1、 摸底联考全国卷摸底联考全国卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2已知复数 z 满足（i 为虚数单位） ，则（ ） A B C1 D2 3若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设函数，若，则（ ） A3 B4 C32 D33 5公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植 126 棵观赏树，若 1 至 6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前 3 个区域共种植 14 棵，则第 5 个区域种植的观赏树棵数为（ ） A16 B28 C32 D64 6已知的展开式中常数项为 61，则（
2、 ） A2 B C2 D 7建在水源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔） ，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用下图是世界最高的电厂冷却塔中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高 225 米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线，为该双曲线的两条渐近线，向上的方向所成的角的正切值为，则该双曲线的离心率为（ ） A B5 C D 8如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD 中，点 E 为 PB 中点，若 CE 与 PD 所成的角余弦值为，则
3、四棱锥 P-ABCD 的体积为（ ） A B C D 9已知 D，E 为所在平面内的点，且，若，则（ ） A-3 B3 C D 10将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，且，则的可能取值为（ ） A B1 C D 11已知直线 ：与抛物线：交于，两点，点 A，B 在准线上的射影分别为点，若四边形的面积为，则（ ） A2 B4 C D 12已知数列中，当数列的前项和取得最大值时，的值为（ ） A53 B49 C49 或 53 D49 或 51 二、填空题二、填空题 13已知实数，满足约束条件，设，则最小值为 . 14小明用某款手机性能测试 app 对 10 部不同品牌的
4、手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为 90，若要使该总体的标准差最小，则 . 15如图，在三棱锥中，平面，若三棱锥的外接球体积为，则异面直线与所成角为 . 16已知函数的图象上存在点使得(为自然对数的底数)，则实数的取值范围为 . 三、解答题三、解答题 17在三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且. （1）求角 C； （2）E 为三角形 ABC 所在平面内的一点，且，求线段 CE 的长. 18在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水远动员参加小组赛，已知甲晋
5、级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立. （1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，； （2）若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求. 19如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值. 20已知椭圆：的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线 与圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和为 0.求三角形面积的最大值. 21已知函数，. （1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值
6、； （2）若对，恒成立，求实数的取值范围. 22在平面直角坐标系：xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）点，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若，求直线 l 的普通方程 23已知， （1）当时，求不等式的解集； （2）若，证明： 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由，即，解得，所以，又，所以。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合指数函数的值域得出集合 A，再结合指数函数的单调性，进而得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合 A 和集合
7、 B 的交集。 【解析】【解答】, , 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 z,再利用复数求模公式得出复数z 的模。 【解析】【解答】因为 ，所以当 时， ，不一定有 ，所以充分性不成立；当 吋， ， 不一定成立，所以必要性不成立，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件. 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件。 【解析】【解答】当时，解得：，符合要求，当时，故不可能等于 5，综上：。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和代入法，进而求出实数 m 的值。 【解析
8、】【解答】由题意，设等比数列首项为，公比为， 可得 且 ，所以 ， 解得 ，则 ，即第 5 个区域种植 32 棵 故答案为：C. 【分析】利用已知条件将实际问题转化为等比数列的问题，再结合等比数列前 n 项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出第 5 个区域种植的观赏树棵数 【解析】【解答】展开式的通项公式为， 所以当 或 时， 的展开式中常数项为 ， 即 ，解得 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中常数项，进而得出实数 a 的值。 【解析】【解答】设的倾斜角为，向上的方向与虚
9、轴向上的方向所成的角为，则，得或（舍） ， 又因为 ，即 ， 所以 。 故答案为：C 【分析】设 的倾斜角为，向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为，再利用二倍角的正切公式和已知条件得出的值，再利用诱导公式结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合双曲线的离心率公式结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式，从而得出双曲线的离心率的值。 【解析】【解答】如图，连接 AC，BD，设交点为 O，连接 PO，OE， 则 ，所以 或其补角即为 CE 与 PD 所成的角， 设 ，则 ， 由题意， 平面 ，所以 ，又 ， ， 所以 平面 ， 所以 ， ， ，即 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 。 故答案为
10、：A. 【分析】连接 AC，BD，设交点为 O，连接 PO，OE，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，则 ，所以或其补角即为 CE 与 PD 所成的角，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用 CE 与 PD 所成的角余弦值为结合勾股定理和余弦函数的定义，进而得出 PO 的长，再结合四棱锥的体积公式得出四棱锥 P-ABCD 的体积。 【解析】【解答】因为， 则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 故 。 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合三角形法则、共线定理和平面向量基本定理，进而得出 m,n 的值，从
