1、 高三理数第二次统一考试试卷高三理数第二次统一考试试卷 一、单选题一、单选题 1设集合，则（ ） A B C D 2已知复数，则在复平面内 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 P=（ ） A2 B3 C4 D8 4已知角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A B C D 5等差数列中，前 n 项和为，若，则（ ） A1011 B2022 C1011 D2022 6下列说法中正确的是（ ） A命题“p 且 q”为真命题，则 p，q 恰有一个为真命题 B命题“，”，则“，” CABC中，是的充分不
2、必要条件 D设等比数列的前 n 项和为，则“”是“”的充要条件 7已知曲线，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ） A先把横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B先把横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再把得到的曲线向左平移个单位长度 8“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，
3、共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是（ ） A30 B45 C60 D120 9已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ） A B C D 10“迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和 U 型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为（ ） A576 B288 C144 D48 11设曲线在处切线的斜率为，则（ ） A B C D 1
4、2已知 O 为坐标原点，F 是双曲线的左焦点，A，B 分别为双曲线的左、右顶点，点 P 在 C 上，且轴，过点 A 的直线与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 D，直线 BM 与 y 轴交于点 E，若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B2 C D 二、填空题二、填空题 13已知向量，若，则实数 . 14已知函数，则 15已知三棱锥 PABC 中，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 16过抛物线的焦点 F 作斜率为的直线 l，交抛物线于 A，B 两点，抛物线在 A，B处的两条切线交于点 M，则 三、解答题三、解答题 17在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， （1
5、）求角 B； （2）若，求ACD面积的最大值 18已知ABC是边长为 6 的等边三角形，点 M，N 分别是边 AB，AC 的三等分点，且，沿 MN 将AMN折起到的位置，使 （1）求证：平面 MBCN； （2）在线段 BC 上是否存在点 D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由 19一商场为了解某商品的销售情况，对该商品 30 天的销售量统计后发现每天的销售量 x（单位：件）分布在内，其中（，且 n 为偶数）的销售天数为；（，且 n 为奇数）的销售天数为 （1）求实数 a 的值； （2）当一天销售量不小于 700 时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日
6、将销售天数按照销售量属于，分成 3 组，在销售旺日的 3 组中用分层抽样的方法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计，如果这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的分布列与数学期望 20已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证： 21点 P 与定点的距离和它到定直线的距离之比为 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）记点 P 的轨迹为曲线 C，若过点 P 的动直线 l 与 C 的另一个交点为 Q，原点 O 到 l 的距离为，求的取值范围 22在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为， （为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐
7、标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程 ； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23已知函数， （1）若，求 x 的取值范围； （2）若的最小值为 M，求的最小值 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为，所以，所以， 因为 ，所以 故答案为：A 【分析】 可先求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可. 【解析】【解答】. 所以在复平面内 z 对应的点为（-1，1）在第二象限. 故答案为：B 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得 z 的坐标得答案. 【解析】【解答】由题意可知,抛物线的焦点为, 因为椭圆为 ,所以 , 所以椭圆的焦点坐
8、标为 , 所以 ,解得 . 故答案为：C 【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，再利用椭圆方程中 ，即可求出 p 的值. 【解析】【解答】由正切函数的定义得 故答案为：C 【分析】利用任意角的三角函数的定义可得 ，进而根据同角三角函数基本关系式，二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解出答案. 【解析】【解答】设等差数列的公差为，则， 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 故答案为：D 【分析】 设等差数列an的公差为，代入已知式子可得公差 d，代入求和公式可得答案. 【解析】【解答】对于 A：若命题“p 且 q”为真命题，则 p，q 都为真命题， 即 A 不符合题意； 对于 B：因为命题“ ，
9、”的否定为： ， ； 即 B 不符合题意； 对于 C：由正弦定理，得 等价于 ， 由三角形的边角关系，得 等价于 ， 所以在ABC中， 是 的充要条件， 即 C 不符合题意； 对于 D：设等比数列 的公比为 ， 由 得 ，即 ， 因为 ，所以 ； 若 ，则 ， 即 ，即 ； 即“ ”是“ ”的充要条件， 即 D 符合题意. 故答案为：D. 【分析】利用逻辑连接词判定选项 A 错误；利用全称命题的否定判定选项 B 错误；结合正弦定理、边角关系判定选项 C 错误；利用等比数列的通项公式判定选项 D 正确. 【解析】【解答】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得的图象，再
