1、高三理数第一次模拟测试试卷高三理数第一次模拟测试试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2已知（ 为虚数单位） ，则复数在复平面内所对应的点一定在（ ） A实轴上 B虚轴上 C第一三象限的角平分线上 D第二四象限的角平分线上 3根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A有 95%的把握认为变量与独立 B有 95%的把握认为变量与不独立 C变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 1
2、0% D变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 10% 4圆柱形玻璃杯中盛有高度为 10cm 的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ） A B15cm C D20cm 5已知，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知数列的前项和为，则（ ） A12 B C D 7已知若，则（ ） A2 B C1 D0 8纳皮尔在他的奇妙的对数表一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方
3、法处理大数运算. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 19 20 21 22 23 24 25 2048 4096 524288 1048576 2097152 4194304 8388608 16777216 33554432 如 ，我们发现 512 是 9 个 2 相乘，1024 是 10 个 2 相乘.这两者的积，其实就是 2 的个数做一个加法.所以只需要计算 .那么接下来找到 19 对应的数 524288，这就是结果了.若 ，则 落在区间（ ） A B C D 9的内角，所对边分别为，若，的面积为
4、，则（ ） A B C D 10已知在边长为 6 的菱形中，点，分别是线段，上的点，且.将四边形沿翻折，当折起后得到的几何体的体积最大时，下列说法：；平面；平面平面；平面平面，其中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（ ） A B C0 D 12已知，是圆上的一个动点，则的最大值为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知中心在原点的双曲线的离心率为 2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线 ，且与交于，两点，若的面积为 9，则的标准方程为 . 14，是互相垂直的单位向量，则在上的投影为 . 15从的展开式各项的
5、系数中任取两个，其和为奇数的概率是 . 16已知数列，是数列的前项和，则 . 三、解答题三、解答题 17已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为 1 和 2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动. （1）当点运动的路程为时，求线段的长度； （2）记，求的最大值. 18如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，. （1）求的长； （2）求二面角的余弦值. 19为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：有易中难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；答对得分，答错不得分；四轮答题中，每
6、类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于 10 分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表： 容易题 中等题 难题 答对概率 0.6 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 （1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由； （2）甲四轮答题中，选择了一个容易题两个中等题一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望. 20已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，求证：. 21已知面积为的等边（是坐标原点）的三个顶点都在抛物线上，过点作抛物线的两条切线分别
7、交轴于，两点. （1）求的值； （2）求的外接圆的方程. 22在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线 的极坐标方程与曲线的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线在直角坐标系第一象限交于点，点的极坐标为，求的面积. 23已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2），使得，求的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】利用，解得：，所以，解得：或，故，故。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法得出集合 A，再利用一元二次不等式求解集方法得出集合 B，再结合交集的运算法则，进
