1、 高三理数一模考试试卷高三理数一模考试试卷 一、单选题一、单选题 1若，则（ ） A B C D 2下列四组集合中，满足的是（ ） A B C D 3设 P 为椭圆上一点，分别是 C 的左，右焦点若，则（ ） A B C D 43 月 12 日是植树节，某地区有 375 人参与植树，植树的树种及数量的折线图如图所示植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取 75 棵树，请专业人士查看植树的情况，则被抽取的柳树的棵数为（ ） A20 B25 C40 D50 5已知几何体是正方体，则（ ） A平面 B在直线上存在一点 E，使得 C平面 D在直线上存在一点 E，使得平面 6设 a，b，c 分别
2、为内角 A，B，C 的对边已知，则（ ） A B C D 7一个质点作直线运动，其位移 s（单位：米）与时间 t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A5 米/秒 B8 米/秒 C14 米/秒 D16 米/秒 8若函数在区间内存在唯一的，使得，则的值不可能是（ ） A B C D 9若定义在上的奇函数满足，则（ ） A-6 B6 C-12 D12 10东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约 468 米，上球体的直径为 45 米，且上球体的球心 O 到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为 0.618)若 P 为上球体球面上一点，且与地平面(塔顶与 O 的连线
3、垂直地平面)所成的角为，P 在上球体的上半部分，则 P 到地平面的距离约为( ) A297 米 B300 米 C303 米 D306 米 11设，若这三个数中 b 既不是最小的也不是最大的，则 x 的取值范围是（ ） A B C D 12已知双曲线，直线与 C 交于 A、B 两点（A 在 B 的上方） ，点 E 在 y 轴上，且轴若的内心到 y 轴的距离为，则 C 的离心率为（ ）. A B C D 二、填空题二、填空题 13展开式的中间项为 14已知是互相垂直的单位向量，设向量，且，则 15如图所示的平面区域（阴影部分）由一个半圆和两个全等的直角三角形组成（含边界） ，若点是该区域内任意一点
4、，则 z 的最小值为 ，z 的最大值为 16已知函数若，则 ；若的定义域为，则零点的个数为 三、解答题三、解答题 17已知数列的前 n 项和为 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 18如图，平面，平面，且均在平面的同侧 （1）证明：平面平面 （2）若四边形为梯形，且异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积 19某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得 3 个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有奖品分别摆放在 1，2，3 三个相互间隔的区域中，且 1，2，3三个区域的奖品价值分别为 5 元，15 元，20 元，每个套圈只能使用一次，每次至多能
5、套中一个小张付十元参与这个游戏，假设他每次在 1，2，3 三个区域套中奖品的概率分别为 0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响 （1）求小张分别在 1，2，3 三个区域各套一次后，所获奖品不超过 1 件的概率 （2）若分别在 1，2，3 三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为 X 元；在 2 区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为 Y 元以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？ 20已知直线与曲线的两个公共点之间的距离为 （1）求 C 的方程 （2）设 P 为 C 的准线上一点，过 P 作 C 的两条切线，切点为 A，B，直线的斜率分别为，且直线与 y
6、 轴分别交于 M，N 两点，直线的斜率为证明：为定值，且成等差数列 21已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求 a 的取值范围 22在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数且） C 与 x 轴y 轴分别交于 A，B 两点 （1）求； （2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段为直径的圆的极坐标方程 23已知函数 （1）求不等式的解集 （2）若，证明： 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】因为，所以 故答案为：A. 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。 2 【答案】C 【解析】【解答】
7、A：.不符合题意； B： .不符合题意； C： .符合题意； D： 或 .不符合题意. 故答案为：C 【分析】由交、并集的定义结合不等式，对选项逐一判断即可得出答案。 3 【答案】C 【解析】【解答】椭圆的长半轴长为 3， 由椭圆的定义可知 ， 由 ，可得 故答案为：C 【分析】利用椭圆的定义结合已知条件，计算出结果即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】依题意，被抽取的柳树的棵数为棵 故答案为：B 【分析】由分层抽样原理即可求解。 5 【答案】D 【解析】【解答】由题得与平面相交，所以 A 不符合题意； 假设在直线 上存在一点 E，使得 ，因为 ，所以 ,这不可能，所以 B 不符合题意； 假
8、设 平面 ，则 平面 ，所以 平面 ，所以 , 实际上， ,所以 平面 不可能，所以 C 不符合题意； 当 E 与 重合时，因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ，所以 D 符合题意 故答案为：D 【分析】由正方体的结构特点逐项判断即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】因为，所以由正弦定理得，则，又因为，所以，所以，因为，所以，所以 B 为锐角，故 故答案为：C 【分析】由正弦定理边化角，可求得 ，利用同角三角函数关系，即可求解。 7 【答案】C 【解析】【解答】解：由题得， 当 时， ， 故当 时，该质点的瞬时速度为 14 米/秒 故答案为：C 【分析】由导数的几何意义即可求解。 8 【答案