11、而得出 的值。 【解析】【解答】由函数的图象向左平移个单位后 可得函数 ， 又由 的图象关于 轴对称，即函数 为偶函数， 所以 ， 又因为 ，所以 ，故 ， 因为 ，所以 ， 又由 ，所以 可得 和 均为 的奇数倍，故 的可能取值为 。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图像变换得出函数 ，又由的图象关于 轴对称结合偶函数的图像的对称性，从而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的定义结合，得出的值，再结合已知条件结合代入法得出和均为的奇数倍，进而得出的可能取值。 【解析】【解答】易知直线 过抛物线的焦点，由得， 所以 ， ，又 A，B 到准线的距离分别为 ， ，所以 ， 直线 斜
12、率是 ，所以 ，由 ，且 得 ， 四边形 为直角梯形，其高 ，所以 ，故 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件易知直线 过抛物线的焦点，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用抛物线的定义得出 A，B 到准线的距离，进而得出 A,B 两点的距离，即，再利用直线斜率是结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，得出的值，再利用同角三角函数基本关系式和三角函数的值在各象限的符号得出的值，再利用四边形为直角梯形，进而得出其高，再结合三角形的面积公式得出p 的值。 【解析】【解答】因为，则，作差得， 即 ，则数列 为等差数列，且 ， 由 得 ，则公差 ，通项 ，数列 单调递减， 而 ，
13、 ， ， ，设 ， 当 时， ， ， ，当 时， ， 显然 ，即数列 的前 49 项和与前 51 项和相等，并且最大， 所以当 或 51 时， 的前 项和取得最大值。 故答案为：D 【分析】利用 ，则，作差得出，再利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，且，由结合等差数列的性质得出第四项的值，再结合等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出 数列的通项公式，再利用数列的单调性结合分类讨论的方法得出数的前 49 项和与前 51 项和相等，并且最大，进而得出数列的前 项和取得最大值时的 的值 。 【解析】【解答】作出可行域如图所示： 由 ，可得： . 由可行域易知，当直线 过点
14、时，纵截距最大， 取得最小值. 此时， 。 故答案为：-2。 【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数 z 的最小值。 【解析】【解答】因为总体的中位数为 90，所以， 平均数为 ， 要使该总体的标准差最小，即方差最小，即 最小， 又 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 故 。 故答案为：0 【分析】利用总体的中位数为 90 结合中位线的求解公式得出 x+y 的值，再利用平均数公式得出这组数据的平均数，要使该总体的标准差最小，即方差最小，即 最小，再利用均值不等式求最值的方法结合等号成立的条件得出 x-y 的值。 【解析】【解答】
15、如图，将三棱锥补成三棱柱，取中点，中点， 外接球球心即为 的中点 ，设外接球半径为 ，则 ，得 ，所以 ，得 ，由 ，所以 或其补角即为所求异面直线所成的角，易得 ，所以异面直线 PB 与 AC 所成角为 。 故答案为： 。 【分析】将三棱锥补成三棱柱，取 中点，中点，外接球球心即为的中点，设外接球半径为 ，再利用球的体积公式和已知条件得出球的半径长，再结合光杆司令得出 BC 的长，由，所以或其补角即为所求异面直线所成的角，易得，再结合等边三角形的定义，从而得出异面直线 PB 与 AC 所成角。 【解析】【解答】， ， 令 f(x)t，则问题转化为：存在 ，使得 成立，即 成立. 设 ，则 ，
16、 则当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， ， 又因为 ， ， ， 故 ，。 实数 的取值范围为 。 【分析】利用同角三角函数基本关系式得出 ，再利用余弦函数的值域结合二次函数的图像求值域的方法得出函数 f(x)的值域，令 f(x)t，则问题转化为：存在，使得成立，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用函数值结合比较法得出的取值范围，进而得出实数的取值范围。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角 B 的取值范围，进而结合两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系式得出角 C 的正切值，再结合三角形中角 C 的取值范围，进而得出角 C
17、的值。 （2） 由余弦定理结合勾股定理得出 ，再利用结合三角形法则得出，再结合不共线，所以且，所以四边形是矩形，进而得出 b 的值，进而得出线段 CE 的长。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合二项分布求概率公式，从而解方程组求出 p,q 的值。 （2）利用已知条件求出随机变量 的所有可能取值，进而得出随机变量的分布列，从而得出 q的值，再结合随机变量服从二项分布，从而得出随机变量的数学期望。 【解析】【分析】 （1） 分别取 AD 和 BC 的中点 H，P 连接 MH，HP，PE，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，则，再结合传递性得出，所以四边形为平行四边形，所以，再利用结合平
18、行的传递性，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。 （2） 利用四边形 为矩形，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故，再利用，所以，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出与平面所成的角的余弦值，再结合诱导公式得出与平面所成的角的正弦值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式、两点求直线方程和直线与圆相切位置关系判断方法。再利用点到直线的距离公式和椭圆中 a,b,c 三者的关系式，进而解方程组求出 a
19、,b,c 的值，从而得出椭圆的标准方程。 （2） 设 ，利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，设直线，的斜率分别为，则，再利用两点求斜率公式和，进而得出 n 的值，从而得出的取值范围，再利用弦长公式得出 A,B 两点的距离，再结合点到直线的距离公式得出原点到直线 的距离，再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法得出三角形面积的最大值。 【解析】【分析】 （1） 利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的方程，再结合两直线平行斜率相等结合，从而得出实数 a 的值。 （2） 由 得，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题
20、求解方法，进而得出实数的取值范围。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程与直角方程转化方法，再结合极坐标与直角坐标互化公式，从而的曲线 C 的直角坐标方程。 （2）设直线 的参数方程为（t 为参数，） ，再利用已知条件结合直线与曲线的方程求出交点坐标，再结合韦达定理和两点距离公式和，进而结合同角三角函数基本关系式得出，的值， 进而得出直线 l 的参数方程，再结合参数方程与普通方程的转化方法得出直线 l 的普通方程。 【解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数 f(x)的解析式，再结合绝对值不等式求解方法得出不等式的解集。 （2）利用已知条件结合绝对值三角不等式证出不等式 成立。