8、而得出集合 A 和集合 B 的交集。 【解析】【解答】设，则，则，即，从而，故，所以复数在复平面内所对应的点在直线上，即第一三象限的角平分线上。 故答案为：C 【分析】设 ，利用已知条件结合复数与共轭复数的关系得出复数 z 的共轭复数，则，再结合复数的乘除法运算法则结合复数相等的等价关系，从而得出 a,b 的值，进而得出复数 z,再结合复数的几何意义，从而得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标得出 复数在复平面内所对应的点一定所在的位置。 【解析】【解答】因为，所以变量与不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过 10%。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出变量 与不
9、相互独立，这个结论犯错误的概率不超过 10%，从而选出正确的选项。 【解析】【解答】由题意得出玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积， 设玻璃球的半径为 ，即圆柱形玻璃杯的底面半径为 ， 则玻璃球的体积为 ，圆柱的底面面积为 ， 若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为 ， 所以 ，解得 。 故答案为：B 【分析】由题意得出玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积，设玻璃球的半径为 ，从而得出圆柱形玻璃杯的底面半径，再利用球的体积公式和圆的面积公式，得出玻璃球的体积和圆柱的底面面积，若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，从而得出此时水面高度 ，再结合已知条件
10、得出玻璃球的半径长。 【解析】【解答】集合 表示函数在第一象限的图象，集合 和集合表示的区域如图所示： 由图可知，集合 和集合 的真子集，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“”的充分不必要条件。 【解析】【解答】因为，取，则有，所以是首项、公比都为 2的等比数列，所以。 故答案为：D 【分析】利用 ，取，则有，再利用等比数列的定义， 从而判断出数列是首项、公比都为 2 的等比数列，再结合等比数列的前 n 项和公式得出的值。 【解析】【解答】作出函数的图像，在,上分别单调递增， 由 ， 若 ，即 ，此时 ，
11、 ， 所以 ，即 ，解得 或 （不满足 ，舍去） ， 此时 满足题意，则 ， 若 ，此时不存在满足条件的 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图像，再结合分段函数的图像判断出分段函数的单调性，从而得出分段函数 在,上的单调性，由， 结合分类讨论的方法和代入法得出满足要求的 a 的值，进而结合代入法得出函数值，即求出 f(a)的值。 【解析】【解答】，设，由表格得知：，所以，所以，则。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和表格中的数据以及指数幂的运算法则得出 m,n 的取值范围，进而得出 m+n 的取值范围，再结合指数与对数互化公式得出 x
12、的取值范围，进而得出 x 落在的区间。 【解析】【解答】因为，的面积为，所以， 所以 ，由余弦定理 即 ， 解得 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出 a 的值，再结合余弦定理得出角 A 的余弦值。 【解析】【解答】将四边形沿翻折,得到几何体, 在几何体 中， 平面 ， 平面 , 所以 平面 , 平面 ， 平面 , 所以 平面 , 又 ,所以平面 平面 , 平面 ,所以 平面 ，故正确. 过点 作 交 于 ，过 作 交 于点 , 过点 作 交 的延长线于 ，过 作 交 的延长线于点 , 则四棱锥 与 是全等的两个四棱锥., 由 ，则 , ， ，所以 平面 , 平面 ,
13、 平面 , 平面 ,则 与 不垂直，故不正确, 三棱柱 为直三棱柱, 几何体 的体积与三棱柱 体积相同, 三棱柱 的体积为 , 在直角三角形 中, ，所以 , 所以 , 当 面积最大值时，几何体 的体积最大, 当 时 面积最大值. 由 , ，则 平面 , 又 平面 ，所以平面 平面 ; 故正确, 若平面 平面 ，由面 平面 , 过 作 交 于点 ，则 平面 , 则过点 有两条直线 与平面 垂直，这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾, 所以不正确。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合结合菱形的结构特征和翻折的方法，再结合线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，
14、再结合当 面积最大值时，几何体的体积最大,则当时面积最大值，从而找出正确的个数。 【解析】【解答】为三次函数，其图象可能情况有如下 5 种： 不等式 的解集为 ，且 ，故其具体图象为图 1 类，如下图： ，由于 为 的二重根，故可设 ， ， 令 ，解得： ，或 ，且当 或 上， ，当 ， ，故 是 的极大值点，故极大值为 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合函数的图像和函数与 x 轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极大值点，进而得出函数的极大值。 【解析】【解答】设，则，其中， 因为 ， ，所以 ， 由余弦定理得： ，因为 ，所以 ， 所
15、以 ， 记 ， 则 ， 所以令 ，解得： ；令 ，解得： ； 所以 。 故答案为：D 【分析】设 ，再利用代入法得出，其中，再利用，结合两点距离公式得出 A,B 两点的距离，再结合两点距离公式得出 AP，PB，由余弦定理和 m 的取值范围得出，再结合同角三角函数基本关系式得出，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出实数 m 的取值范围，进而得出的最大值 。 【解析】【解答】设双曲线标准方程为 令 ，则 ，得 ，所以 ， 易知 ，所以 ， 又 ， ，联立求解得： ， 所以双曲线方程为： 。 故答案为： 。 【分析】设双曲线标准方程为 ，令结合代入法得出，再利用两点距离公式得出 M,N 的