9、】A 【解析】【解答】当时， 因为函数 在区间 内存在唯一的 ，使得 ， 所以 ，解得 故答案为：A 【分析】由 x 范围，求得 ，在结合存在唯一的，使得，得到，求解即可。 9 【答案】D 【解析】【解答】因为是定义在上的奇函数，所以 因为 ，即 ， 所以 ，则 又 ，即 所以 故答案为：D 【分析】根据题意由奇函数的定义，代入数值计算出结果即可。 10 【答案】B 【解析】【解答】上球体的球心 O 到塔底的距离米， P 到地平面的距离为 米 【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，然后由三角形中的几何计算关系计算出结果即可。 11 【答案】A 【解析】【解答】因为，所以由题意得， 即，则
10、， 所以 ，解得 故答案为：A 【分析】由题意可得 ，利用对数函数的单调性即可求解。 12 【答案】B 【解析】【解答】因为 A 在 B 的上方，且这两点都在 C 上，所以， 则 因为 ，所以 A 是线段 BD 的中点，又 轴，所以 ， ， 所以 的内心 G 在线段 上因为 G 到 y 轴的距离为 ， 所以 ，所以 ，因此 ， 即 故 故答案为：B 【分析】由题意得 ，由可得，进而得到，结合即可求解。 13 【答案】 【解析】【解答】展开式的中间项为 故答案为： 【分析】由二项式定理通项公式即可求解。 14 【答案】 【解析】【解答】， 由 ，可得 整理得 ，则 故答案为： 【分析】由向量垂直
11、的坐标表示，列方程求解即可。 15 【答案】-4； 【解析】【解答】 的几何意义为直线在平移过程中在 x 轴上的截距， 由题图知，当直线 过点 时，z 取得最小值，为-4； 当直线 与半圆 相切时 z 取得最大值，若切点为 且在第四象限，则 ，可得 ，而 ，故 . 所以， 的最小值为-4，最大值为 . 故答案为：-4， . 【分析】由 z 的几何意义，借助图形即可求解。 16 【答案】；1 【解析】【解答】， 若 则 令 ， ，整理得 设 ，若 ，则 则 ， ，求导 ， 当 时， 又 ， ， ，故 在 上存在唯一的零点， 又 在 上单调递增，所以 在区间 上零点的个数为1 故答案为： ，1 【
12、分析】首先由诱导公式整理化简函数的解析式，结合已知条件代入数值计算出 tanx 的取值，再由角的取值范围即可求出 tanx 的取值范围，构造函数并对其求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性以及零点存在性定理即可得出答案。 17 【答案】（1）解：因为的前 n 项和为，又的前 n 项和为， 所以的前 n 项和， 当时，又也满足， 所以 （2）解：由（1）知：， 两式相减，得， 所以 【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。 (2)利用错位相减法以及等比数列的前 n
13、项和公式，代入数值计算出结果即可。 18 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以, 因为平面，平面，所以, 因为，所以平面， 因为，所以平面, 又平面，所以平面平面. （2）解：因为平面，所以， 以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则，, 设异面直线与所成的角为， 则， 整理得， 解得或 1, 又，所以，故 【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由面面垂直的判定定理即可得证出结论。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，结合题意整
14、理化简即可得出关于 t 的方程求解出 t 的取值，并代入到体积公式计算出结果即可。 19 【答案】（1）解：记该顾客分别在 1，2，3 三个区域套一次便能套中奖品为事件 A，B，C， 则， 因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在 1，2，3 三个区域各套一次后，所获奖品不超过 1 件的概率 （2）解：选择方案甲：X 可能的取值为 0，5，15，20，25，35，40， ， ， ， ， ， ， ， 若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为 Z，则， ， 因为，所以小张应该选择方案乙 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件求出各个事件的概率，然后由概率的乘法和加法公式计算出结果即可。 (2)由
15、已知条件即可得出 X 的可能取值，然后把各个数值代入到概率公式计算出结果，并把结果代入到期望公式计算出结果即可。 20 【答案】（1）解：将代入，得 当时，不合题意； 当时，则， 解得，C 的方程为 （2）解：由（1）可知 C 的准线方程为， 不妨设， 设过点 P 且与 C 相切的直线 l 的斜率为 k，则，且， 联立得， 则，即， 由题意知，直线的斜率为方程的两根， 则，故为定值 又， 则，同理可得， 则， 因此，故成等差数列 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出 P 的取值，由此得出抛物线的方程。 (2)由已知条件利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与抛物线的方
16、程消元后得到关于 x 的方程，然后由韦达定理结合斜率公式整理化简计算出 为定值，同理即可得出成等差数列。 21 【答案】（1）解：的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增 当时令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增 （2）解：当时，恒成立等价于当时，恒成立 当时，在上单调递增，则，恒成立 当时，则在上单调递增，则恒成立 当时，则在上单调速减，在上单调递增， 所以，这与恒成立矛盾，所以不合题意 综上，a 的取值范围为 【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对函数求导结合 a 的取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数的单调性。 (2)根据题意由函数的单调性，结合 a 的
17、取值范围即可得出满足题意的 a 的取值范围。 22 【答案】（1）解：时，由，得，则 B 的坐标为 时，由，得，则 A 的坐标为 故 （2）解：由（1）知，线段的中点 D 的坐标为， 则，所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为 3， 所以该圆的直角坐标方程为， 即，则该圆的极坐标方程为，即 【解析】【分析】 （1）求出 A,B 两点坐标，由两点距离公式即可求解； （2）根据题意先求得普通方程，在转换成极坐标即可。 23 【答案】（1）解： 当时，解得； 当时，显然成立； 当时，解得 故不等式的解集为 （2）解： ， 当且仅当且时，等号成立， 故 【解析】【分析】 （1）分 ， ， 去绝对值即可求解； （2）由题意可得 ，由绝对值不等式的性质即可求解。
