分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，从而判断出数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。 若选择，设正项等比数列 的公比为 ，再利用已知条件结合等比数列的前 n 项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，
20、再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。 （2） 利用数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列结合等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，由（1）知 ，所以 ，再利用错位相减的方法得出数列 的前 n 项和。 【解析】【分析】 （1） 当点 G 是线段 PH 上靠近点 H 的三等分点时，有 平面 PAB。取线段AD 靠近点 A 的三等分点 M，取线段 PD 靠近点 P 的三等分点 N，连结 MN 交 PH 于点 G，由底面ABCD 为梯形， ， ，再利用两三角形相似判断方法，所以ABFCDF，再利用两三角形相似对应边成比例，则 ，再利用 结合对应边成比例，则两直线平行，所以
21、， ，再利用线线平行证出线面平行，则 面 PAB， 面 PAB，再利用线面平行证出面面平行，所以平面 面 ，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出 平面 PAB。 （2）利用 ， ，即三角形PAD为正三角形，再利用 ， ，所以三角形ADC为正三角形，再利用等边三角形三线合一，所以 ，由平面 平面 ABCD， 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 面 ACD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ，于是，以 H 为坐标原点，可建立空间直角坐标系 H-xyz，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出平面 PAD 与平面 PBC 所
22、成二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的正弦值。 【解析】【分析】 （1） 由题意 （其中 ） ，只需考虑函数 在 的零点个数，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值点，再结合零点存在性定理讨论出函数的零点个数。 （2） 利用不等式 ，得出 （其中 ） ，先证 时， ，令 ，利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则 ，所以 ，故只需证明 即可，再利用分析法证出不等式 成立。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线 的极坐标方程。 （2）利用已知条件结合两点距离公式得出 ，再利用二倍角的余弦公式和诱导公式，得出 ， 再利用同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再结合 ，得出 ， 进而求出角的值。 【解析】【分析】(1)根据题意由绝对值的几何意义整理化简函数的我就想说，再由不等式的解法求解出 x 的取值范围，从而即可得出不等式的解集。 (2)首先由(1)的结论即可得出函数的最值，再整理化简原式结合基本不等式即可得证出结论。