10、把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A 不符合题意； B. 先把曲线 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得 的图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度得 的图象，B 不符合题意； C. 先把曲线 上点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得 的图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度得 的图象，C 符合题意； D. 先把曲线 上点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得 的图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度得 的图象，D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】 利用诱导公式，函数 y= A sin(wx + )的图象变换规律，得出结论. 【解析】【解答】如图所示
11、：将多面体放置于正方体中，以点 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为 2 则 ， ，设异面直线 AB 与 CD 所成角为 所以 ，故 故答案为：C 【分析】根据题意建立直角坐标系求出点的坐标以及向量的坐标，结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】根据函数的图象可得，函数的定义域为，且函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 对于 A 中，函数 ，由 ，解得 ， 即函数的定义为 ， 又由 ，所以 为奇函数， 当 时， ， ，所以 ， 当 时， ， ，所以 ， 此时与图象相符，所以 A 符合题意； 对于 B 中，当 时， ， ，所以 ，与图象不符，所以 B 不符合题意；
12、 对于 C 中，函数 ，令 ，解得 ， 即函数 的定义域为 ，与图象不符，所以 C 不符合题意； 对于 D 中，函数 ，令 ，解得 ， 即函数 的定义域为 ，与图象不符，所以 C 不符合题意； 故答案为：A. 【分析】 利用函数的奇偶性以及特殊点的位置判断函数的图象即可. 【解析】【解答】第一步：为每个项目安排表演队员： 先安排雪上技巧项目，有 种，再安排其他三个项目，有 种，共有 种； 第二步：安排出场顺序，有 种， 所以一共有 种. 故答案为：B 【分析】分成两步，第一步:为每个项目安排表演队员，第二步:安排出场顺序，最后相乘即可求出总的方法种数. 【解析】【解答】因为， 所以 ，则 ，
13、所以 在 上递减，在 上递增， 又因为 ， ， ， 所以 ， 故答案为：B 【分析】求得 的导数，可得切线的斜率，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，可得答案. 【解析】【解答】设，因为， 所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 从而可得 故答案为：D 【分析】设 ，且 m 0，由点斜式写出直线 AM 和 BM 的方程，从而得 E 和 D 两点的坐，再由和，即可求出双曲线 C 的离心 . 【解析】【解答】由题知， 故答案为：0 【分析】可求出 ，然后根据 即可得出 ，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出 m 的值. 【解析】【解答】解：因为， 所以 ， 所以
14、 ， 解得 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为：2 【分析】 求出导函数为 ， 然后即可求出，进而可求出 f (x)的解析式，进而得出 f (2)的值. 【解析】【解答】因为， 所以 ，所以 为直角三角形， 所以 的面积为定值， 所以当 平面 时，该三棱锥体积最大， 取 的中点 ，过 D 作 交 于 O， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，所以 ， 所以 O 为 的中点， 所以 , 所以点 O 为三棱锥外接球的球心， 因为 ，所以 ， 所以 ，即外接球的半径 ， 所以外接球的表面积为 ， 故答案为：50 【分析】由题意可得当 平面时，该三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球的球心恰好为的中点，从而可
15、求出半径，进而可求得外接球的表面积。 【解析】【解答】抛物线 的焦点为 ，则直线 为 ，设 由 ，得 ， 则 ， 由 ，得 ，则过点 的切线的斜率为 ， 所以过点 的切线方程为 ，即 ， 同理可得过 的切线方程 ， 两切线方程联立，得 ，得 ， 所以 ， 所以点 的坐标为 ， 所以 故答案为：4 【分析】先求出直线 l，设 ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在 A, B 处的切线方程。再求出点 M 的坐标，进而可求出|MF|。 【解析】【分析】 （1）利用两角和的正切公式及诱导公式求出角 B 的大小； （2）先分析出 ，利用余弦定理及
16、三角形的面积公式求出 ABC 的面积最大值为 ，即可求出 ACD 面积的最大值。 【解析】【分析】 （1）由已知可得，则得 ，再结合 ，由线面垂直的判定定理可证得 平面 MBCN； （2） 由（1）可知两垂直 ， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 假设存在，先求出平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解判断即可。 【解析】【分析】 （1）依次求出 ， ， ， 对应的销售天数，然后利用它们之和为 30 可求出答案； （2）首先求出抽取的 8 天中消售量分别属于 ， 对应的天数，然后可得 的取值为 1，2，3，求出对应的概率，然后可求得随机变量 X 的分布列与数学期望 【解析】
17、【分析】(1)求出函数的导数，通过对 a 分类讨论，求出函数的单调性； (2)问题转化为证明 成立， 构造函数令，通过二次求导求出函数的最小值即可得证. 【解析】【分析】 (1) 设 P(x，y)， 点 P 到定直线的距离为 d，利用直接法求点 P 的轨迹方程； (2) 设，先求出斜率不存在时， ；当斜率存在时，可设 ，由原点 O 到 l 的距离为， 求得，用设而不求法表示出弦长，利用二次函数求最值。 【解析】【分析】(1)把曲线 C 的参数方程平方相加可得普通方程，可得 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程 ； (2)设出椭圆上动点的坐标(参数形式) ,再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值. 【解析】【分析】 （1） 由题意知 ，代入即可求出 x 的取值范围； （2）先求出 的最小值 ，则，再由基本不等式即可求出答案。