16、距离，再利用两点距离公式得出的值，再利用三角形的面积公式结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式以及双曲线的离心率公式，进而解方程组得出 a,b,c 的值，从而得出双曲线的标准方程。 【解析】【解答】因为，是互相垂直的单位向量，所以，则，所以，而， 所以 在 上的投影为 。 故答案为： 。 【分析】利用 ，是互相垂直的单位向量结合单位向量的定义和两向量垂直数量积为 0 的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积求向量的投影的方法，进而得出向量 在向量 上的投影。 【解析】【解答】展开式的通项公式为，所以 ，即 的展开式各项的系数中，有 4 个奇数、2个偶数，现从中任取两个一共有 种取法，其和为奇
17、数的有 种结果； 故其和为奇数的概率 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，即 的展开式各项的系数中，有 4 个奇数、2 个偶数，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而得出从的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率。 【解析】【解答】,则当为奇数时，当为偶数时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 是以 1,1,0 进行周期循环， 当 时，数列 每 3 项的和为 2，余下的再单独相加， 。 故答案为：674。 【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法结合递推公式和代入法，得出当 时，是以1,1,0 进行周期循环，当时，
18、数列每 3 项的和为 2，余下的再单独相加，再利用分组求和的方法得出数列的前 1000 项的和。 【解析】【分析】 （1）利用点运动的路程为，结合已知条件得出的值，再利用结合已知条件得出，的值，再由余弦定理得出 A,B 两点的距离。 （2） 设 则，进而得出点 A,B 的坐标，再结合二倍角的余弦公式和二次函数的图像求最值的方法，得出的最大值。 【解析】【分析】 （1） 连接 BD 交 EC 于 F，再利用顶点在底面的投影为，得出 PD平面ABCD，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 PDEC，再利用 ECPB结合线线垂直证出线面垂直，所以 EC平面 PDB，再利用线面垂直的定义证出线线垂直
19、，所以 ECBD，再利用ACB90， AB2，BC1，E 是 AB 中点，得出三角形 BEC 是等边三角形，进而得出 F 是 EC 中点，再利用BECD，易知CDFEBF，再结合两三角形全等的 性质得出 CD 的长。 （2） 连接 AD，则由（1）易知四边形 ABCD 是等腰梯形，ACBADB90，故可以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角 的余弦值。 【解析】【分析】 （1） 依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案 ，再利用独立事件乘法
20、求概率公式得出三种方案总得分不低于 10 分的概率，再利用三种方案总得分不低于 10分的概率的比较得出后两轮应该选择容易题进行答题。 （2） 依题意得出随机变量 的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量 X的数学期望。 【解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。 （2） 利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数 恰有两个极值点，得出方程有两个不相等的实根，设为且，再利用函数的单调性，得出，即，再
21、利用，得出实数 a 的取值范围，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，即，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而得出 2M-m 的最小值，从而证出不等式成立。 【解析】【分析】(1) 不妨设点 A 在第一象限，由题意得：，且 C 为 AB ，设正三角形ABO 边长为 a，得出 AC,OC 与 a 的关系式，再利用三角形的面积公式和已知条件得出 a 的值，进而得出点 A 的坐标，再利用代入法结合抛物线的标准方程得出 p 的值。 （2） 设过点 的抛物线的切线方程为：，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出 k 的值
22、，再利用分类讨论的方法得出点 M,N 的坐标，设的外接圆的方程为：，再结合已知条件和代入法得出 D,E,F 的值，进而得出三角形的外接圆的方程。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程与普通方程转化方法以及极坐标与直角坐标互化公式得出 直线 的极坐标方程与曲线的直角坐标方程。 （2） 再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合直线 与曲线在直角坐标系第一象限交于点，从而得出交点 A 的坐标，再结合极坐标与直角坐标的互化公式得出点 A、B 的极坐标，再结合两点距离公式得出 OA 和 OB 的长，再结合作差法得出的值，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积。 【解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数的解析式，再结合零点分段法求出绝对值不等式的解集。 （2）利用 a 的取值范围结合分段函数的解析式画出分段函数的图像，进而结合分段函数的图像求出分段函数的最小值， 即 的值，由题意可知，问题转化为，进而得出实数 a 的取值范围。
